向量代数与空间解析几何学习教案

1、会计学1向量向量(xingling)代数与空间解析几何代数与空间解析几何 第一页，共120页。2xoy面面yoz面面zox面面空间空间(kngjin)直角坐标系共有八直角坐标系共有八个卦限个卦限xyoz第2页/共120页第二页，共120页。3)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxCxyzo),(zyxM 空间空间(kngjin)的点的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊特殊(tsh)点的表点的表示示:)0 , 0 , 0(O坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C一个分量为零一个分量为零:

2、:点在坐标点在坐标(zubio)(zubio)面上面上. . 两个分量为零两个分量为零: :点在坐标轴上点在坐标轴上. . 第3页/共120页第三页，共120页。4, ),(1111zyxM设设),(2222zyxM为空间为空间(kngjin)两点两点,由勾股定理由勾股定理(u dn l)，得，得两点间的距离两点间的距离(jl)(jl)公式：公式： 22122122121)()()(|zzyyxxMM Oxyzz1z2x2x1y1y2M2M1特特别别，点点),(zyxM与与原原点点)0 , 0 , 0(O的的距距离离为为 222|zyxOM 第4页/共120页第四页，共120页。5 在在 z

3、轴上求与两点轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距等距离离(jl)的点的点.设该点为设该点为M(0, 0, z) , ,由题设由题设 |MA| = |MB| ,即即222222)2()05()03()7()01()04( zz 解得解得，914 z即所求点为即所求点为.)914, 0, 0(M例例1 1解解第5页/共120页第五页，共120页。6一、向量一、向量(xingling)的概念的概念1、向量、向量(xingling): 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 称为向称为向量量(xingling) (或矢量或矢量).用一条有方向的线段来表示向量用一条有

4、方向的线段来表示向量.2、向量的几何表示法向量的几何表示法以线段的以线段的长度长度表示向量的表示向量的大小大小, ABa特别特别: : 模为模为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. . 模为模为0 0的向量称为的向量称为零向量零向量. .记为记为 , ,它的方向可以看它的方向可以看作是任意的作是任意的. .0有向线段的有向线段的方向方向表示向量的方向表示向量的方向. .以以A为起点为起点, B为终点的向量为终点的向量, 记为记为 或或 .ABa向量向量 的大小叫做向量的的大小叫做向量的模模. 记为记为 或或 . ABAB|a| |第6页/共120页第六页，共120页。73、自由、自由(

5、zyu)向量向量a自由向量：只有大小、方向自由向量：只有大小、方向, 而无特定起点的向量而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移具有在空间中可以任意平移(pn y)的性质的性质.ba与与若若向向量量大小相等且方向相同大小相等且方向相同,记记作作相相等等与与称称 .ba.ba aab4、向量、向量(xingling)相等相等即通过平移即通过平移可以使它们可以使它们重合重合, ,第7页/共120页第七页，共120页。85、向量、向量(xingling)平行平行(或或共线共线)abab6、向量、向量(xingling)共面共面 当把若干个向量的起点放在一起时当把若干个向量的起点放在一起时, ,

6、若它们的若它们的终点和公共起点在一个平面终点和公共起点在一个平面(pngmin)(pngmin)上上, ,则称这则称这些向量共面些向量共面. . 如果两个向量如果两个向量 与与 的方向相同或相反的方向相同或相反, ,称为称为平行平行, ,记为记为abab第8页/共120页第八页，共120页。9, 0 a, 0 bab 称称为为向向量量 a与与向向量量 b的的夹夹角角, 记记为为 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角的夹角(ji jio)可在可在0与与 之间任意取值之间任意取值.)0( AOBAOB 则则),(ba),(ab或或.7、两向

7、量、两向量(xingling)的夹的夹角角将它们将它们(t men)(t men)平移，使得始平移，使得始点重合，点重合， ab方方向向相相同同与与ba:0 方方向向相相反反与与ba: 平行，平行，垂垂直直与与ba:2 .ba 第9页/共120页第九页，共120页。101、向量、向量(xingling)的的加法加法(1) 平行四边形法则平行四边形法则(fz)abbba (2) 三角形法则三角形法则(fz)abba b向量的加法向量的加法第10页/共120页第十页，共120页。11向量向量(xingling)(xingling)加法的运算加法的运算规律：规律：(1) 交换律交换律: abba (

8、2) 结合律结合律:)()(cbacba ba ababcb cba abcba 第11页/共120页第十一页，共120页。12多个多个(du )(du )向量相加向量相加: : s1a2a3a4anaaa 21从从1a的的起起点点开开始始, ,首首尾尾相相接接, ,指指向向na的的终终点点. . 例如例如(lr),4321aaaas 第12页/共120页第十二页，共120页。13abb b cbabac )(2) 向量向量(xingling)减减法法.规定规定(gudng):)( baba (1) 负向量负向量: 与与 模相同而方向相反的向量模相同而方向相反的向量, 称为称为 的的负向量负向

9、量, 记作记作 .aaa aa 将将 之一平移之一平移, 使使起点重合起点重合, 由由 的终点向的终点向 的终点作一向量的终点作一向量, 即为即为 abba,.ba abba ba 第13页/共120页第十三页，共120页。14定义定义(dngy)模：模： |aa 当当 0时时, ;同同向向与与aa 当当 0时时, 当当 = 0时时, ., 0它它的的方方向向可可以以是是任任意意的的 a 设设为实数为实数(shsh). 规定: 向量 与数 的 为一个向量.a 乘积乘积aaa 0 ;反反向向与与aa a 0 方向：方向：第14页/共120页第十四页，共120页。15向量向量(xingling)与

10、数的乘积的运算与数的乘积的运算规律规律:(1) 结合律结合律:aaa)()()( (2) 分配律分配律:aaa )(baba )(定理定理(dngl)设设0 a, ,则则ab/存存在在唯唯一一实实数数k, ,使使akb . . 向量向量(xingling)(xingling)的的单位化：单位化：，设设0 a则则 表表示示与与 a方方向向相相同同的的单单位位向向量量. . aa|1第15页/共120页第十五页，共120页。16例例2 2 试用向量证明三角形两边试用向量证明三角形两边(lingbin)(lingbin)中点的连线平中点的连线平行于第三边行于第三边, ,且其长度等于第三边的一半且其长

11、度等于第三边的一半. . 如如图图所所示示, ,设设ED,分分别别为为ACAB,的的中中点点, ,则则 证证ABCDE,21ABAD ADAEDE ,21ACAE 所以所以(suy)(21ABAC ,21BC 所以所以(suy),/ BCDE且且.21BCED 第16页/共120页第十六页，共120页。17设设cba,两两两两不不平平行行, ,若若0 cba, ,则则 cba,构构成成一一个个三三角角形形. . 设设立立方方体体三三边边为为cba, ,FEDCBA,为为各各边边中中点点, , 例例3 3证证证证明明：EFCDAB,构构成成三三角角形形. . ABCDEFOabc, )(21ba

12、AB , )(21caCD , )(21bcEF 0 EFCDAB, ,即即构构成成三三角角形形. . 第17页/共120页第十七页，共120页。18设设FED,分分别别是是 ABC 三三边边的的中中点点, ,证证明明 类类似似, ,设设dcba,两两两两不不平平行行, ,若若0 dcba, ,则则dcba,构构成成一一个个四四边边形形( (但但不不一一定定共共面面) ). . 练习练习(linx)：证证明明向向量量CDBFAE,构构成成某某个个三三角角形形的的三三边边. . 第18页/共120页第十八页，共120页。191. 起点在原点的向量起点在原点的向量(向径向径)OM设点设点 M (x

13、,y, z)zijkMoxyCABzyxN以以 分别表示沿分别表示沿x, y, z轴正向的单位向量轴正向的单位向量, 称为称为基本单基本单位向量位向量. .kji,OM = OA + AN +NM r= OA + OB + OC,kzj yix 称称 OA、OB、OC分别是分别是OM 在在 x 轴轴, y 轴轴, z 轴轴上的上的分向量分向量, 而而x, y, z,分别是分别是OM 在三坐标轴上的投在三坐标轴上的投影影, 称为称为OM 的的坐标坐标.简记为简记为 , 此称为向量此称为向量 的的坐标表示式坐标表示式.OMr ,zyxr 第19页/共120页第十九页，共120页。20 xyzo 1

14、MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaPMQMPMazyx 111 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 2. 起点不在原点起点不在原点O的任一向量的任一向量21MMa 设点设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)第20页/共120页第二十页，共120页。21kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的

15、坐标按基本单位向量的坐标(zubio)分解式：分解式：在三个坐标轴上的分向量在三个坐标轴上的分向量(xingling)：,kajaiazyx向量向量(xingling)的坐标：的坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 第21页/共120页第二十一页，共120页。22,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( .)()()(kajaiazy

16、x 第22页/共120页第二十二页，共120页。23两向量两向量(xingling)平行的充要平行的充要条件：条件：即即 ax = bx，ay = by，az = bz，于是于是(ysh)./zzyyxxbabababa 即对应的坐标即对应的坐标(zubio)成比成比例例.注注: 在上在上 式中规定式中规定, 若某个分母为零若某个分母为零, 则相应的分子也为则相应的分子也为零零.已知已知baba /设设,zyxaaaa ,zyxbbbb 且且 为常数为常数,第23页/共120页第二十三页，共120页。24设设点点),(111zyxA, ,),(222zyxB, ,在在线线段段AB上上求求一一点

17、点M, ,使使 MBAM )1( . . （定定比比分分点点） ,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo例例4 4解解由题意由题意(t y)知：知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 第24页/共120页第二十四页，共120页。25,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzz M的坐标为的坐标为)1,1,1(212121 zzyyxx 特特别别, ,1 , ,得得线线段段AB的的中中点点 )2,2,

18、2(212121zzyyxx 第25页/共120页第二十五页，共120页。26设设向向量量,zyxr ， 作作kzj yi xrOM ， xyzo)0 ,0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxN),(zyxM 由勾股定理由勾股定理(u dn l)知，知，,|222zyxOMr 此即向量此即向量(xingling)(xingling)模的坐标模的坐标表示表示. . 第26页/共120页第二十六页，共120页。27 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角. . ，,zyxOMr 设设xyzo M,0 ,0 .0 第27页/共

19、120页第二十七页，共120页。28 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角. . ，,zyxOMr 设设xyzo M 由图分析由图分析(fnx)可可知知 cos|rx cos|ry cos|rz 向量的方向向量的方向(fngxing)余弦余弦方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向. .第28页/共120页第二十八页，共120页。29 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角. . ，,zyxOMr 设设xyzo M 222|zyxr ,cos222zyxx 向量方向余弦向量方向余弦

20、(yxin)的坐标表示的坐标表示式式时时，当当0|222 zyxr,cos222zyxy .cos222zyxz 第29页/共120页第二十九页，共120页。301coscoscos222 方向余弦(yxin)的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊(tsh)地：单位向量的方向余弦为,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 第30页/共120页第三十页，共120页。31 已知两点已知两点M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 计算向计算向量量M1 M2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2例例5 5解解M1 M2 = 1, 1, 221

21、MM;22cos ,21cos ,21cos .43 ,3 ,32 ;2)2(1)1(222 模模:方向方向(fngxing)余余弦：弦：方向方向(fngxing)角：角：第31页/共120页第三十一页，共120页。32 已知两点已知两点A(4, 0, 5)和和B(7, 1, 3). 求方向和求方向和AB 一致的单位向量一致的单位向量.例例6 6解解，14)2(13|222 AB.142 ,141 ,143| ABABa,2, 1, 3 AB第32页/共120页第三十二页，共120页。33P8 习题习题(xt)8.21. 第33页/共120页第三十三页，共120页。34sF解解: : 由物理知

22、由物理知, , 与位移平行与位移平行的分力作功的分力作功, , 与位移垂与位移垂直直(chuzh)(chuzh)的分力不的分力不作功作功. . 于是于是一、向量(xingling)的数量积|cos|SFW 例如例如: 设力设力 F 作用于某物体上作用于某物体上, 物体有一段位移物体有一段位移 S , 求功的表示式求功的表示式.cos| SF 第34页/共120页第三十四页，共120页。35ab 数量数量(shling)积也称为积也称为“点点积积”、“内积内积”.结论结论(jiln) (jiln) 两向量的数量积等于其中一个向量两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影

23、的乘积的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .定义(dngy),Prjcos|bba ,Prjcos|aab abbabPrj| .Prj|baa cos| |baba 向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba ， ( (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) ) 投影第35页/共120页第三十五页，共120页。36数量数量(shling)积符合下列运算规律：积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： . )()()(bababa 第36页/共120页第三十六页，共120页。37关于关于(gun

24、y)数量积的说明：数量积的说明：证证.| aaa 即即0)2( ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos . ba 即即，2|)1(aaa ,ba ,0cos . 0cos| | baba, 0 .|cos| |2aaaaa ,2 ,2 第37页/共120页第三十七页，共120页。38例例1 1 利用向量证明利用向量证明(zhngmng)(zhngmng)三角形的余三角形的余弦定理弦定理证证ab c.cos2222 abbac , bac 由于由于)()(| 2babaccc babbaa 2， cos| |2|22baba .cos2 222 abbac 第38页/共12

25、0页第三十八页，共120页。39证证明明三三角角不不等等式式 |baba . 例例2 2证证 cos| baba，|ba )()(| 2bababa 22| |2|bbaa 222bbaa ，2) | (ba 所以所以(suy). |baba 第39页/共120页第三十九页，共120页。40,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)()(kbjbibkajaiazyxzyx ,kji ,0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa ijk第40页/共120页第四十页，共120页。41 cos| |baba ,| |cosbaba 222222

26、coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦两向量夹角余弦(yxin)的坐标表示的坐标表示式式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量由此可知两向量(xingling)垂直的充要条件为垂直的充要条件为第41页/共120页第四十一页，共120页。42例例3 3解解已知已知3 , 1, 2 a，4 , 1 , 3 b，求，求 ba ； baab22 。 (1)ba ;17431)1(32 ,143)1(22222 a,264132222 bbaab22 4 , 1 , 3143 , 1, 226 .22,40,10 (2)第42页/共120页第四十二页，共120页

27、。43例例4 4解解;1100111 AMB cos.),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( AMBBAM 求求和和已知三点已知三点、,21221 .3 AMB.,的的夹夹角角与与就就是是向向量量作作向向量量MBMAAMBMBMA ,0 , 1 , 1 MA,1 , 0 , 1 MBMBMA ,2,2 MBMAMBMAMBMA ABM第43页/共120页第四十三页，共120页。44先研究物体(wt)转动时产生的力矩LFPQO 设设 O 为为一一根根杠杠杆杆 L 的的支支点点， 有有一一力力 F 作作用用于于这这杠杠杆杆上上 P 点点处处力力 F 与与 OP 的的夹

28、夹角角为为 ，力力 F 对对支支点点 O 的的力力矩矩是是一一向向量量 M，它它的的模模 |FOQM sin| |FOP M 的的方向方向: 垂直于垂直于OP与与F 所在的平所在的平面面, 指向使指向使OP、F与与M 满足满足右手规则右手规则.第44页/共120页第四十四页，共120页。45定义(dngy)向向量量a与与b的的向向量量积积 bac 规规定定为为 sin| |)1bacc 的的模模大大小小：(其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) 2 2) )方方向向：c的的方方向向同同时时垂垂直直于于a和和b， 即即垂垂直直于于a, ,b所所决决定定的的平平面面, ,a, ,b和和ba 成成右右

29、手手系系. . 向量积也称为向量积也称为(chn wi)“(chn wi)“叉积叉积”、“外积外积”.”.bac ab第45页/共120页第四十五页，共120页。46注注: （1）向量积的模的几何）向量积的模的几何(j h)意义意义.|ba 是是以以ba,为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积； （2 2）0 ba 当当且且仅仅当当 ba/. . （3 3）0 aa sin| |baba bac ab第46页/共120页第四十六页，共120页。47向量向量(xingling)积符合下列积符合下列运算规律：运算规律：（1）反交换律：反交换律：.abba （2）分配律：分配律：.)(cb

30、cacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa )()(baba bbbaabaa .2ba 例例5 5第47页/共120页第四十七页，共120页。48,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ijk第48页/共120页第四十八页，共120页。49向量向量(xingling)积还可用三阶行列式表积还可用三阶行列式表示示.zyxzyxbbbaaakjiba ba

31、kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 第49页/共120页第四十九页，共120页。50求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量. bac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc . )5152(kj 例例6 6解解第50页/共120页第五十页，共120页。51在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC边边上上的的高高BD. ABCD3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积的面积(min j)为为|2

32、1ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |521225BD .5| BD例例7 7解解|21BDACS |ABAC 054340 kji,161215kji 第51页/共120页第五十一页，共120页。52设已知三个向量设已知三个向量cba,，数量数量 cba )(称为称为这三个向量的这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba. . 定义(dngy)cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合混合(hnh)积的坐标表达式积的坐标表达式第52页/共120页第五十二页，共

33、120页。53（1）向量）向量(xingling)混合积的几何混合积的几何意义：意义： 向向量量的的混混合合积积cba是是这这样样的的一一个个数数, 它它的的绝绝对对值值表表示示以以向向量量cba,为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积. acbba 关于混合关于混合(hnh)积的说明：积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三三向向量量 a、b、c 共共面面 . 0 cba第53页/共120页第五十三页，共120页。54ABCD已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444

34、zyxD, 求四面体的体积求四面体的体积. 由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.| |61ADACABV 例例8 8解解第54页/共120页第五十四页，共120页。55,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 141414131313121212 abs 61 zzyyxxzzyyxxzzyyxxV ABCD,121212zzyyxxAB 第55页/共120页第五十五页，共120页。56例例9 9解解判别判别)2 , 0 , 3(),4 , 3 , 1(),

35、2 , 1 , 1(),1, 1, 2(DCBA 四点是否共面？四点是否共面？ 只要判别三个向量只要判别三个向量AB、AC、AD是否共面即可是否共面即可 630420321 ,3 , 2 , 1 AB,5 , 4 , 3 AC,3 , 1 , 1 AD311543321)( ADACAB,0 因此因此(ync) A、B、C、D 四点共四点共面面 第56页/共120页第五十六页，共120页。57解解例例1010已已知知2 cba，计计算算)()()(accbba . )()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0

36、0 0 0 cba )(cba )(2 2cba .4 第57页/共120页第五十七页，共120页。58向量向量(xingling)的数量积的数量积向量(xingling)的向量(xingling)积向量(xingling)的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）第58页/共120页第五十八页，共120页。59P15 习题习题(xt)8.31. 第59页/共120页第五十九页，共120页。60 xyzo 如果如果(rgu)一非零向量一非零向量垂直于一平面，这向量就叫垂直于

37、一平面，这向量就叫做该平面的法线向量做该平面的法线向量法线向量法线向量(xingling)的特的特征：征：垂直于平面(pngmin)内的任一向量已知平面的法线向量为已知平面的法线向量为,CBAn 设平面上的任一点为设平面上的任一点为，),(zyxMn一、平面及其方程),(0000zyxM且过点且过点求平面方程求平面方程.0MM1、平面的点法式方程第60页/共120页第六十页，共120页。61,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面的点法式(fsh)方程,CBAn ),(0000zyxM),(zyxM00 nMMxyzon0MM第61页/共120页第六十一页，共

38、120页。62求求过过点点)0 , 3, 2( A且且以以3 , 2, 1 n为为法法向向的的平平面面方方程程. . 解解例例1 1，03)3(2)2( zyx化简得所求平面化简得所求平面(pngmin)方方程为程为.0832 zyx由平面由平面(pngmin)的点的点法式法式第62页/共120页第六十二页，共120页。63求求过过三三点点)1, 0 , 1( A、)2 , 1 , 2(B和和)1 , 1 , 1( C的的平平面面方方程程. ,3, 1, 1 AB取取ACABn ,3, 8, 1 所求平面所求平面(pngmin)方方程为程为, 0)1(3)0(8)1( zyx化简得化简得.04

39、38 zyx解解例例2 2BCAn212311 kji,2, 1, 2 AC第63页/共120页第六十三页，共120页。64一一般般, ,若若三三点点)3 , 2 , 1( ),( izyxAiiii不不在在一一直直线线上上, ,则则这这三三点点确确定定一一张张平平面面, ,其其方方程程为为( (混混合合积积) ) 0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 或或 01111333222111 zyxzyxzyxzyx. . 称为称为(chn wi)平面的三点式方程平面的三点式方程 第64页/共120页第六十四页，共120页。65求求过过点点) 1 , 1 , 1

40、(,且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n所以所求平面所以所求平面(pngmin)的法向量为的法向量为21nnn 5,15,10 化简得化简得. 0632 zyx, 0)1()1(3)1(2 zyx所求平面所求平面(pngmin)方程为方程为解解例例3 3两平面两平面(pngmin)的法向分别的法向分别为为1223111 kji,1, 3, 2/第65页/共120页第六十五页，共120页。66 前面看到前面看到, ,平面可用三元一次方程平面可用三元一次方程(y c fn chn)(y c fn chn)表示

41、；反之表示；反之, ,任一三元一次方程任一三元一次方程(y c fn chn) (y c fn chn) 0 DCzByAx（* *） 当当 A,B,C A,B,C 不全为零时不全为零时(ln sh),(ln sh),表示一张平面表示一张平面, , 它的法向为它的法向为 ,CBAn （* *）称为平面的）称为平面的一般方程一般方程. . 第66页/共120页第六十六页，共120页。67平面一般方程的几种特殊平面一般方程的几种特殊(tsh)情情况：况：, 0)1( D平面平面(pngmin)通过坐标原通过坐标原点；点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平

42、行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论 情形.0 DCzByAx第67页/共120页第六十七页，共120页。68解解例例4 4求通过求通过 x 轴和点轴和点(4, 3, 1)的平面的平面(pngmin)方程方程.由于平面由于平面(pngmin)过过 x 轴轴, 所以所以 A = D = 0.设所求平面设所求平面(pngmin)的方程为的方程为 By + Cz = 0 ,又点(4, 3, 1)在平面上, 所以 3B C = 0 , C = 3B , ,所求平面方程为所求平面方程

43、为 By 3Bz = 0 ,0 B显然显然所以所求平面方程为所以所求平面方程为.03 zy第68页/共120页第六十八页，共120页。69设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR(其其中中0 a,0 b,0 c), 求求此此平平面面方方程程. 设平面设平面(pngmin)方程为方程为, 0 DCzByAx将三点将三点(sn din)坐标坐标代入得代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解例例5 5第69页/共120页第六十九页，共120页。70代入即得所求方程代入即得所求方程(fngc

44、hng)为为1 czbyax平面平面(pngmin)的截距式方的截距式方程程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距oyPxzQR,aDA ,bDB .cDC ,0 D显然显然,0 DCzByAx第70页/共120页第七十页，共120页。71把平面把平面(pngmin)方程化为方程化为截距式截距式, 14/556/5 zyxxyzo求求平平面面0546 zyx与与三三个个坐坐标标面面所所围围四四面面体体的的体体积积. . .1441254556561 V解解例例6 6第71页/共120页第七十一页，共120页。72两平面法向量(xingling)之间的夹角称为两平面的夹角.定义定

45、义(dngy)（通常（通常(tngchng)取锐取锐角）角）1 1n2 2n , 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 第72页/共120页第七十二页，共120页。73按照两向量按照两向量(xingling)夹角余弦公夹角余弦公式有式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面(pngmin)夹角余弦公式两平面两平面(pngmin)位置特位置特征：征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 第73页/共120页第七十三页，共120页。74求求两两平平

46、面面062 zyx和和052 zyx的的夹夹角角. . 解解例例7 7，2 , 1, 11 n两平面两平面(pngmin)的法向分别的法向分别为为，1 , 1 , 22 n，321 nn，6|21 nn21|cos2121 nnnn .3 第74页/共120页第七十四页，共120页。75解解例例8 8 判断下列判断下列(xili)(xili)各组平面的位置关各组平面的位置关系：系：；：0432 )1(1 zyx .01865 2 zyx： ，1 , 3, 21 n，8 , 6 , 52 n，021 nn. 21 ,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面两平面(pngm

47、in)平行平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行(pngxng)但不重但不重合合01224, 012)2( zyxzyx解解第75页/共120页第七十五页，共120页。76,212142 21)0 , 1, 1()0 , 1, 1( MM两平面两平面(pngmin)平行平行所以所以(suy)两平面重合两平面重合.02224, 012)3( zyxzyx,1, 1, 21 n2 , 2, 42 n解解第76页/共120页第七十六页，共120页。77.0)1, 1 , 0()1 , 1 , 1( 21，求求它它的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和和一一平平

48、面面通通过过两两点点 zyxMM1 1M2M1n.02 zyx111201 kji,1, 1, 2 解解例例9 9所求平面所求平面(pngmin)的法向的法向为为，过过点点)1 , 1 , 1(1M，0)1()1()1(2 zyx化简得化简得n121 nMMn 第77页/共120页第七十七页，共120页。78过过点点)1 , 3, 2( 且且与与平平面面0432 zyx平平行行的的平平面面方方程程. . 将将)1 , 3, 2( 代入得代入得 7 D, , 所求方程为所求方程为 0732 zyx. . 解解例例1010，032 Dzyx设所求方程设所求方程(fngchng)为为第78页/共12

49、0页第七十八页，共120页。79设设),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一点，求外一点，求0P到平面的距离到平面的距离. 1PNn0P 解解则有则有 0111 DCzByAx, , 在平面上取一点在平面上取一点),(1111zyxP, , 显然有显然有 |01ndnPP , , 而而,10101001CBAzzyyxxnPP )()()(101010zzCyyBxxA )(111000CzByAxCzByAx ，DCzByAx 000第79页/共120页第七十九页，共120页。80222000|CBADCzByAxd 点到平面点到平面(pngmin)距离公距离公式式如如,

50、 ,点点)1 , 1 , 1(到平面到平面0432 zyx的距离为的距离为 ，DCzByAxnPP 00001，而而222| CBAn 1944132 .144 , |01ndnPP 第80页/共120页第八十页，共120页。81平面平面(pngmin)的方程的方程（熟记平面的几种（熟记平面的几种(j zhn)特殊位置的特殊位置的方程）方程）两平面(pngmin)的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程一般方程截距式方程 （注意两平面的（注意两平面的位置关系位置关系）第81页/共120页第八十一页，共120页。82xyzo1 2 定义定义(dngy)空间空间(kngjin)直线可看成两个不平行平

51、面直线可看成两个不平行平面的交线的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA 空间(kngjin)直线的一般方程L1、空间直线的一般方程第82页/共120页第八十二页，共120页。83xyzo方向方向(fngxing)向量的向量的定义：定义： 如果一非零向量平行于一条如果一非零向量平行于一条已知直线，这个已知直线，这个(zh ge)(zh ge)向量称向量称为这条直线的方向向量为这条直线的方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM pzznyymxx0

52、00 第83页/共120页第八十三页，共120页。84pzznyymxx000 直线(zhxin)的点向式方程(或对称式方程)注注：若：若0 m, ,理解为理解为 lzznyyxx000, , 若若0 nm, ,理解为理解为 00yyxx, , 此时此时(c sh)直线与直线与 x 轴垂直；轴垂直； 此时直线此时直线(zhxin)与与 xOy 面面垂直垂直. 第84页/共120页第八十四页，共120页。85tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量方向向量(xingling)的余弦称为直线的余弦称为直线的方向余弦的方向余弦. 直线(

53、zhxin)的参数方程第85页/共120页第八十五页，共120页。86求求过过两两点点),(111zyxA、),(222zyxB的的直直线线方方程程. . 解解例例1111 直线直线(zhxin)的两点式方的两点式方程程 方向方向(fngxing)向量向量为为，,121212zzyyxxAB 121121121zzzzyyyyxxxx 所以所以(suy)所求直线方程为所求直线方程为第86页/共120页第八十六页，共120页。87一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( , 且且和和 y 轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程. 所以所以(suy)交点交点为为),0, 3, 0( B取取BAs

54、,4, 0, 2 所求直线(zhxin)方程.440322 zyx解解例例1212因为直线因为直线(zhxin)和和 y 轴垂直相交轴垂直相交, 第87页/共120页第八十七页，共120页。88即直线过点即直线过点)2 , 0 , 1( , , 解解例例13 13 将直线一般式化为对称方程将直线一般式化为对称方程(fngchng)(fngchng)及参数方程及参数方程(fngchng)(fngchng)： 043201zyxzyx先在直线先在直线(zhxin)上找一点：上找一点：,1 x令令， 06302zyzy解得解得， 20zy第88页/共120页第八十八页，共120页。89两平面的法向：

55、两平面的法向：1111， n, ,3 , 1, 22 n, , 直直线线的的方方向向向向量量为为 3, 1, 421 nns， 直直线线的的对对称称方方程程为为 32141 zyx. . 再求方向再求方向(fngxing)向量：向量： 043201zyxzyx1 2 1n2n参数参数(cnsh)方方程为程为.3241 tztytx即直线过点即直线过点)2 , 0 , 1( , , 第89页/共120页第八十九页，共120页。90定义定义(dngy)直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos

56、(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向(fngxing)向量的夹角称为两直线的夹角.（通常取锐角） 两直线(zhxin)的夹角公式s1s2第90页/共120页第九十页，共120页。91两直线两直线(zhxin)的位置关系：的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如(lr)，.21LL 即即第91页/共120页第九十一页，共120页。92求两直线求两直线 1L：21213 zyx和和 2L：230212/3 zyx的夹角的

57、夹角. . 解解例例1414,851517|220213|cos .851arccos 第92页/共120页第九十二页，共120页。93定义定义(dngy)直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角(ji jio) (ji jio) 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角(ji jio)(ji jio),:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns.20 第93页/共120页第九十三页，共120页。94222222|sinpnmCBACpBnAm 直线(zhxin)与平面的夹角公式直线与平面(pngmin)的位

58、置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm)2cos(sin | )2cos(| 第94页/共120页第九十四页，共120页。95例例15 15 判定下列各组直线与平面判定下列各组直线与平面(pngmin)(pngmin)的的关系：关系：. 3224: 37423: )1( zyxzyxL和和又点又点M0(3, 4, 0)在直线在直线(zhxin) L 上上, 但不在但不在平面上平面上,所以所以(suy) L 与与 平行平行, 但不重合但不重合.解解L的方向向量的方向向量3 , 7, 2 s 的法向量的法向量2, 2, 4 n,0 ns所以所以 L 与与 平行平行.第95

59、页/共120页第九十五页，共120页。96解解L的方向向量的方向向量7 , 2, 3 s 的法向量的法向量14, 4, 6 n,/ns所以所以(suy) L 与与 垂直垂直.81446: 723: )2( zyxzyxL和和例例15 15 判定下列各组直线与平面判定下列各组直线与平面(pngmin)(pngmin)的的关系：关系：第96页/共120页第九十六页，共120页。97解解L的方向向量的方向向量4, 1 , 3 s的法向量的法向量111， n. 3: 431232: )3( zyxzyxL和和,0 ns所以所以(suy) L 与与 平行平行.又又 L 上的点上的点 M0(2, 2, 3

60、) 满足平面满足平面(pngmin)方程方程,所以所以(suy) L 与与 重合重合.例例15 15 判定下列各组直线与平面的关系：判定下列各组直线与平面的关系：第97页/共120页第九十七页，共120页。98设设直直线线 :L21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的夹夹角角. ,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s|sinsnsn 967 .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角(ji jio)解解例例1616第98页/共120页第九十八页，共120页。99求求过过点点)4 , 2, 1( 且且与与平平面面0432 zyx垂垂直直的的直直线线方方