高等数学课件：重积分的计算及相关问题讲座

1、高等数学 讲讲 座座 重积分的计算及相关问题重积分的计算及相关问题高等数学基本内容基本内容重积分重积分三重积分三重积分二重积分二重积分应用应用几何几何：面积、体积、曲面面积：面积、体积、曲面面积物理物理：质量、重心、引力、转动惯量：质量、重心、引力、转动惯量性质性质: :估值、单调、中值定理估值、单调、中值定理计算计算直角坐标法直角坐标法极坐标法极坐标法换元法换元法性质性质: :估值、单调、中值定理估值、单调、中值定理计算计算直角坐标法直角坐标法球面坐标法球面坐标法柱面坐标法柱面坐标法高等数学重积分计算的关键重积分计算的关键: :1. 1. 选择坐标系选择坐标系2. 2. 确定积分次序确定积分

2、次序3. 3. 计算积分限计算积分限高等数学讲座内容讲座内容一、积分坐标系的选择及积分次序的确定一、积分坐标系的选择及积分次序的确定二、积分定义及性质的应用二、积分定义及性质的应用四、换元法的使用四、换元法的使用三、对称性的利用三、对称性的利用五、综合问题五、综合问题高等数学Oxx+y=121y一、积分坐标系的选择及积分次序一、积分坐标系的选择及积分次序例例1(1)1(1).),(:1201dxyxfdyy 交交换换积积分分次次序序分析分析: : 由积分限先定出积分区由积分限先定出积分区域域D，然后再交换积分次序，然后再交换积分次序. .解解 Ddxdyyxf),(dxyxfdyy 1201)

3、,(dyyxfdxx 1021),(dxyxfdyy 2101),(注注: :二次积分化为重积分都时要次积分的上限大于下限二次积分化为重积分都时要次积分的上限大于下限高等数学.sin10 xxdyyydx计算计算 解解1 10sin)1(dyyy1sin1 yyxxdxyydydyyydx2sinsin1010例例1(2)1(2)被积函数被积函数: :直角坐标直角坐标+ +换序换序 解解2且且则则记记,sin2sin)(,sin)(xxxxxFdyyyxFxx . 1sin1)2sin(sin)sin2sin()()()(sin101010101010 dxxxdxxxxxxdxxFxxxFd

4、xxFdyyydxxxyOx y=x 1xy 高等数学例例1(3)1(3).)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa 被积函数被积函数: : 直角坐标直角坐标+ +换序换序高等数学解解1(代数方法代数方法) xxvudttftxdttfdudv02000.)()(21)(证明：证明：（教材（教材P113:6P113:6）t=u(v,v)utO;)()()()(0000 vvvtvud

5、ttftvdutfdtdttfdu;)()(21)()()()(02000 xxxtxvdttftxdvtftvdtdttftvdvt=v(x,x)vtO xxvudttftxdttfdudv02000.)()(21)(xv例例1(4)1(4)三次积分换序化为两个二次积分换序三次积分换序化为两个二次积分换序高等数学解解2 (几何方法几何方法: :截面法截面法)u=vu=tvuOx(x,x) xxvuDvuxDxvudttftxdttfdudvtxdvduxvvutuDdvdudttfdttfdudvvuvu0200020000.)()(21)(,)(21.,:,)()(围成围成由由 被积函数被

6、积函数: : 直角坐标直角坐标+ +截面法截面法思考思考: :请说明两种解法各自的特点请说明两种解法各自的特点. .高等数学例例2(1)2(1)解解 ( (积分区域积分区域: : 直角坐标直角坐标) ). 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D分析分析: : 先去掉绝对值符号先去掉绝对值符号 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 高等数学Ox1y例例2(2)2(2)解解 ( (积分区域积分区域: : 极坐标极坐标) ).0, 02| ),(,12222 yxyxyxDaadyxxyD，最最

7、大大整整数数，表表示示不不超超过过的的其其中中计计算算分析分析: : 根据取整函数划分积分区域根据取整函数划分积分区域D1D2，记记0, 021| ),(0, 01| ),(222221 yxyxyxDyxyxyxDx2+y2=1.83cossin2cossin212132010320222121 drddrddxydxydyxxyDDDDD则则高等数学例例2(3)2(3). 1:222 zyxdvez，计计算算 解解1 ( (被积函数被积函数: :直角坐标直角坐标+ +截面截面) )即即截截面面法法法法，故故采采用用先先二二后后一一为为圆圆域域的的函函数数，截截面面被被积积函函数数仅仅为为分

8、分析析：)(1)(222zyxzDz )(2|对对称称性性上上 dvdveezz 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 注注: : 若被积函数是单变量函数若被积函数是单变量函数, ,则首先考虑截面法。则首先考虑截面法。高等数学 解解2 ( (积分区域积分区域: :球面坐标球面坐标+ +换序换序) )用用球球面面坐坐标标积积分分区区域域为为球球体体，故故采采分分析析：)(2对对称称性性上上 dvedvezz 2010cos220sin2drdderr.2 )(sin420cos102换换序序 ddrerr注记注记1.1.本题两种不同坐标系解法的难度有一定的差别本题两种不同

9、坐标系解法的难度有一定的差别, , 请注意和收集同类型题目请注意和收集同类型题目; ;2.2.本例中涉及绝对值和取整运算本例中涉及绝对值和取整运算, ,相似的运算还有相似的运算还有取最值以及符号函数等。取最值以及符号函数等。高等数学例例3 3.32222)(所所围围的的体体积积计计算算由由曲曲面面zazyx 分析分析: : 体积可用定积分、二重积分和三重积体积可用定积分、二重积分和三重积分计算，选择时要根据分计算，选择时要根据区域区域而定而定. . 解解 ( (积分区域积分区域: :球面坐标球面坐标) ) dvVdrddar sin3cos022020 203cossin231daa33 高等

10、数学例例4 4).(,)()(,0,)(222222tFdvyxfztFtyxazuf 求求记记空空间间区区域域围围成成的的是是由由连连续续设设解解被积函数被积函数: : 柱面坐标柱面坐标 atatdzrdrrfddzzrdrdtF0022002020)()( trdrrfata0223)(23)(232)(23tatftatF 注注: : 此题代表的是将重积分化此题代表的是将重积分化为定积分的变限积分的类型为定积分的变限积分的类型. .高等数学例例5 5解解1(几何方法几何方法).),(44cos20drrfda 交交换换积积分分次次序序：，在在一一、四四象象限限所所围围区区域域与与（为为由

11、由，在在一一、四四象象限限所所围围区区域域为为由由222222222212)2,2ayaxayxDxyxyayxD (x-a)2+y2=a2Oxya 2aD1D2其其中中,21DDD 21),(),(),(44cos20DDadrdrfdrdrfdrrfd则则 araraaadrfdrdrfdr2arccos2arccos224420),(),(高等数学例例5 5解解2(代数方法代数方法).),(44cos20drrfda 交交换换积积分分次次序序：D1D2如如图图，,21DDD drrfda 44cos20),(则则 araraaadrfdrdrfdr2arccos2arccos224420

12、),(),(Or=2acos r /4 /4注注: : 极坐标换序也可以用类似直角坐标的代数极坐标换序也可以用类似直角坐标的代数方法方法, ,另极坐标换序是扩展内容另极坐标换序是扩展内容, ,不是基本要求不是基本要求. .高等数学二、积分定义及性质的应用二、积分定义及性质的应用例例6 6).,(),(),(),0(:),(2222yxfdxdyyxfyyxfaayxDyxfD，求求为为连连续续函函数数，设设 解解.),(,),(2yAyxfdxdyyxfAD 则则设设定义定义.4sin)(),(4220023222aAadrrdAadxdyyAdxdydxdyyAdxdyyxfAaDDDD 于

13、于是是.)1(4),(224yaayxf 高等数学例例7 7).()()()()()(:222(施施瓦瓦兹兹不不等等式式柯柯西西证证明明 dxxgdxxfdxxgxfbababa证证)()()(22dxxdxxIbabagf )()()(22dyydxxbabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyyxDgf 同理同理)()()(22dxxdxxIbabagf )()()(22dxxdyybabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyxyDgf 高等数学dxdyxyIDgfygxf)()(222)()(22 则则dxdyxgyfDygxf)()()()(2 dyygyfdx

14、xgxfbaba )()()()(2)()(22dxxgxfba )()()()()(222(dxxdxxdxxgxfbababagf 故故注注: : 本题提供的将定积分问题转化为重积分问题本题提供的将定积分问题转化为重积分问题的方法具有代表性的方法具有代表性, , 希望同学们能灵活应用希望同学们能灵活应用. .性质性质: :单调单调高等数学.d)(2d)( ,1, 0)(1010 xxfxxxfxf证证明明不不等等式式上上连连续续且且单单调调增增加加在在设设函函数数. 0)()()(1, 0 yfxfyx上上有有由由题题设设知知在在例例8 8证证.d)(2d)( 1010 xxfxxxf所所

15、以以. 0)()()(, 10 , 10: DdxdyyfxfyxyxD则则记记. 0d)(d)(2 )()()()( )()()(1010 xxfxxfxdxdyxyfyxfyyfxxfdxdyyfxfyxDD而而性质性质: :单调单调高等数学例例 9 9使使存存在在由由积积分分中中值值定定理理,),(,D 注注: : 三重积分也有类似利用中值定理求极限三重积分也有类似利用中值定理求极限的题目的题目( (参见习题册参见习题册), ), 希望同学们掌握希望同学们掌握. .性质性质: :积分中值定理积分中值定理解解.),(,:,),(1lim22220上上连连续续在在求求DyxftyxDdxdy

16、yxftDt )(),(),(),(DAfdxdyfdxdyyxfDD tf2),( ).0 , 0(),(lim),(1lim020ffdxdyyxfttDt 则则高等数学xy三、对称性的利用三、对称性的利用(一一)、二重积分的对称性、二重积分的对称性使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域积分区域关于坐标轴的关于坐标轴的对称性对称性；、被积函数被积函数在积分区域上的关于在积分区域上的关于对应积分变量对应积分变量的的奇偶性奇偶性.D D1 当当积分区域积分区域D关于关于y轴轴对称对称，且，且被积函数被积函数f(x,y)是是关于关于x的的奇函数奇函数，则，则二重积分为零二重积分为零，

17、若，若被积函数被积函数f(x,y)是关于是关于x的的偶函数偶函数，则，则二重积分二重积分为为D在在y轴右方的半轴右方的半个闭区域的个闭区域的二二重积分重积分D1的的两倍两倍. 高等数学使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域积分区域关于坐标面的关于坐标面的对称性对称性；、被积函数被积函数在积分区域上的在积分区域上的对应积分变量对应积分变量的的奇偶性奇偶性.(二二)、三重积分的对称性、三重积分的对称性高等数学 1111DDDDDDD1),(),(D.),(2),( C.),(2),( B.0),( A._),(),(, 10 , 10:, 10 , 11:dxdyxyfdxdyyxfd

18、xdyxyfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfyxfyxfyxDyxD；则则不不正正确确的的等等式式是是且且设设A例例 10(1)10(1)高等数学.)(;)(;)(;)(._min_;max,cos, 11, 11:432141414221IDICIBIAIIxdxdyyIDDDDyxDkkkkDkk 则则如如图图，设设A例例10(2) (200910(2) (2009研研) )解解 I10; I2=I4=0; I30.y x D1D2D4D3C高等数学例例10(3)10(3).110, 1| ),(2222dxdyyxxyIxyxyxDD 二二重重积积分分，计计算算设

19、设区区域域 解解积分区域关于积分区域关于x轴对称轴对称,被积函数被积函数是是y的奇函数的奇函数. .dxdyyxxydxdyyxIDD 2222111. 2ln20122102 drrrd(2006研研)高等数学.)(, 1)1(222 dvzyxzyx求求：设设空空间间区区间间.34)1(120220 dzzzdxdyzdzdvzdvydvxzD原原式式 解解1 1 ( (被积函数被积函数: : 截面法截面法) )例例 1111积分区域关于积分区域关于yOz面和面和zOx面对称面对称,被积函数被积函数分别是分别是x和和y的奇函数的奇函数. .则则：设设,)1(1222 zyxDzxz12.y

20、高等数学.)(, 1)1(222 dvzyxzyx求求：设设空空间间区区间间 dvzdvzdvydvx原原式式 解解2 2 ( (积分区域积分区域: : 球面坐标球面坐标) )例例 1111xz12.y积分区域关于积分区域关于yOz面和面和zOx面对称面对称,被积函数被积函数分别是分别是x和和y的奇函数的奇函数. . cos2032020cossindrrdd34 高等数学设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.例例 1111分分析析： 由由于于 1)(xdyyf不不能能直直接接积积出出，故故考考虑虑改改变变积积分分次次序

21、序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(,)()(010 xdyxfyfdx解解1 1)899,)()(：见见教教材材的的轮轮换换对对称称性性对对被被积积函函数数Pyxyfxf高等数学则则 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 2)()(2110Adyyfxfdxx 故故dxyFxfdyyfxfdxxx 101110|)()()()(解解2 2则则令令,)()(0 xdttfxFdxxFxfdxFxf 1010)()()1()(

22、2)1(21)1()()()()1(2221010|AFFxdFxFxFF 高等数学使用换元法需注意的两个方面使用换元法需注意的两个方面: :.),(),(. 2;. 1的的计计算算雅雅可可比比行行列列式式的的确确定定新新区区域域vuyxJD .),(),(1),(),(. 2;. 1JyxvuJvuyxJDTD来来得得到到时时可可通通过过求求当当不不便便求求确确定定的的边边界界曲曲线线通通过过变变换换由由 方法方法: :四、换元法的使用四、换元法的使用高等数学广义极坐标广义极坐标: :广义球面坐标广义球面坐标: :)(;),(),(,sin,cos适适用用于于椭椭圆圆abrryxJbryar

23、x )(;sin),(),(|,cos,sinsin,cossin2适适用用于于椭椭球球 rabcrzyxJcrzbryarx 高等数学例例 1212.2,),0(2,22图图形形的的面面积积所所围围求求由由xyxyaaxyaxy 分析分析: : 区域的边界较复杂区域的边界较复杂, , 考虑换元考虑换元. . 解解;,vuxyxy 令令;21 ,2:22 vauaD则则;212),(),(1vJvyxvuJ 得得且且由由知知则则由由 DdxdxA2ln21121|221222aduvdvdudvJAaaD 高等数学例例 1313. 1:,)(22 yxyxDdxdyyxID其其中中计计算算解解

24、1,23)21()21( :22 yxD.23)1()( DDdudvvudxdyyxI则则; 1),(),(,23:22 vuyxJvuD,2121vyux 令令 换元换元+对称对称高等数学解解2,sin21,cos21 ryrx 令令.23)sincos1()( DDrdrdrrdxdyyxI 则则;),(),(,20 ,0:23rryxJrD 高等数学.)(, 1)1()1()1(222 dvzyxzyx求求：设设空空间间区区间间.4343)2(3)1(1333,)1(1)1()1(203220220222 dzzzdzzzdxdyzdzdvzzyxDzDz原原式式则则：设设 解解1 (

25、 (被积函数被积函数: : 截面法截面法) )例例 1414高等数学.4343000)(3)3. 1:, 1, 1, 1222 VdudvdwwvuwvuuvwzwyvxuT（原原式式于于是是，坐坐标标系系下下为为在在则则：设设 解解2 ( (积分区域积分区域: : 换元法换元法+ +对称对称) ).)(, 1)1()1()1(222 dvzyxzyx求求：设设空空间间区区间间例例 1414高等数学例例1515:, 122试证明不等式试证明不等式为为设设 yxD.52sin16561)(223 dxdyyxD证证drrdxdyIryxD 1033sin2sin)(22)10(sin!33 xx

26、xxx,16561)!3(21093 drrrr而而 522104drr.52sin16561)(223 dxdyyxD五、综合问题五、综合问题 二重积分极坐标二重积分极坐标+泰勒公式泰勒公式+定积分单调性定积分单调性高等数学例例1616.1lim24/)(20022 txxutxxdueedt求极限求极限解解1.,2002)(202)(2022 xtutxtxutxduedtduedtIxtx于是于是时，时，当当.1112)(204/24/)(202222 txutxxtxxutxduedtedueedt故故则则令令,202)(22 txwxtutdweduewtu txwxdwedtI20

27、202换序换序.)2(202 xwdwewx wxwxdtedw20202积分积分高等数学 定积分换元定积分换元+二重积分换序二重积分换序+洛必达法则洛必达法则+变限积分求导变限积分求导.21,210 所所以以所所求求极极限限为为极极限限为为时时，同同理理可可得得当当 x.)2(1111204/2)(204/2222 xwxxtutxxdwewxeduedte即即.21221lim22lim)2(11lim1lim4/2004/20200204/024/)(200222222222 xxwxxxwxwxxwxxtxxutxxexdweexdwwedwexdwewxedueedt高等数学例例16

28、16.1lim24/)(20022 txxutxxdueedt求极限求极限解解2 2)(202)(2022,200 xtutxtxutxduedtduedtIxtx于于是是时时，当当.1112)(204/24/)(202222 txutxxtxxutxduedtedueedt换序换序 uutxdtedu0)(202, 0, 122)(uteeutu .20202 xuxduueIudu即即.0)(22udteueuutu 高等数学 定积分单调性定积分单调性+二重积分换序二重积分换序+洛必达法则洛必达法则+变限积分求导变限积分求导.21,210 所所以以所所求求极极限限为为极极限限为为时时，同同

29、理理可可得得当当 x.211lim24/)(20022 txxutxxdueedt,212221lim11lim4/4/0204/02222 xxxxuxxexexduuee而而,212221lim11lim0204/02 xxuduexxxx高等数学.)2( ;)1(134)0 , 4(1342121222221之之间间的的立立体体的的体体积积及及的的方方程程及及而而成成，求求轴轴旋旋转转相相切切的的直直线线绕绕且且与与椭椭圆圆是是由由过过点点轴轴旋旋转转而而成成，圆圆锥锥面面绕绕是是椭椭圆圆设设SSSSxyxSxyxS (2009研研)例例1717解解(1).)4(41:, 134:),4

30、(21134)0 , 4(2222222122 xzySzyxSxyyx相相切切的的直直线线为为且且与与椭椭圆圆过过点点(2),)23(:22221 zyDyOzSS面面的的投投影影的的交交线线在在与与,24:,312:222221zyxSzyxS .312)24(2222 dydzzyzyVD高等数学(2)另解另解. 1,)23(:22221 xzySS的的交交线线与与,24:,312:222221zyxSzyxS )41(3:,45)41(3222212211xzyDdxxdydzdxVxDx yx12z4V2V1.4549,493)23(311222 VVVV 旋转曲面旋转曲面+导数的应

31、用导数的应用+重积分的应用重积分的应用+二重积分计算二重积分计算高等数学:,1|,)(证证明明确确定定由由区区域域为为连连续续函函数数设设 xyDuf例例1818dxxxfdxxxfdxdyfIxDyx)(arccos4()()(211022)1 分析分析: : 要证明的等式的左端是重积分，右端是定积分，观察要证明的等式的左端是重积分，右端是定积分，观察两端积分被积函数的特点，可以发现需将两端积分被积函数的特点，可以发现需将 x2+y2 看成一整体看成一整体. . 高等数学D12D11证证 (被积函数被积函数: 极坐标极坐标+换序换序). 1,121111 rDDDDD分分界界线线为为在在第第

32、一一象象限限的的部部分分为为设设将式中将式中r的换成的换成x,即得证即得证. DdxdyyxfI1)(422由对称性知由对称性知 41arccos211040)(4)(4rdrrfdrddrrrf 2110)()arccos4()(1drrrfdrrrfr cos1040)(4drrrfd交换积分次序交换积分次序二重积分对称性二重积分对称性+ +二重积分极坐标二重积分极坐标+ +极坐标换序极坐标换序高等数学).(2)(,0:)2()()1(.| ),()(,| ),()(,)()()(,)()()()(22222222)(22)(22)(222tGtFttFtyxyxtDtzyxzyxtdxx

33、fdyxftGdyxfdvzyxftFxftttDtDt 时时当当证证明明在在区区间间上上的的单单调调性性；讨讨论论其其中中连连续续且且恒恒为为正正，设设例例19 19 ( (教材教材P113:7; 2003P113:7; 2003研研) )高等数学解解 (1).)(2)(2)(,)()(2)(,)(2)()()(,)(4sin)()()(02020202221020220)(222022022020)(2221 tttttttDtttdxxfdrrfrtGdrrfrdrrfrIItFdrrfrdrrfrddyxfIdrrfrdrrfrdddvzyxfI 极极坐坐标标球球面面坐坐标标高等数学.

34、)(00)()()()(2)()()()()(2)()(2)(0220220220222022202022单单调调增增加加的的时时，是是当当tFtdrrfrdrrfrtrtftdrrfrdrrfrtftdrrfrtftdrrfrdrrfrtFttttttt 高等数学 ttttttttttttttdttfdrrfrdrrfrdrrfrdrrfdrrfrdrrfdrrfrdrrfrdrrfrtGtFdrrfdrrfrtGdrrfrdrrfrtF0202020202022020202022020202022)()()()()()(2)()()()(2)(2)()()()(,)()(2)(知知，由由0

35、)()()()()2()()()(2)()()()()()()()()(0222022220220222022202202022 ttttttttdrrfrttfdrrfrrtttfdrrfrtftdrrfrtfdrrftfttHdrrfrdrrfdrrfrtH则则，记记. 0)(2)( tGtF (2)二重积分极坐标二重积分极坐标+三重积分球面坐标三重积分球面坐标+变限积分求导变限积分求导+单调性的判断单调性的判断高等数学 ttttttttttttttdttfdrrfrdrrfrdrrfrdrrfdrrfrdrrfdrrfrdrrfrdrrfrtGtFdrrfdrrfrtGdrrfrdrrf

36、rtF0202020202022020202022020202022)()()()()()(2)()()()(2)(2)()()()(,)()(2)(知知，由由，知知由由柯柯西西不不等等式式： tttbababadrrfdrrfrdrrfrdxxgdxxfdxxgxf02022022222)()()()()()()()()(. 0)(2)( tGtF (2)二重积分极坐标二重积分极坐标+三重积分球面坐标三重积分球面坐标+变限变限积分求导积分求导+单调性的判断单调性的判断+柯西不等式柯西不等式高等数学练习练习. 14:,)41(. 12222 yxDdxdyyxID求求.10 , 10:,. 2,max22 yxDdxdyeIDyx求求. 321312dydxIxey 求求. 1:,)(. 44422 yxDdxdyyxID求求高等数学dyydzdxxzxezy 1010102)1()1(. 6 求求. 1:,)(. 7222222222 czbyaxdvzyx其其中中计计算算 bababadxxgxfabdxxgdxxfbabaxgxf)()()()()(:),0,(,)(),(. 8证证明明上上的的连连续续增