测量学第五章：误差理论

1、 测量学测量学第六章第六章 测量误差基本知测量误差基本知识识本章要点：本章要点： 有关测量误差的基本知识 偶然误差的特性 观测值中误差算法 观测值函数中误差算法 误差传播定律 权的概念一、一、有关测量误差的基本知识有关测量误差的基本知识1、误差产生的原因kkk产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限仪器精度的局限, ,轴系残余误差轴系残余误差, ,等。等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制判断力和分辨率的限制, ,经验经验, ,等。等。外界影响外界影响 气象因素气象因素( (温度变化温度变化, ,风风, ,大气折光大气折光) ) 上述三大因素总称为上

2、述三大因素总称为观测条件观测条件在上述条件基本在上述条件基本相同相同的情况下进行的同类测量称为的情况下进行的同类测量称为 等精度观测等精度观测2、测量误差的分类与对策、测量误差的分类与对策 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 D Dk k 钢尺温度误差钢尺温度误差 D Dt t 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差i i 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 计算改正计算改正计算改正计算改正 操作时抵消操作时抵消( (前后视等距前后视等距) )操作时抵消操作时抵消( (盘左盘右取平均盘左盘右取平均) ) 一、一、有关测量误差的基本知识有关测量误差的基本知识（1）系统误差）系统误差对某一量多次观测后，误差在

3、符号与数值上都相对某一量多次观测后，误差在符号与数值上都相同或按一定规律变化同或按一定规律变化举例：举例：解决方法：解决方法：估读、气泡居中判断、估读、气泡居中判断、瞄准、对中等误差瞄准、对中等误差一、一、有关测量误差的基本知识有关测量误差的基本知识2、测量误差的分类与对策、测量误差的分类与对策（2）偶然误差）偶然误差对某一量多次观测后，从表面上看不出任何规律对某一量多次观测后，从表面上看不出任何规律举例：举例：解决方法：解决方法：？瞄错目标、读错瞄错目标、读错一、一、有关测量误差的基本知识有关测量误差的基本知识2、测量误差的分类与对策、测量误差的分类与对策（3）粗差（错误）粗差（错误）由于观

4、测粗心或某种干扰造成的特别大的误差由于观测粗心或某种干扰造成的特别大的误差举例：举例：解决方法：解决方法：多次观测（多余观测）多次观测（多余观测）剔除明显的错误剔除明显的错误对同一角度进行了多次观测，得到：对同一角度进行了多次观测，得到：603324、603336、603400、603348、603318、603506、 603354、603400（二）处理原则二）处理原则粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正 偶然误差偶然误差？对于一项观测值，只有偶然误差影响其对于一项观测值，只有偶然误差影响其精度精度二、二、偶然误差的特性偶然误差的特性1、

5、实验论证、实验论证358个三角形内角和个三角形内角和系统误差系统误差盘左盘右盘左盘右粗差粗差限差限差60偶然误差偶然误差存在存在358个偶然误差个偶然误差（角度闭合差）（角度闭合差）i= 180 (i +i+ I)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。二、二、偶然误差的特性偶然误差的特性误差区间 负误差 正误差 误差绝对值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21 0.059

6、440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 表6-1 偶然误差的统计 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=k/d二、二、偶然误差的特性偶然误差的特性 有限性有限性：在有限次观测：在有限次观测中，偶然误差应小于限中，偶然误差应小于限值。值。

7、 渐降性渐降性：误差小的出现：误差小的出现的概率大的概率大 对称性对称性：绝对值相等的：绝对值相等的正负误差概率相等正负误差概率相等 抵偿性抵偿性：当观测次数无：当观测次数无限增大时，偶然误差的限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。平均数趋近于零。2)(221)(xexfd= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f二、二、偶然误差的特性偶然误差的特性二、二、偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差符合误差正态分布曲线偶然误差符合误差正态分布曲线22221)(ef nnnnn2222212lim.lim方差：方差：标准差标准差：nnlim二、二、偶然误差的特性偶然误差的特性

8、大，曲线越矮胖，误差分散，大，曲线越矮胖，误差分散，精度低精度低小，曲线越高瘦，误差集中，小，曲线越高瘦，误差集中，精度高精度高三、三、中误差中误差nnlimnm标准差标准差中误差中误差（1）中误差）中误差中误差中误差有限个次数观测的偶然误差求的标准差有限个次数观测的偶然误差求的标准差m m1 1较小较小, , 误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；m m2 2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。 两组观测值中误差图形的比较两组观测值中误差图形的比较：m m1 1= = 2.72.7 m m2 2= = 3.63.6 三

9、、三、中误差中误差（1）中误差）中误差三、三、中误差中误差（2）相对误差）相对误差例：有两把不同的钢尺，进行一段距离的测量，问例：有两把不同的钢尺，进行一段距离的测量，问那个的值更可靠？那个的值更可靠？mmtmmmlmmtmmml2036. 018. 0502036. 018. 03021相对中误差相对中误差=中误差中误差/观测值观测值 =1/M1)(),(,)()(212121dxxfxxdxxfxXxPxx)(xf 如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数概率d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f三、三、中误差中误差（3）极限误差）极限误差9973. 0)

10、33()(9545. 0)22()(6826. 0)()(1)(,),(332222XPxfXPxfXPxfxfXNX的正态分布为服从参数随机变量时当三、三、中误差中误差（3）极限误差）极限误差m2允m3允或：三、三、中误差中误差（3）极限误差）极限误差 但大多数被观测对象的真值不知，如何评定观测值的精度，即： =？ m=？寻找最接近真值的值x四、 观测值中误差计算 （1）真值的确定）真值的确定集中趋势的测度（最优值） 中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。 众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。 切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。

11、xnlniil 1算术平均数：满足最小二乘原则的最优解四、 观测值中误差计算 （1）真值的确定）真值的确定xnlnlniil1一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解证明（x是最或然值） 将上列等式相加，并除以n,得到 XnlnnnnlXnlim0lim4）特性根据偶然误差第（xnlnnlXlXlX2211 若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解xiiilxllvl改正值的特性 0ivv定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解0l- 2 2xvdxvvdminiivv最小二乘0)(ilxxnl已知观测值真值的情况iilX 3、计算中误差未知观测值真值的情况1、求出真误差2、计算中误差nm

12、1、求出算术平均值2、求出各观测值的改正数xnlnlniil1iiilxllv1nvvm四、 观测值中误差计算 计算标准差例子 毫米16.3232.61540452.123mnll次序 观测值 l 改正数 v vv 1 123.457 -5 25 2 123.450 +2 4 3 123.453 -1 1 4 123.449 +3 9 5 123.451 +1 1 和 123.452 0 40 28计算中误差例子 土木土木3班班土木土木4班班组别组别观测值观测值组别组别观测值观测值第第1组组1795954合格合格第第1组组1795857超限超限第第2组组1804313超限超限第第2组组1795

13、912合格合格第第3组组1800430超限超限第第3组组1795939合格合格第第4组组1795924合格合格第第4组组1800503超限超限第第5组组1800003合格合格第第5组组1795933合格合格第第6组组1800100合格合格第第6组组1800036合格合格第第7组组1800421超限超限第第7组组1795946合格合格第第8组组1800018合格合格第第8组组1800021合格合格第第9组组1795930合格合格第第9组组1795954合格合格10组组1800003合格合格10组组1800003合格合格11组组1800024合格合格11组组1795936合格合格 已知：mx1,m

14、x2,mxn 求：my=?.),(21xxfy设有函数式：nmyyy y=? 五、 观测值函数的中误差计算 1、误差传播定律、误差传播定律五、 观测值函数的中误差计算 1、误差传播定律、误差传播定律一一. .观测值的函数观测值的函数例：例：高高差差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距离平均距离实地距离实地距离三角边三角边和或差函数和或差函数线性函数线性函数倍数函数倍数函数一般函数一般函数坐标增量坐标增量一般函数一般函数五、 观测值函数的中误差计算 2、几种常见函数的中误差、几种常见函数的中误差（一）和（一）和( (差差) )函数函数yxz已知：已知：mx,my

15、, 求：求：mz=?nmzzz)()(yyxxzzyxz五、 观测值函数的中误差计算 2、几种常见函数的中误差、几种常见函数的中误差（一）和（一）和( (差差) )函数函数yxzyxznmzzz111yxz222yxznnnyxz211121212yyxxz222222222yyxxz2222nnnnnyyxxz 2222yyxxz五、 观测值函数的中误差计算 2、几种常见函数的中误差、几种常见函数的中误差（一）和（一）和( (差差) )函数函数（一）和（一）和( (差差) )函数函数yxznmzzz 2222yyxxznynyxnxnz 22222zm2xm2ym0222yxzmmm（一）和

16、差函数（一）和差函数yxz已知：已知：mx,my, 求：求：mz=?222yxzmmmyxz五、 观测值函数的中误差计算 2、几种常见函数的中误差、几种常见函数的中误差222yxzmmm35五、 观测值函数的中误差计算 在在A、B两点之间安置水准仪测量高差，要求高差中误两点之间安置水准仪测量高差，要求高差中误差不大于差不大于3mm，试问在水准尺上读书的中误差为多少？，试问在水准尺上读书的中误差为多少？例例（二）倍乘函数（二）倍乘函数kxz 已知：已知：mx,求：求：mz=?nmzzz xkz11xkz22xkznnxkz21221xkz22222xkz222nnxkz五、 观测值函数的中误差计

17、算 2、几种常见函数的中误差、几种常见函数的中误差（二）倍乘函数（二）倍乘函数kxz nmzzz 222xkznxknz222xzmkm 五、 观测值函数的中误差计算 2、几种常见函数的中误差、几种常见函数的中误差m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 0100010001000222SmmmmlSlS即lS1000解：解：量得量得1：1000 地形图上两点间长度地形图上两点间长度 L=168.5mm 0.2mm, 计算该两点实地距离计算该两点实地距离S及其中误差及其中误差ms：列函数式列函数式五、 观测值函数的中误差计算 例例（三）线性函数（三）线性函数（X X为独立观测量）

18、为独立观测量）nnxkxkxkz2211222xymkm iiixky :令nyyyz21222212nyyyzmmmm22222221212nxnxxzmkmkmkm五、 观测值函数的中误差计算 2、几种常见函数的中误差、几种常见函数的中误差若若nlllxn21mmmmn21222222122111nxmnmnmnm21mnnmmx（三）线性函数（三）线性函数（X X为独立观测量）为独立观测量）五、 观测值函数的中误差计算 2、几种常见函数的中误差、几种常见函数的中误差例：例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术该距离的算术 平均值平均值 ； 观测

19、值的中误差观测值的中误差 ； 算术平均值的中误算术平均值的中误 差差 ； 算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ：xxmMxM / 凡是相对中误差，都必须用分子为凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。的分数表示。( (四四) )一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律设有函数),(21nxxxfZxi为独立观测值为独立观测值对上式上式线性化nnndxxfdxxfdxxfxxxfZ221100201),(nnndxfdxfdxfxxxf221100201),(iiidxxx0idxixmm 22222212212nxnxxzmfmfmfm2222222122

20、12nxxxzmxfmxfmxfm中误差关系式中误差关系式： 小结 第一步：写出函数式（各自变量独立） 第二步：写出全微分式(线性化) 第三步：写出中误差关系式 注意：注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式一步写出中误差关系式。22222221212.nnymfmfmfm例例已知某矩形长a=500米，宽b=400米, ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。abP adbbdadP2222bapmambm22)02. 0500()02. 0400(2228 .12108m五、 观测值函数的中误差计算 例题已知 有求：mmmm3,

21、180ffm22291fmmm222223mmmmmf222234391mmmm错误错误例题已知 有；求：mmmm3,180ffmmmmmmmmm3296969191946033322222观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D22222222222cossincossincoscosvSDvSDmhmvmmvSmvmdvvSdsvdDvSD或，三，二，一，误差传播定律应用误差传播定律应用观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h22222222222sincossincossinsinvShvShmDmvmmvSmvmdvvSdsvdhvSh或，三，二，一，误差传播定律应用误差传播定律应用算

22、术平均值 已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mxnlllxn21mnmnmnmnmdlndlndlndxnxn1)1()1()1(1112222221221误差传播定律应用误差传播定律应用算例：用三角形闭合差求测角中误差次序观测值 l1180-00-10.3-10.3106.12179-59-57.2+2.87.83179-59-49.0+11.01214180-00-01.5-1.52.65180-00-02.6-2.66.8S-1.6244.3秒0 .753 .244mCBA223mmmm3秒0 . 43/mm误差传播定律应用误差传播定律应用51误差传播定律应用误差传播定律应用例：例

23、：要求三角形最大闭合差要求三角形最大闭合差 ，问用，问用DJ6DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 15f1233180321xfmmf）（解：解：每个角的测角中误差：每个角的测角中误差： 3 . 435 . 7xm测回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于由于DJ6一测回角度中误差为：一测回角度中误差为：由角度测量由角度测量n测回取平均值的中误差公式：测回取平均值的中误差公式：5 . 826m5 . 7, 152ffmmf则 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。15f

24、误差传播定律应用误差传播定律应用DMPxycossinxDyDXYO由误差传播定律：2222222220cossincos72 20 40240sin72 2025.3206.320sincossin72 20 40240cos72 2038.8206.3xDyDmmmDmmmmmDmm解：解：180206265P点的点位中误差：222225.338.346.3PxyMmmmm例：例：已知直线已知直线MPMP的坐标方位角的坐标方位角 =72=72 2020 0000 ， 水平距离水平距离D=240mD=240m。如已知方位角中误差。如已知方位角中误差 ，距离中误差，距离中误差 ， 求由此引起的

25、求由此引起的P P点的坐标中误差点的坐标中误差 、 ， 以及以及P P点的点位中误差点的点位中误差 。20m 40Dmmm xmymPMcossinsincosdDdddDddDyDx54课堂练习1、已知四边形各内角的测角中误差均为20，允许误差为中误差的2倍，求四边形闭合差的允许误差。2、坡上测距，测的斜距为1247.509m，中误差为5mm；测的该边倾斜角为53030，中误差为30，求水平距离及其中误差。3、用经纬仪观测水平角，测角中误差为9。欲使角度结果的精度达到5，问需要观测几个测回?6 6 -7加权平均数及其中误差 现有三组观测值，计算其最或然值A组： 123.34, 123.39,

26、 123.35B组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32C组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 各组的平均值 A组： 123.360 B组： 123.333 C组： 123.356 AlClBl3CBAlllxx=?加权平均数 各组的平均及其权 A组： 123.360 权PA=3 B组： 123.333 PB=4 C组： 123.356 PC=5AlClBl1212874321lllllllxCPBPAPlPlPlPlllCCBBAACBA543543 ( ) ( ) ( )一、权与中误差llCBAAApmmmmmmmmmmllll/5/4/3/9/33/ )(22321 平均数的权pA=3 平均数的中误差 m单位权中误差 权与误差的平方成反比22llmmp 二、加权平均数iiinnnplpppplplplpx212211nlxppii当：三、加权平均值的中误差 .CSCBSBASASiiiiilPplPplPpPlpplpxsxpmm ppPsx.2222222CSCBSBASAxmPpmPpmPpm.2222222CSCBSBASAxpmPppmPppmPpmSSCSBSAxPmmPpmPpmPpm22222222. 四、单位权中