弹性力学 第2章边界条件(6,7)

1、对于上述所谈及的两种平面问题：平衡方程（22） 2个几何方程（28） 3个物理方程（212）3个注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求解时会产生待定函数(常数);所以要想得出具体的解答还必需利用边界条件来确定待定函数。边界条件有三类：位移、应力、混合边界条件共计八个未知函数、含vuxyyxxyyx26.边界条件八个方程 在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移分量是已知的，即：式中： 是位移的边界值； 边界上坐标的已知函数或边界上已知的位移分量。二、应力边界条件边界上面力分量为已知。建立边界上微元体的应力分量与面力分量的关系（）vvuuss ,vuss、vu、一.位移边界条件二、应力边界条

2、件在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：yxxyxynXnYxfyf弹性体内单元体斜面上的应力分量与坐标面应力的关系有(静力平衡)mlppyyxxyxyx单元体斜面恰为边界面则面力分量与坐标面应力的关系有应力边界条件yxsyyxxyxffml注意：以上在推导时，斜面上的应力px,py采用矢量符号规定与面力相同。特例-边界面与坐标轴平行时 o x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 yysxyxsxfmfl)(0)(1(1).左右两面(2).上下两面xsyxysyfmfl)(1)(0应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的应力分量；右

3、端为面力分量。可以各自采用各自的符号规定。但需要用边界的方向余弦yxsyyxxyxffml0)( ,)(:0)( ,)(:0)( ,)(:0)( ,)(:syxsysyxsysxysxsxysxqqqq下上左右举举例例： 边界面于坐标轴平行时的简单写法:每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0)边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m图中的面力采用矢量符号规则1; 0mlysxyxsxfmfl)(0)(1(1).左右(2).上下X1mY0lsyxsy)()(三、混合边界条件三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部分边界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已

4、知一个位移分量和一个应力分量。例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，除正应力 外，还有剪应力 。并确定边界上 、 与 的关系。(假设任何界面上y方向的正应力均匀分布) xyyxyyx)( yAPy解：sin,coscos,cosynmxnl由ysysxyxsxysxfmfm0sincos0sincossysxysyxsx 22tgyAptgysx tgyAptgysxyPyoynyfxfxyyxyx 例例 写出应力边界条件。写出应力边界条件。设设液体比重液体比重为为 解：1）右边界（x=0）000 xxyxxy2）左边界（x=ytg）sin)2cos(,coscos,cosy

5、nmxn0,0yxffynOxy yOxyy yn由：ysysxyxsxysxfmfm0sincos0sincossysxysxysxsincosmlyxsyyxxyxffml唯一性定理 表述表述1 1：在没有初始应力的情况下，如果边界条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问题的解答是唯一的。 表述表述2 2：在没有初始应力的情况下，弹性力学边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯一的。 证明概要证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移全为零)。后者则需要用到应变能的概念。 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能满满足方程和边界条件，就肯定是

6、该问题的解。叠加原理 叠加原理：两组外力同时作用在物体上所产生的结果等于他们分别作用产生的结果之和。 证明概要：只需注意方程都是线性的，同时边界条件也是线性的即可。 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 分解原理：根据叠加原理，可以把原问题分解成几个简单的问题单独求解。2-7.2-7.圣维南原理圣维南原理( (局部性原理局部性原理) )一一. .圣维南原理的叙述圣维南原理的叙述描述描述1 1、如果把物体的一小部分边界上的面力以等效力系（主矢及主矩均为相同）代换，则在加载附近的的应力发生显著变化，而在稍远处的影响可忽略不计，亦即与载荷在边界上的作用形式无关。描述描述2 2、如果物体在一小部分边

7、界上的面力是一个平衡力系（主矢及主矩均为零），则面力就只会使近处产生显著的应力，远处的应力可忽略不计。二. 圣维南原理的应用条件1、必须用等效力系代替。2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上)（1）以(b)代(a)应力边界条件可以近似满足。 （2）以(b)代(c)应力边界条件可以近似满足,但 位移边界条件不能完全满足。 举例举例圣维南原理的应用 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分意义上的)边界条件。 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但如果两者的合力与合力

8、矩相同(静力等效)，此时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大的差异，远离这个局部，结果基本相同。静力等效边界条件：静力等效边界条件： 对于严格要求的条件在局部放松对于严格要求的条件在局部放松yL2h2hxM线性分布的边界力所形线性分布的边界力所形成的力偶等于成的力偶等于M M由材力弯曲公式由材力弯曲公式：zyIyM严格面力严格面力0yzyxfIyMf2h2hxyLy严格边界条件严格边界条件0LxxyzyLxxIyM只有在右端弯矩是由线性分布的外力引起时，材料力学的公式才在右端附近严格成立。边界的积分式边界的积分式自由端边界条件：自由端边界条件：2h2hxyLPPdyydydyhhlxxyhh

9、lxxhhlxx22222200 00222222dyMydydyhhlxxyhhlxxhhlxxAxd设中性轴为zyz1悬臂梁的例子：则边界条件可以写成(P.23 (b)：根据圣维南原理，把给出的面力化成合力和合力矩MydyfFdyfFdyfhhxyhhyxhhx222222, MydyFdyFdyhhlxxyhhlxxyxhhlxx222222,2h2hxyLP用积分表达的边界条件对边界条件的积分为： (P.23 (b)：根据圣维南原理，同时还要考虑等效力矩：ydyfydyhhxhhlxx2222dyfdyfdyfdyfhhyhhlxyylxyhhxhhlxxxlxx222222222h2

10、hxyLP2h2hxyLy悬臂梁的例子：平面应力问题平面应变问题一一. 平面问题基本未知量平面问题基本未知量yxyxyxxyyx,),(,1、应力分量（3个）zxyyxyxyxyx,独立的（3个）2、应变分量zxyyxyxyxyx,独立的（3个）yxyxyxxyyx,（3个）3、位移分量 wyxvyxu,独立的（2个） yxvyxu,（2个） f平面问题小结平面问题小结平面应力问题平面应变问题二二. 平面问题基本方程平面问题基本方程1、平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyx（2-2）同左（2个）2、几何方程（3个）)82(yuxvyvxuxyyx同左3、物理方程（3个）122(1)(1)(1xyxyxyyyxxGEE)13()1 ( 2)1(1)1(122xyxyxyyyxxEEE）（aEEExyxyxyyyxx122)1 (2)(1)(122用下式代换：1,12EE、在边界上取楔形研究（单位厚度）如图所示：dsmlffmldsmdslXdsmdsldsXFxxyxxyxxx2:21111:0化简得由为应力的边界值、syxsxysxysyxsy