电磁场与电磁波第3章.ppt

1、静态电磁场：场量不随时间变化静态电磁场：场量不随时间变化 ，包括：，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立第第3章静态电磁场及其边值章静态电磁场及其边值问题的解问题的解本章内容本章内容 3.1 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场

2、的边值问题及解的惟一性定理 3.5 3.5 镜像法镜像法 3.6 3.6 分离变量法分离变量法3.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 3.1.5 静电力静电力3.1 静电场分析静电场分析3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 基本方程基本方程0SVCddVd DSEl积积分分形形式式： DE本本构构关关系系：

3、0 DE微微分分形形式式： 边界条件边界条件 12120 nnS eEEeDD 121212120= =0nttnnnEEDD eEEeDD对对于于理理想想介介质质，有有或或1212 ttnnSEEDD 或或1 1t t1 1n n1 11 11 1n n1 12 22 2t t2 2n n2 22 2n n2 2/ /t ta an n / /= = = =t ta an n/ / / /E EE ED DE EE ED D 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0 0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 nnS e DeE = 0= 0n nS

4、 St t= = = 0 0D DE E或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件0()0E 说明：说明：1)1)电位函数为电场的辅助函数，是一个电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数标量函数；2) “2) “”表示电场指向表示电场指向电位减小最快电位减小最快的方向；的方向；3) 3) 在直角坐标系中在直角坐标系中xyzEeeexyz 引入电位函数引入电位函数 ：E 3.1.2 电位函数电位函数 电位电位在静电场情况下在静电场情况下3 4qq rrErr由由空空间间中中点点电电荷荷 产产生生的的电电场场1 4q Err任意常数任意常数31 rrrrrr考考虑

5、虑到到得得1 =4qqC rr点点电电荷荷 产产生生的的电电位位与右式比较与右式比较 E 电位函数电位函数 不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示同一个电场，即示同一个电场，即 CC E设设对于连续分布电荷，有对于连续分布电荷，有 141414VSSlldVCRdSCRdlCR rrrrrr体电荷体电荷面电荷面电荷线电荷线电荷 4qC rrr 114NiiiqC rrr位于位于r处的点电荷处的点电荷位于不同位置位于不同位置r i的的N个点电荷个点电荷d El将两端点乘，则有将两端点乘，则有dddldl Ell上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意

6、路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得 QQPPddPQ ElP、Q两点两点间的间的电位差电位差电场力电场力做的功做的功 电位差电位差电场空间中不同位置处电位的变化量。电场空间中不同位置处电位的变化量。lleel为 增加最快的方向电位差的计算：电位差的计算： P Q E意义：意义： P P、Q Q两点间的电位差等于将单位点电荷从两点间的电位差等于将单位点电荷从P P点移动到点移动到Q Q点过程中电场力所作的功。点过程中电场力所作的功。证明证明 u对于单个点电荷产生的场对于单个点电荷产生的场 把试探电荷q0从P移到Q 设电荷q0 受到的电场力为F，在该力作用下的位移为dl，则电场力做功为020c

7、os4QQPPQQQrrPQPPPrrqqdrWF dlFdlFdrFdrr00020011( )44QQPPrrPQrrpQqqqqdrWqE r drrrrn静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关。静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关。（两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路（两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。）径无关。）dWF dlqE dl QQPPddPQ ElP、Q两点两点间的间的电位差电位差电场力电场力做的功做的功关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移

8、至点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U表示表示 电位函数电位函数 不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示同一个电场同一个电场 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关引入电位函数的意义：简化电场的求解！引入电位函数的意义：简化电场的求解！E 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位

9、为零，由于空间各点与参考点的参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点同一个问题只能有一个参考点电位参考点选择原则：电位参考点选择原则：1 1）不能选择点电荷所在的点为电位参考点，否则会使场中各）不能选择点电荷所在的点为

10、电位参考点，否则会使场中各点电位为无穷大，这是没有意义的；点电位为无穷大，这是没有意义的；2 2）只有当电荷分布在有限区域时，才可以选择无限远处为电）只有当电荷分布在有限区域时，才可以选择无限远处为电位参考点。位参考点。3 3）对一些具有轴对称性的问题通常选择半径）对一些具有轴对称性的问题通常选择半径r=rr=r0 0的圆柱面作的圆柱面作为参考点。例如，对于同轴线问题可选择外导体作为电位参为参考点。例如，对于同轴线问题可选择外导体作为电位参考点。考点。 几种常见电荷分布的电位参考点几种常见电荷分布的电位参考点 点电荷：设点电荷点电荷：设点电荷q在原点，参考点在原点，参考点Q，场点，场点 (电位

11、考察电位考察点点)P，选择路径，选择路径PM Q(路径可以任意选择路径可以任意选择)进行积分，有进行积分，有30200411144QPMQQPPMMrrPQqdddrqqdrrrr rElElrOQrPMPrQ积分贡积分贡献为零献为零04QPPqrr 选参考点位于无穷远处，即令，得选参考点位于无穷远处，即令，得04qr 由此得到点电荷电位的一般表达式由此得到点电荷电位的一般表达式0044qqR rrr对对于于位位于于 的的点点电电荷荷，电电位位表表达达式式为为 无限长线电荷：设线电荷无限长线电荷：设线电荷 l在原点，参考点在原点，参考点Q，场点，场点 (电位电位考察点考察点)P，沿如前路径进行

12、积分，有，沿如前路径进行积分，有200021ln22QPMQQlPPMMrQllrPdddrrdrrr rElElr如果选择参考点在如果选择参考点在rQ=，得，得 P P= =，显然不合理。，显然不合理。如果选择如果选择rQ=1=1，得，显然这种形式最简单。，得，显然这种形式最简单。01ln2lPPr 01ln2lr 由此得到线电荷电位的一般表达式由此得到线电荷电位的一般表达式0011lnln22llR rrr对对于于位位于于 的的线线电电荷荷，电电位位表表达达式式为为02lrEer 面电荷面电荷(例例3.1.2)：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。

13、设均匀电场设均匀电场E0，场中任意两点，场中任意两点P1和和P2的电位差为的电位差为 221121000021PPPPdd ElElE RErr 12021P Err 设参考点在 点，则设参考点在 点，则202110 2cos0E r rrEr若设参考点在无穷远处，即， 无意义。若设参考点在无穷远处，即， 无意义。如设参考点在原点，即，则有如设参考点在原点，即，则有000cosE r EErr由此得到面电荷电位的一般表达式由此得到面电荷电位的一般表达式其中 为电场其中 为电场与与的夹角的夹角RP2P1dlE0r1r2O 静电位的微分方程静电位的微分方程2 DE标量泊松方程标量泊松方程 在均匀、

14、线性和各向同性的介质中，利用在均匀、线性和各向同性的介质中，利用 有有 E200 在无源空间中，在无源空间中，拉普拉斯方程拉普拉斯方程Sn 在导体表面，有在导体表面，有常数，常数，理想导体是等位体理想导体是等位体 静电位的边界条件静电位的边界条件设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时lP1P212120El 1212121212SSnnnn neDDDE由 和 ，得由 和 ，得理想介质表面理想介质表面 例例 3.1.13.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解

15、在球坐标系中在球坐标系中2101201 211( )()44rrqqrrrrr221222(/ 2)cos(/ 2)cosrrdrdrrdrd2cos2drr用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得rd1cos ,2drr223000cos( )444rqdrrrrre pp代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。qdpddrrrEE21sinrC将将 和和 代入上式，解得代入上式，解得E E 线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度30(2

16、cossin )4rqree11( )()sinrrrrr eeeE2cosrC20cos4pCr电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的位置的位置矢量为矢量为r ，则，则000( )( )ddPPoOPOElErEr 若选择点若选择点O O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向一致，即一致，即 ，则有，则有00zEe E0E000( )()cosxzP

17、EreE ee zE 例例3.1.23.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。 在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而而 ，故，故 00 xEe E0Ezree z 例例3.1.33.1.3 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的x = b处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。0S解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，

18、除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程2 21 12 2d d( (x x) )= = 0 0 , ,( (0 0 x x b b) )d dx x2 22 22 2d d ( (x x) )= = 0 0 , ,( (b b x x a。试求传输线单位长度的电容。试求传输线单位长度的电容。解：由于解：由于Da，近似认为电荷均匀分布，近似认为电荷均匀分布在导体表面，且可将导线看成线电荷，则在导体表面，且可将导线看成线电荷，则利用高斯定理得利用高斯定理得x轴上的电场分布轴

19、上的电场分布 120112lxxxDx EEEe 0011ln2D aD allxaaDaUxdxdxxDxa Ee两导线间的电位差为两导线间的电位差为00lnlnllCDaDUaa 两导线间单位长度两导线间单位长度 的电容为的电容为 y lxPxDa- l1lx02 xEe= =(-)(- )l2x0-=2 D xEe例例3.1.5 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体间，内外导体间填充的介电常数为填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位差1( )d

20、d2bblaaUEe 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为到内外导体间任一点的电场强度为ll故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a电场线电场线磁场线磁场线在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入

21、部分电容的概念。概念加以推广，引入部分电容的概念。 部分电容部分电容(了解）了解）单个导体上的电量单个导体上的电量qC 双导体时，一个导体上的电量双导体时，一个导体上的电量 1212qC如果把大地看成如果把大地看成 0=0的导体，则单个导体存在时，导体上的导体，则单个导体存在时，导体上的电量为的电量为 00qC两个导体存在，且考虑大地影响时，相当于两个导体存在，且考虑大地影响时，相当于3个导体的情个导体的情况，其中一个导体上的电量为况，其中一个导体上的电量为 11212111qCC其中其中C12为导体为导体1，2间的电容，间的电容，C11为导体与大地间的电容为导体与大地间的电容 N个导体存在，

22、导体个导体存在，导体i上的电量与它和其它导体之间的电位上的电量与它和其它导体之间的电位差（包括大地）有关，即有差（包括大地）有关，即有 11,2,3,Niijijiiijj iqCCi 12311C33C22C12C23C13C111 112121313222221212323333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC式中：式中：iiC指导体与地之间形成电容，称为导体自电容指导体与地之间形成电容，称为导体自电容ijC指导体之间形成的电容，称为导体互电容指导体之间形成的电容，称为导体互电容物理意义：物理意义：导体系统中各导体间都存在电容导体系统中各导体间都存在电容各

23、导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部各导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部份电容份电容关于部份电容关于部份电容Cij的讨论的讨论 Cij为导体为导体i与导体与导体j之间的电容；而之间的电容；而Cii为导体为导体i本身的电容，即本身的电容，即与大地间的电容，可写成与大地间的电容，可写成Cii=Ci Cij=Cji （ij），对称性（互易性），对称性（互易性） 只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有关，只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有关，与各导体所带电量无关与各导体所带电量无关 部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；部分电容是否为零，取

24、决于两导体之间有否电力线相连； 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分

25、布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。电荷之间的相互作用力而作功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 静电场的能量静电场的能量 假设系统从零状态开始充电，充电结束时，电荷分布为假设系统从零状态开始充电，充电结束时，电荷分布为 、电位为电位为 充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子 ，即充电过，即充电过程中某一时刻电荷与电位分别为程中某一时刻电荷与电位分别为和和 充电过程由充电过程由 =

26、0到到 = 1，由无数个充电单元，由无数个充电单元d 组成组成 对于系统中的一个单位体积，在每个充电单元，电源将输送对于系统中的一个单位体积，在每个充电单元，电源将输送电荷电荷 d ，同时做功，同时做功()( d )，此功将转换为电场的能量，此功将转换为电场的能量 所以，在一个充电单元中，整个系统能量的增加和外电源为所以，在一个充电单元中，整个系统能量的增加和外电源为此所做的功为此所做的功为 eVVdWddVddV 充电完成后，系统的总能量为充电完成后，系统的总能量为110012eeVVWd dWddVdV 关于静电场能量表达式的补充说明关于静电场能量表达式的补充说明 讨论的是充电完成系统稳定

27、后的情况，所以只适用于静电场讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场 积分区域为整个空间，由于在无电荷分布的区域积分为零，积分区域为整个空间，由于在无电荷分布的区域积分为零，所以积分可以只在所以积分可以只在 0的区域进行的区域进行 能量是分布在有电场存在的整个空间，并不仅仅存在于有电能量是分布在有电场存在的整个空间，并不仅仅存在于有电荷分布的区域，所以荷分布的区域，所以被积函数被积函数/2不代表能量密度不代表能量密度对于电荷分布于曲面上的情况，有对于电荷分布于曲面上的情况，有12eSSWdS 带电导体系统的能量带电导体系统的能量对对N个带电导体组成的系统，各导体的电位为个带电导体组

28、成的系统，各导体的电位为 i，电量为，电量为qi,，表面积为表面积为Si，则导体系统的电场能量为，则导体系统的电场能量为11221122iiiieSSiSSiiSiiSiiWdSdSdSq 关于导体系统能量的补充说明关于导体系统能量的补充说明 在带电导体系统中，在带电导体系统中， i为第为第i个导体的电位，由其自身所带电荷个导体的电位，由其自身所带电荷和其他导体所带电荷共同产生和其他导体所带电荷共同产生 表示导体系统的总能量（包括自能和相互作用能）表示导体系统的总能量（包括自能和相互作用能） 能量密度能量密度电场能量分布于整个电场空间。利用电场能量分布于整个电场空间。利用, DE 112211

29、22eVVSVWdVdVddV DDDDSE D AAA当当V无穷大时，由于无穷大时，由于S包括了整个电场空间，其外部没有电场包括了整个电场空间，其外部没有电场存在，所以没有电场穿出存在，所以没有电场穿出S，即有在，即有在S上上D0，第一项为零，得，第一项为零，得12eVWdV E D由此得电场的能量密度为由此得电场的能量密度为12ew E D空间任意点的能量密空间任意点的能量密度由当地的电场决定度由当地的电场决定对于线性各向同性介质，有对于线性各向同性介质，有2211112222eeVVVWdVdVE dVwEE DE E例例3.1.6 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球

30、形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，的电荷，试求静电场能量。试求静电场能量。222622250224000014(4d4d )29915aararrrrar10()3rrEera 解解： 方法一，利用方法一，利用 计算计算 e1d2VWD E V 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故1222e0102111ddd222VVVWD E VEVEV3112200220dddd33()()23aarararaErErrrrrara 方法二：利用方法二：利用 计算计算 e1d2VWV 先求出电位分布先求出电位分布 故故222225e1000114d()4

31、d22 2315aVrWVarra3.1.5 静电力静电力静止电荷间的作用力一般总可以用库仑定律求得，但对于许静止电荷间的作用力一般总可以用库仑定律求得，但对于许多实际问题，用库仑定律计算非常复杂，通常可用虚位移法。多实际问题，用库仑定律计算非常复杂，通常可用虚位移法。虚位移法：假设带电体在电场的作用下发生一个位移（假想虚位移法：假设带电体在电场的作用下发生一个位移（假想的），电场能量将发生改变（电场做功，能量改变），根据能的），电场能量将发生改变（电场做功，能量改变），根据能量的变化情况可以求出带电体所受的力。量的变化情况可以求出带电体所受的力。设有设有N个带电导体组成的系统，第个带电导体组

32、成的系统，第i个导体在电场力个导体在电场力Fi的作用的作用下发生位移下发生位移dgi，电场力做功为，电场力做功为Fi dgi ，此时系统静电场能量的，此时系统静电场能量的变化为变化为dWe。如果各导体与外电源相联，则此时外电源对系统。如果各导体与外电源相联，则此时外电源对系统提供的能量为提供的能量为dWs。由能量守恒定律，得。由能量守恒定律，得siiedWFdgdW外界提供的能量外界提供的能量=电场对导体做功电场对导体做功+系统能量的增加系统能量的增加111222eiieiiiiiiiWqdWdqq d由由 可见，系统静电能量的改变分别由电荷分布和电位的变化引起。可见，系统静电能量的改变分别由

33、电荷分布和电位的变化引起。各导体不与电源相连，即各导体不与电源相连，即dqi = 0由于各导体不与电源相连，导体系统与外界隔绝，没有能量交由于各导体不与电源相连，导体系统与外界隔绝，没有能量交换，即换，即dWs= 0，则有，则有eiieiiq constWFdgdWFg 各导体与电源相连，即各导体与电源相连，即d i = 0为保持各导体电位不变，电源将向导体为保持各导体电位不变，电源将向导体i提供电量提供电量dqi，同时即，同时即提供能量提供能量 i dqi，则有，则有2siieidWdqdW 2eeiieiieiiconstWdWFdgdWFdgdWFg siiedWFdgdW0()l -

34、x bbxC = + dd所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为22000()ebU1W =CU = l - x +x22d0()200变exUWb - UF =x2d不不由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为eiiWF =g不变 解解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为 例例3.1.7 有一平行金属板电容器，极有一平行金属板电容器，极板面积为板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块，用一块介质片（宽度为介质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介电常，介电常数为数为）部分填充在两极板之间，如图）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为所示。设极板

35、间外加电压为U0，忽略，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。边缘效应，求介质片所受的静电力。由于由于0，所以介质，所以介质片所受到的力有将其片所受到的力有将其拉进电容器的趋势拉进电容器的趋势22e0qdqW =2C2b (l - x)+ x()x020=2eqWd - qFx2b (l - x)+ x 不不变变0()00=bUqCU l - xxd= =200 xb( - )UF =2d 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算eiiWF = -gq不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q q 不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到例例3 求平行板电容器板间作用力。设极板

36、面积为求平行板电容器板间作用力。设极板面积为S，两极板之，两极板之间填充空气。间填充空气。解：解：111222eWqqqU下下下下上上上上x+q-q =U =0 x2200122exq constq constWqqFxxxSS 方法方法2，通电后不断电，极板电位不变。，通电后不断电，极板电位不变。00UqSESx00SqUExxxS 方法方法1，通电后断电，极板上电量不变。，通电后断电，极板上电量不变。202202001222exconstconstWSUFxxxSUqqUExxxSS 由由 J E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场

37、，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。生的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场重要区别：恒定电场与静电场重要区别： （1 1）恒定电场可以存在导体内部。）恒定电场可以存在导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和

38、静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场由密度不随时间变化的电荷产生，但电荷并非静恒定电场由密度不随时间变化的电荷产生，但电荷并非静止，即止，即J0。此时有。此时有 0000t JEE均匀导电媒均匀导电媒质中没有体质中没有体分布电荷分布电荷0 EE20 基本方程基本方程恒定电场与静电场有相似的特性，即同样为无旋场，得恒定电场与静电场有相似的特性，即同样为无旋场，得SC= = 0 0= = 0 0ddJSEl积分形式：

39、积分形式：)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为00EJ 微分形式：微分形式： 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系JECEld= = 0 0SJSd= = 0 0媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene 120eJJn 120eEEn 场矢量的边界条件场矢量的边界条件1n2nJ= J即即1t2tE= E即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度12121212()() ()n12nn12e D DeJJJS S场矢量的折射关系场矢量的折射

40、关系1t1n111n122t2n22n2tantanE / E / J=E / E / J 边界条件边界条件 电位的边界条件电位的边界条件121212; nnJE 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面；ab11、 说明：说明： 如如 21、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于良导体表面。即电场线近似垂直于良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近

41、似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体中，即导体中 的电流和电场与分界面平行的电流和电场与分界面平行( (导体导体 一侧中只有切向电流和切向电场一侧中只有切向电流和切向电场) )。由由E的边界条件可得的边界条件可得1122tantan= 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种

42、场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。3.2.2 恒定电场与静电场的对比恒定电场与静电场的对比 恒定电场问题可利用对应量变换先变成静电问题求解，最恒定电场问题可利用对应量变换先变成静电问题求解，最后再换回来后再换回来0J恒定电场（源外）恒定电场（源外）静电场（无源区）静电场（无源区）0D0 EE0 EE JE DE20 20 0JSSd 0DSSd 1212,nnttJJEE1212,nnttDDEE静电静电 E D q C恒定恒定 E J

43、 I G恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟121212,nn 121212,nn 关于恒定电场的进一步说明关于恒定电场的进一步说明 与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为运动电荷和静与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为运动电荷和静止电荷，但其密度都不随时间变化止电荷，但其密度都不随时间变化 恒定电场同时存在于导体外和导体内部，导体表面同时有法恒定电场同时存在于导体外和导体内部，导体表面同时有法向和切向分量，电场不垂直于导体表面，此时导体不是等位体向和切向分量，电场不垂直于导体表面，此时导体不是等位体 电场矢量在分界面上的折射关系电场矢量在分界面上的折射关系E2n 221 1E1

44、1212tantan 如如 21， 290， 10，电力线，电力线近似垂直良导体表面，近似等位体近似垂直良导体表面，近似等位体 如介质如介质1为理想介质，为理想介质， 10，J1=0，导体一侧中只有切向电流和切向电场导体一侧中只有切向电流和切向电场 恒定电场问题可利用对应量变换先恒定电场问题可利用对应量变换先变成静电问题求解，最后再换回来变成静电问题求解，最后再换回来 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的

45、电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，时，必定会有微小的漏电必定会有微小的漏电流流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即IGU其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即1URGI3.2.3 漏电导漏电导(1)(1)假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2)(2)计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J；(3)(3)由由J = E 得得到到 E ; ;(4)(4)由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5)(5)求比值求比值 ，即得出，即得出所求电导

46、。所求电导。21UdEl= =G = I / U计算电导的方法一：计算电导的方法一：计算电导的方法二：计算电导的方法二： (1) (1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2)(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3)(3)由由 得到得到E; ; (4) (4)由由 J = E 得到得到J; ; (5) (5)由由 ，求出两导体间电，求出两导体间电流；流； (6)(6)求比值求比值 ，即得出所求，即得出所求电导。电导。 ESI =dJSG = I / U计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：G=C例例3.2.1 同轴线内外导体半径分别为同

47、轴线内外导体半径分别为a和和b，其间填充电导率为，其间填充电导率为 的导电介质，求单位长度的绝缘电阻。的导电介质，求单位长度的绝缘电阻。ba 解：内外导体间的电流密度为解：内外导体间的电流密度为ln22bbbaaaIIbUddda JE1ln2UbRIa 2rI Je 接地电阻接地电阻 所谓接地，就是将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地所谓接地，就是将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接。的部分与该导体连接。 电流由电极流向大地时所遇到的电阻称为电流由电极流向大地时所遇到的电阻称为接地电阻接地电阻。 在电力系统中，由于短路等原因有大的电流流入大地时，接在电力系统中，由于短路

48、等原因有大的电流流入大地时，接地电极附近地面两点间的电压可能达到相当大的数值。人跨一地电极附近地面两点间的电压可能达到相当大的数值。人跨一步的两脚间的电压称为步的两脚间的电压称为跨步电压跨步电压。例例3.2.2 求半径为求半径为a的金属导体半球形接地器的接地电阻。土壤的金属导体半球形接地器的接地电阻。土壤的电导率为的电导率为 。解：解：22222rraIIIUdrra JeEeEr122URGaIa 思考：思考：若半径若半径a=10cm， ，有短路电流有短路电流100A流入地中，流入地中，某人正以某人正以0.5m的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距

49、离为为2m，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率。，求此人的跨步电压及土壤的损耗功率。-2=10 S/m跨步电压为：跨步电压为：2.5211159.2222.5ABIUdV Er损耗功率为：损耗功率为：2261001591.59 10PI RW11592Ra 接接地地电电阻阻：3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场及其源（恒定电流）不随时间变化，有恒定磁场及其源（恒定电流）不随时间变化，有00CSSddd HlJSHJBSBBH 121212120nnnnSttSBBHHJeBBeHHJ或 或 或 或 基本方程基本方程 边界条件

50、边界条件对于理想介质，表面不存在传导电流对于理想介质，表面不存在传导电流 12120nttHHeHH或或3.3.2 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位当场量不随时间变化时，均匀介质中的麦氏方程为当场量不随时间变化时，均匀介质中的麦氏方程为0,() BHJBJ或或 矢量位的微分方程矢量位的微分方程20 BBAAJAAJ由由20 AAJ令令200JA在无源区在无源区 矢量位的任意性矢量位的任意性 与标量位与标量位 一样，矢量位一样，矢量位A也不是唯一确定的，它加上任意也不是唯一确定的，它加上任意一个标量一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即 AAABAAA

51、设设泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程1，矢量磁位，矢量磁位 对矢量位的限制对矢量位的限制 矢量位矢量位A的任意性是因只规定了其旋度，没有规定其散度造的任意性是因只规定了其旋度，没有规定其散度造成。为得到确定的成。为得到确定的A，可对，可对A的散度加以限制，即，的散度加以限制，即，称为称为库仑规范条件库仑规范条件。0A 矢量位泊松方程的解矢量位泊松方程的解 在直角坐标系中，矢量位在直角坐标系中，矢量位A的各分量满足标量泊松方程，即的各分量满足标量泊松方程，即 21,2,3iiAJi 其中其中1, 2, 3分别对应分别对应x, y, z与静电场标量位与静电场标量位 满足的泊松方程比较，可得

52、满足的泊松方程比较，可得Ai之解，即之解，即 221414iiiiiiVVAAJJJAdVdV rrrrrr在在直角坐标系直角坐标系中，矢量位中，矢量位 A=ex Ax+ey Ay+ +ez Az 由由 21,2,3iiAJi 其中其中1, 2, 3分别对应分别对应x, y, z注意：注意：此处的此处的2 2是矢量算符（是矢量算符（ ）同标量算符同标量算符2 2完全不同，（完全不同，（ ） 2()AAA 22020()()xyzxyzxyzxyzAJe Ae Ae Ae Je Je JxxxxxxxxeAeAAeAe)()()()(2222则各分量满足标量泊松方程，则各分量满足标量泊松方程，

53、磁矢位的表达式磁矢位的表达式1VV(d()d44VVRR J rRB rJ r) ) )( (3 3V1()(VR J r ) )d d 4 41() + R ()()()()()()R J rJ rJ rJ r1 11 1R RR R3)1RR R( ( BA 4VdV J rArr形形式式的的解解：矢矢量量为为0 4VdV J rArr矢形式的解为矢形式的解为：量量满足满足0 A对面电流和细导线电流回路，矢量位对面电流和细导线电流回路，矢量位A的解为的解为 44SSCIddS JrlAArrrr面电流：细导线回路：面电流：细导线回路： 用矢量位计算磁通量用矢量位计算磁通量SSCddd BS

54、ASAl 矢量位的边界条件矢量位的边界条件12ttAA CSdd AlBS0 00 ASd0 AS12 AA12nnAA 12)nS eHHJ ( ( HA/ /121211nS eAAJ例例3.3.2求无限长线电流求无限长线电流I的矢量位和磁场。设电流沿的矢量位和磁场。设电流沿+z方向流方向流动。动。解：用静电场标量位比较法求解。解：用静电场标量位比较法求解。由无限长线电荷的电位由无限长线电荷的电位 0ln102lrCrC 如取参考点在，则如取参考点在，则00ln22zzAIIArCBrr 02lrEr 显然与线电的电显然与线电的电 荷场相似荷场相似关于矢量位关于矢量位A 的补充说明的补充说

55、明 线电流的矢量位与电流方向一致，求解比较简单线电流的矢量位与电流方向一致，求解比较简单 对体分布电流，需要直接从泊松方程求解，其过程比较复杂对体分布电流，需要直接从泊松方程求解，其过程比较复杂 引入矢量位引入矢量位A是为了简化求解磁场，但只有对复杂问题才能是为了简化求解磁场，但只有对复杂问题才能显示出其优越性，对于简单问题，还是直接求解磁场为宜显示出其优越性，对于简单问题，还是直接求解磁场为宜 例例 3.3.1 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为路的半径为a，回路中的电流为，回路中的电流为I 。解解 如图所示，由于具有轴对称

56、性，如图所示，由于具有轴对称性，矢矢量磁位和磁场均与量磁位和磁场均与 无关，计算无关，计算xz平面上平面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。的矢量磁位与磁场将不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxyre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar对于远区，有对于远区，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA re

57、errrrrr202sin4yI aer r由于在由于在 =0面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成yeerr于是得到于是得到20022( )sinsin44I aISA reerr rrrr1 211,2xxra 利用近似式11(sin)()sinrBAeAerArrr rrrr03(2cossin )4rISeerrr式中式中S =a2是小圆环的面积。是小圆环的面积。 载流小圆环可看作为载流小圆环可看作为磁偶极子磁偶极子， 为磁偶极子的为磁偶极子的磁矩磁矩（或磁偶极矩），则（或磁偶极矩），则mpISrr02( )sin4mpA rerrrr或或 03( )4mA rprrrrrr03(

58、 )(2cossin )4mrpB reerrrrr为了简化磁场的求解过程，引入了磁场的矢量位为了简化磁场的求解过程，引入了磁场的矢量位A，建立了，建立了相应的微分方程，即相应的微分方程，即20 BBAAJ矢量位满足的是矢量泊松方程，其求解过程相当复杂。这里矢量位满足的是矢量泊松方程，其求解过程相当复杂。这里试图像静电场一样，引入磁场的标量位。试图像静电场一样，引入磁场的标量位。 标量磁位标量磁位(磁标位磁标位)的引入的引入在无电流在无电流( J = 0)的空间中，有的空间中，有0m HH标量磁位标量磁位00Cd HHl在数学上，在数学上， A图所示区域不能满足上述条件图所示区域不能满足上述条

59、件 B图所示区域可以满足上述条件图所示区域可以满足上述条件ICAICB单连通区域单连通区域2，标量磁位，标量磁位 标量磁位的微分方程标量磁位的微分方程0 BBH由由和和 200mmm HBH将将代代入入 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件121212mmmmnn 120nm eBBH1. 磁通与磁链磁通与磁链 = =ii 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁

60、链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o o ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的导体、只有粗导线的一部分一部分包围的内磁通量包围的内磁通量 i i。 iCI o粗回路粗回路3.3.3 电感电感 回路回路C通有电流通有电流I，空间磁场，空间磁场B，且，且BI，则，则B在回路在回路C所围面所围面积中产生的磁链积中产生的磁链 I，即，即LILIL 其中系数 为自感系其中系数 为自感系，数或数或自感自感。对于粗导体，自感对于粗导体，自感L内自感内自感Li外自感外自感Lo 内自感内自感 i