第七章弯曲变形 第一节积分法

1、第七章第七章 弯曲变形弯曲变形第一节第一节 引言引言2FF2F二、梁对称弯曲时的变形二、梁对称弯曲时的变形对称弯曲时，梁的轴线弯成一条光滑连续的平面曲线。对称弯曲时，梁的轴线弯成一条光滑连续的平面曲线。该曲线称为梁的挠曲线该曲线称为梁的挠曲线Fx建立图示坐标系，弯曲变形所导致的梁横截面的位移可建立图示坐标系，弯曲变形所导致的梁横截面的位移可w横截面形心的竖向线位移，为挠曲线的纵坐标横截面形心的竖向线位移，为挠曲线的纵坐标 w，1. 挠度（线位移）挠度（线位移）即规定上正下负；即规定上正下负；用两个参量来描述用两个参量来描述 w挠曲线( )wf x挠曲线方程挠曲线方程横截面绕中性轴转动的角度，横

2、截面绕中性轴转动的角度，2. 转角（角位移）转角（角位移）记作记作 ，规定逆时针旋向为正，反之为负规定逆时针旋向为正，反之为负Fxw( )wf x第二节第二节 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 一、梁的挠曲线（中性层）曲率一、梁的挠曲线（中性层）曲率 zEIxM)(1式中，式中，EIz 称为梁的抗弯刚度称为梁的抗弯刚度横力弯曲时横力弯曲时, M 和和 都是都是x的函数，的函数，略去剪力对梁的位移的影响略去剪力对梁的位移的影响, 则则1( )( )M xxEI Fxw( )wf x二、梁的挠曲线近似微分方程二、梁的挠曲线近似微分方程高等数学中的曲率计算公式高等数学中的曲率计算公式3 2211

3、ww 322|( )(1)wM xEIwOxwxOw0M0MMMMM0 w0w322( )(1)wM xEIw 322( )(1)wM xEIw( )M xwEI2w2w Fxwx tan( )M xwEI ( )MxxdxEIw ( )M xw xdxEI( )d dzM xwx xEI dxx 转角方程转角方程 挠曲线方程挠曲线方程第三节第三节 计算弯曲变形的积分法计算弯曲变形的积分法说明：说明：1）若弯矩方程）若弯矩方程 M(x) 为分段函数，积分则应分段进行；为分段函数，积分则应分段进行；2）积分常数由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定）积分常数由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定

4、二、确定位移边界条件二、确定位移边界条件00AxBlAwx00AxwwABlxwa00Axww0Bx lwwFxwlAB例例1 图图示悬臂梁，自由端承受集中力示悬臂梁，自由端承受集中力 F 作用，试建立梁的转角作用，试建立梁的转角方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚度度 EI 为常数。为常数。x1）列弯矩方程）列弯矩方程解：解： M xF lx 2）建立转角方程和挠曲线方程）建立转角方程和挠曲线方程对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程 212FlxxCEI再积分一次，得挠曲线

5、方程再积分一次，得挠曲线方程23126FlxxCxDEI M xdxEI1F lx dxEI( )d dzM xwx xEI dxxFxwlABx3）确定积分常数）确定积分常数该梁的位移边界条件为该梁的位移边界条件为00 x00 xw解得积分常数解得积分常数0C 0D 故得梁的转角方程和挠曲线方程分别为故得梁的转角方程和挠曲线方程分别为212FlxxEI23126FlwxxEI212FlxxCEI23126FlwxxCxDEIFxwlABx4）计算最大挠度和最大转角）计算最大挠度和最大转角212FlxxEI23126FlwxxEI由梁的变形图易见，梁的最大由梁的变形图易见，梁的最大挠度和最大转

6、角均发生于挠度和最大转角均发生于 x = l 的自由端面的自由端面 B 处，故得处，故得maxx lwwmaxx l最大挠度：最大挠度：最大转角：最大转角：212FlllEI 23126FlllEI 33FlEI2()2FlEI逆时针例例2 图图示简支梁，在截面示简支梁，在截面 C 处受集中力处受集中力 F 作用，试建立梁的转作用，试建立梁的转角方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯角方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚度刚度 EI 为常数。为常数。1）列弯矩方程）列弯矩方程解：解：AbFFlBaFFl支座反力支座反力分段列弯矩方程分段列弯矩方程 AC 段（

7、段（0 x1 a）11FbM xxlCB 段（段（a x2 l ）222FbM xxF xalAFBF1x2x分段积分，得转角方程和挠曲分段积分，得转角方程和挠曲线方程分别为线方程分别为AC 段（段（0 x1 a）CB 段（段（a x2 l ）2）建立转角方程和挠曲线方程）建立转角方程和挠曲线方程21112FbxCEIl3111 116FbwxC xDEIl22222222FbFxxaCEIlEI3322222266FbFwxxaC xDEIlEIAFBF1x2x3）确定积分常数）确定积分常数 位移边界条件：位移边界条件：1100Axww220Bxlww位移连续条件：位移连续条件： 1212x

8、axa1212xaxaww根据上述条件求得四个积分常数分别为根据上述条件求得四个积分常数分别为AFBF1x2x120DD22126FbCCblEIlAC 段（段（0 x1 a）CB 段（段（a x2 l ）所以，最终梁的转角方程和挠曲线方程分别为所以，最终梁的转角方程和挠曲线方程分别为2221136FbxblEIl3221116FbwxblxEIl2222222226FbFFbxxablEIlEIEIl33222222666FbFFbwxxablxEIlEIEIlAFBF1x2xAC 段（段（0 x1 a）CB 段（段（a x2 l ）2221136FbxblEIl3221116Fbwxblx

9、EIl2222222226FbFFbxxablEIlEIEIl33222222666FbFFbwxxablxEIlEIEIl4）计算最大转角和最大挠度）计算最大转角和最大挠度 假设假设 a b，可得梁的最大转角，可得梁的最大转角max6BFab laEIlAFBF1x2xAC 段（段（0 x1 a）CB 段（段（a x2 l ）2221136FbxblEIl3221116FbwxblxEIl2222222226FbFFbxxablEIlEIEIl33222222666FbFFbwxxablxEIlEIEIl最大挠度最大挠度221322max139 3lbxFblbwwEIl AFBF1x2x例例3max maxwABqRR2ABqlFFABqFRAFRBx