同济高数学习教案

1、会计学1同济同济(tn j)高数高数第一页，共178页。abxyoabxyo用矩形面积近似取代用矩形面积近似取代(qdi)曲边梯形面曲边梯形面积积显然显然(xinrn)，小矩形越多，矩形总面积越接，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积近曲边梯形面积（四个小矩形（四个小矩形(jxng)）（九个小矩形）（九个小矩形）第2页/共178页第二页，共178页。观察观察(gunch)下列演示过程，注意当分割加下列演示过程，注意当分割加细时，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放(b fn)第3页/共178页第三页，共178页。曲边梯形曲边梯形(txng)如图如图所示

2、，所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxx 第4页/共178页第四页，共178页。iniixfA )(1 曲边梯形曲边梯形(txng)面积的近似值为面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分

3、割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形曲边梯形(txng)面面积为积为第5页/共178页第五页，共178页。实例实例(shl)2 (shl)2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作度看作(kn zu)不变，求出各小段的路程再相加不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程

4、的近似值，最后通过对时间的无限，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值第6页/共178页第六页，共178页。（1）分割）分割(fng)212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和(qi h)iinitvs )(1 （3）取极限）取极限(jxin),max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值第7页/共178页第七页，共178页。设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,

5、ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i （iix ），），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，定义定义(dngy)第8页/共178页第八页，共178页。怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函被积函数数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上

6、点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分积分(jfn)上限上限积分下限积分下限积分积分(jfn)和和第9页/共178页第九页，共178页。注意注意(zh y)：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积

7、分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.第10页/共178页第十页，共178页。 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理(dngl)1(dngl)1定理定理(dngl)2(dngl)2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .第11页/共178页第十一页，共178页。, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形曲边梯形(txng)的面的面积积, 0)( xf ba

8、Adxxf)(曲边梯形曲边梯形(txng)的的面积的负值面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 第12页/共178页第十二页，共178页。几何几何(j h)意义：意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 第13页/共178页第十三页，共178页。例例1 1 利用利用(lyng)(lyng)定义计算定义计算定积分定积分.102dxx 解解将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(n

9、i, 2 , 1 )小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 第14页/共178页第十四页，共178页。nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 第15页/共178页第十五页，共178页。例例2 2 利用利用(lyng)(lyng)定义计算定积定义计算定积分分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分点点 12, nqqq,典型小区间为典

10、型小区间为,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii第16页/共178页第十六页，共178页。 niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 第17页/共178页第十七页，共178页。例例 3 3 设函数设函数)(xf

11、在区间在区间 1 , 0上连续，且取正值上连续，且取正值.证明证明(zhngmng)nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试证试证.10)(ln dxxfe利用对数利用对数(du sh)的性的性质得质得第18页/共178页第十八页，共178页。 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1 , 0区区间间上上的的一一个个积积分分和和分分割割是是将将1 , 0n等等分分分点为分点为nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnnfnfnfe21lnlim极限极限(jxin)运

12、算与对数运算换序运算与对数运算换序得得第19页/共178页第十九页，共178页。nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因为因为)(xf在区间在区间1 , 0上连续，且上连续，且0)( xf所以所以)(lnxf在在1 , 0上有意义且可积上有意义且可积 ,第20页/共178页第二十页，共178页。定积分的实质：特殊定积分的实质：特殊(tsh)和式的极限和式的极限定积分定积分(jfn)的思想和方法：的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近

13、似以直（不变）代曲（变）取极限取极限第21页/共178页第二十一页，共178页。思考题思考题将和式极限将和式极限(jxin)： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示表示(biosh)成成定积分定积分.第22页/共178页第二十二页，共178页。思考题解答思考题解答(jid)原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 第23页/共178页第二十三页，共178页。一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数)(xf 在在 ba ,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和

14、的极限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关 . .3 3、 定积分的几何意义是定积分的几何意义是_ . .4 4、 区间区间 ba ,长度的定积分表示是长度的定积分表示是_ . .二、二、 利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积 . .三、三、 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分 baxdx，)(ba . .练练 习习 题题第24页/共178页第二十四页，共178页。四、四、 利用定积分

15、的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的闸门上水的是是压强压强 P的的水深水深 h函数，且有函数，且有)(8 . 92米米千千米米hp ，若闸门高，若闸门高米米3 H，宽，宽米米2 L，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力压力P（见教材图（见教材图 5-35-3）. .第25页/共178页第二十五页，共178页。一、一、1 1、 niiixf10)(l

16、im ； 2 2、被积函数、被积函数, ,积分区间积分区间, ,积分变量；积分变量；3 3、介于曲线、介于曲线)(xfy , ,轴轴x, ,直线直线bxax ,之间之间 各部分面积的代数和；各部分面积的代数和；4 4、 badx. .二、二、abab )(3133. .三、三、)(2122ab . .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).练习题答案练习题答案(d n)第26页/共178页第二十六页，共178页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形矩形面积和与曲边梯形(txng)面积的关系面积的关系第27页/共178页第二十七页，共1

17、78页。观察下列演示过程，注意观察下列演示过程，注意(zh y)当分割加当分割加细时，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第28页/共178页第二十八页，共178页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形矩形(jxng)面积和与曲边梯形面积的关系面积和与曲边梯形面积的关系第29页/共178页第二十九页，共178页。观察下列演示过程观察下列演示过程(guchng)，注意当分割加，注意当分割加细时，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第30页/共178页第三十页，共178页。观察观察(gunch)下列

18、演示过程，注意当分割加下列演示过程，注意当分割加细时，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第31页/共178页第三十一页，共178页。观察观察(gunch)下列演示过程，注意当分割加细下列演示过程，注意当分割加细时，时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第32页/共178页第三十二页，共178页。观察观察(gunch)下列演示过程，注意当分割下列演示过程，注意当分割加细时，加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第33页/共178页第三十三页，共178页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注

19、意当分割加细时，矩形面积矩形面积(min j)和与曲边梯形面积和与曲边梯形面积(min j)的关系的关系第34页/共178页第三十四页，共178页。观察下列观察下列(xili)演示过程，注意当分割加细演示过程，注意当分割加细时，时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第35页/共178页第三十五页，共178页。观察观察(gunch)下列演示过程，注意当分割下列演示过程，注意当分割加细时，加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第36页/共178页第三十六页，共178页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩

20、形面积和与曲边梯形矩形面积和与曲边梯形(txng)面积的关系面积的关系第37页/共178页第三十七页，共178页。观察观察(gunch)下列演示过程，注意当分割加下列演示过程，注意当分割加细时，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第38页/共178页第三十八页，共178页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积(min j)和与曲边梯形面积和与曲边梯形面积(min j)的的关系关系第39页/共178页第三十九页，共178页。观察观察(gunch)下列演示过程，注意当分割加细时下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积

21、和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第40页/共178页第四十页，共178页。观察观察(gunch)下列演示过程，注意当分割加细下列演示过程，注意当分割加细时，时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第41页/共178页第四十一页，共178页。 第二节第二节 定积分的性质、中值定理定积分的性质、中值定理(dngl) 一、基本内容一、基本内容 二、小结二、小结 思考题思考题第42页/共178页第四十二页，共178页。对定积分对定积分(jfn)的补充规定的补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxx

22、f)()(.说明说明(shumng) 在下面的性质中，假定在下面的性质中，假定(jidng)定积定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小分都存在，且不考虑积分上下限的大小第43页/共178页第四十三页，共178页。证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质（此性质(xngzh)可以推广到有限多个函数作和的情况）可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质(xngzh)1(xngzh)1第44页/共178页第

23、四十四页，共178页。 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质(xngzh)2(xngzh)2第45页/共178页第四十五页，共178页。 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfd

24、xxf（定积分对于（定积分对于(duy)积分区间具有可加性）积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质(xngzh)3(xngzh)3第46页/共178页第四十六页，共178页。dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质(xngzh)4(xngzh)4性质性质(xngzh)5(xngzh)5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，第47页/共178页第四十七页，共178页。例

25、例 1 1 比较积分值比较积分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是(ysh)dxex 20.20dxx 第48页/共178页第四十八页，共178页。性质性质(xngzh)5(xngzh)5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(x

26、gxf ，（1）第49页/共178页第四十九页，共178页。dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质(xngzh)5(xngzh)5的推论：的推论：（2）第50页/共178页第五十页，共178页。设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质（此性质(xngzh)可用于估计积分值

27、的大致范围）可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质(xngzh(xngzh)6)6第51页/共178页第五十一页，共178页。例例 2 2 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx第52页/共178页第五十二页，共178页。例例 3 3 估估计计积积分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sinco

28、s)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,故故4 x为为极极大大点点，2 x为为极极小小点点,第53页/共178页第五十三页，共178页。,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx第54页/共178页第五十四页，共178页。如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间由闭区间(q jin)上连续函数的介值定上连续函数的介值定理知理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至

29、少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分（定积分(jfn)(jfn)中值定理）中值定理）积分积分(jfn)中值公式中值公式第55页/共178页第五十五页，共178页。在区间在区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，即即积分中值公式积分中值公式(gngsh)的几何解释：的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的

30、面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。第56页/共178页第五十六页，共178页。例例 4 4 设设)(xf可导，且可导，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由积分由积分(jfn)中值定理知有中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 第57页/共178页第五十七页，共178页。定积分定积分(jfn)的性质的性质（注意估值性质、积分中值定理（注意估值性质、积分中值定理(dn

31、gl)的应的应用）用）典型典型(dinxng)问题问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小第58页/共178页第五十八页，共178页。思考题思考题 定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可积，则上都可积，则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？第59页/共178页第五十九页，共178页。思考题解答思考题解答(jid) 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可积，不能断言积，不能断言)(),(xgxf在在,

32、ba上都可积。上都可积。 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0, 1)( 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1, 0)(显然显然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上可积，但上可积，但)(),(xgxf在在1 , 0上都不可积。上都不可积。例例第60页/共178页第六十页，共178页。一、一、 填空题：填空题：1 1、 如果积分区间如果积分区间 ba ,被点被点c分成分成 bcca,与与，则，则定积分的可加性为定积分的可加性为 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(在在上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为Mm与与，则，则 abdxxf

33、)(有如下估计式：有如下估计式：_ _ _；3 3、 时时当当ba ，我们规定，我们规定 badxxf)(与与 abdxxf)(的关的关系是系是_；4 4、 积分中值公式积分中值公式 badxxf)()( ,)(baabf 的几何意义是的几何意义是 _ _；练练 习习 题题第61页/共178页第六十一页，共178页。5 5、 下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 证明：证明： babadxxfkdxxkf)()(（是常数是常数k）. .三、

34、三、 估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、证明不等式：四、证明不等式： 2121dxx . .第62页/共178页第六十二页，共178页。六、用定积分定义和性质求极限六、用定积分定义和性质求极限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、设七、设)(xf及及 baxg,)(在在上连续，证明：上连续，证明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 则 在， 则 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(x

35、f不不0恒等于恒等于，则，则 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，则在，则在 )()(,xgxfba 上上 . .第63页/共178页第六十三页，共178页。一、一、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(； 3 3、 badxxf)( abdxxf)(；4 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于、曲边梯形各部分面积的代数和等于 为邻为邻与与abf )( 边的矩形面积；边的矩形面积； 5 5、(1)(1)； (2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、

36、 32arctan9331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .练习题答案练习题答案第64页/共178页第六十四页，共178页。第65页/共178页第六十五页，共178页。对定积分对定积分(jfn)的补充规定的补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明(shumng) 在下面的性质中，假定在下面的性质中，假定(jidng)定积分都定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小存在，且不考虑积分上下限的大小第66页/共178页第六十六页，共178页。证证 badxxgxf)()(iiini

37、xgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质（此性质(xngzh)可以推广到有限多个函数作和的情况）可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质(xngzh)1(xngzh)1第67页/共178页第六十七页，共178页。 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质(xngzh)2(x

38、ngzh)2第68页/共178页第六十八页，共178页。 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分（定积分(jfn)对于积分对于积分(jfn)区间具有可区间具有可加性）加性）则则假设假设bca 性质性质(xngzh)3(xngzh)3第69页/共178页第六十九页，共178页。dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba.

39、. )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质(xngzh)4(xngzh)4性质性质(xngzh)5(xngzh)5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，第70页/共178页第七十页，共178页。例例 1 1 比较积分值比较积分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是(ysh)dxex 20.20dxx 第71页/共1

40、78页第七十一页，共178页。性质性质(xngzh)5(xngzh)5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）第72页/共178页第七十二页，共178页。dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.说明：说

41、明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质(xngzh)5(xngzh)5的的推论：推论：（2）第73页/共178页第七十三页，共178页。设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计（此性质可用于估计(gj)积分值的大致范围）积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质(xngzh(xngzh)6)6第74页/共178页第七十四页，共178页。例例 2

42、2 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx第75页/共178页第七十五页，共178页。例例 3 3 估估计计积积分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,故故4 x为为极极大大点点，2 x为为极极小小点点,第76页/共178页第七十六页，共178页。,22)4( fM,2)2( fm,442

43、ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx第77页/共178页第七十七页，共178页。如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间由闭区间(q jin)上连续函数的介值上连续函数的介值定理知定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质(xngzh)7(xngzh)7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分积分(jfn)中值公式中值公式第78页/共178页第七十八页，共178页。在区间在区间,

44、ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，即即积分积分(jfn)中值公式的几何解释：中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。第79页/共178页第七十九页，共178页。例例 4 4 设设)(xf可导，且可导，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解

45、由积分由积分(jfn)中值定理知有中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 第80页/共178页第八十页，共178页。定积分定积分(jfn)的性质的性质（注意（注意(zh y)估值性质、积分中值定理的应用）估值性质、积分中值定理的应用）典型典型(dinxng)问题问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小第81页/共178页第八十一页，共178页。思考题思考题 定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若)(),

46、(xgxf在在,ba上都可积，则上都可积，则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？第82页/共178页第八十二页，共178页。思考题解答思考题解答(jid) 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可积，不能断言积，不能断言)(),(xgxf在在,ba上都可积。上都可积。 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0, 1)( 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1, 0)(显然显然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上可积，但上可积，但)(),(xgxf在在1 , 0

47、上都不可积。上都不可积。例例第83页/共178页第八十三页，共178页。一、一、 填空题：填空题：1 1、 如果积分区间如果积分区间 ba ,被点被点c分成分成 bcca,与与，则，则定积分的可加性为定积分的可加性为 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(在在上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为Mm与与，则，则 abdxxf)(有如下估计式：有如下估计式：_ _ _；3 3、 时时当当ba ，我们规定，我们规定 badxxf)(与与 abdxxf)(的关的关系是系是_；4 4、 积分中值公式积分中值公式 badxxf)()( ,)(baabf 的几何意义是的几何意义

48、是 _ _；练练 习习 题题第84页/共178页第八十四页，共178页。5 5、 下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 证明：证明： babadxxfkdxxkf)()(（是常数是常数k）. .三、三、 估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、证明不等式：四、证明不等式： 2121dxx . .第85页/共178页第八十五页，共178页。六、用定积分定义和性质求极限六、用定积分定义和性质求极限: :1 1、

49、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、设七、设)(xf及及 baxg,)(在在上连续，证明：上连续，证明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 则 在， 则 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒等于恒等于，则，则 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，则在，则在 )()(,xgxfba 上上 . .第86页/共178页第八十六页，共178页。一、一

50、、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(； 3 3、 badxxf)( abdxxf)(；4 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于、曲边梯形各部分面积的代数和等于 为邻为邻与与abf )( 边的矩形面积；边的矩形面积； 5 5、(1)(1)； (2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、 32arctan9331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .练习题答案练习题答案第87页/共178页第八十七页，共178页。 第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式(gngsh) 一、问题的提出一、问题的

51、提出 二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式(gngsh)发发 四、小结四、小结 思考题思考题第88页/共178页第八十八页，共178页。变速直线运动中位置函数与速度变速直线运动中位置函数与速度(sd)函数函数的联系的联系变速变速(bin s)直线运动中路直线运动中路程为程为 21)(TTdttv 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时是时间间隔间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程另一方面这段路程

52、(lchng)可表示可表示为为)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中第89页/共178页第八十九页，共178页。 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点， xadxxf)(考察考察(koch)定定积分积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限积分上限(shngxin)函数函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函

53、数数，第90页/共178页第九十页，共178页。ab xyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分积分(jfn)上限函数的性质上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x第91页/共178页第九十一页，共178页。 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分由积分(jfn)中值定理中值定理得得xf )( ,xxx

54、 xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(xx第92页/共178页第九十二页，共178页。 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充(bchng) )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF第93页/共178页第九十三页，共178页。例例1 1 求求.lim21cos02

55、xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.第94页/共178页第九十四页，共178页。例例 2 2 设设)(xf在在),(内连续，且内连续，且0)( xf.证明函数证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0(内为单调增内为单调增加函数加函数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)(

56、)()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF第95页/共178页第九十五页，共178页。 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.第96页/共178页第九十六页，共178页。例例 3 3 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，且且1)( xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一个个解解.证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0

57、)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在 1 , 0上只有一个解上只有一个解.令令第97页/共178页第九十七页，共178页。定理定理(dngl)2(dngl)2（原函数存在（原函数存在定理定理(dngl)(dngl)） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. .定理的重要定理的重要(zhngyo)意义：意义：（1

58、）肯定）肯定(kndng)了连续函数的原函数是存在的了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系联系.第98页/共178页第九十八页，共178页。定理定理(dngl) 3(dngl) 3（微积分基本（微积分基本公式）公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证第9

59、9页/共178页第九十九页，共178页。令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿(ni dn)莱布尼茨公式莱布尼茨公式第100页/共178页第一百页，共178页。)()()(aFbFdxxfba 微积分基本微积分基本(jbn)公式表明：公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意(zh y)当当ba 时，时，)()(

60、)(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题求定积分问题(wnt)转化为求原函数的问题转化为求原函数的问题(wnt).第101页/共178页第一百零一页，共178页。例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12第102页/共178页第一百零二页，共178页。例例6 6 求求 .,max222 d