电磁场与电磁波习题答案3

1、第三章 静电场重点和难点介绍电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程，对于方程的定解条件，以及解的存在、稳定和惟一性问题应予说明，至于求解方法及惟一性证明可以从简。镜像法应重点讲解。强调镜像法的依据是惟一性定理，镜像法的理念是以镜像电荷代替边界的影响，从而把一个非均匀空间变为均匀空间。此外，还应说明仅在待求的场区等效。三种坐标系中求解拉普拉斯方程的方法，可以根据学时多少，适当取舍。若学时允许，建议介绍圆柱坐标系或球坐标系中的分离变量法。因为第九章中求解矩形波导中电磁波时还要使用直角坐标系中分离变量法。重要公式电位方程：有源区中电位满足泊松方程：无源区中电位满足拉普拉斯方程：泊松方程的积分解：自由空间格

2、林函数：泊松方程的自由空间解：题 解3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。-q3cmYX+q+q-q1cm习题图3-1解 已知点电荷q的电位为，令，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为令，得由4个点电荷的分布位置可见，对于x=1.5cm的平面上任一点，因此合成电位为零。同理，对于x=0.5cm的平面上任一点，因此合成电位也为零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm两个平面的电位为零。xqP(r, z)hh-qz习题图3-23-2 试证当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于。证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy平面，点电荷距离

3、导体表面的高度为，如图3-2所示。那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为电通密度为式中；那么，已知导体表面上电荷的面密度，所以导体表面的感应电荷为则总的感应电荷为3-3 根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为p的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。答 根据镜像法，如果劈形导体的夹角不为的整数分之一时，则镜像电荷不能最终和原电荷重合，这样将会产生无限多个镜像电荷，每个镜像电荷都会产生一定的电位，导致合成电位无限大，因而无解。当点电荷位于两块无限大导体板之间时，可采用镜像法求解。此时虽然也会产生无限多个镜像电荷，但是远处的镜像电荷对

4、于两板之间的场点贡献越来越小，因此可以获得一个有限的解。errlh导体习题图3-4x y3-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度，离开平面的高度m，空间媒质的相对介电常数。试求： 空间任一点场强及能量密度； 导体表面的电荷密度； 当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。解 建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点的场强为电场能量密度为已知导体表面的电荷面密度，那么单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用力，即可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电

5、荷的高度增加一倍时，外力必须做的功为 （J）。3-5 在无限大的导体平面上空平行放置一根半径为a的圆柱导线。已知圆柱导线的轴线离开平面的距离为h，试求单位长度圆柱导线与导体平面之间的电容。解 根据镜像法可知，无限大的导体平面与无限长圆柱导线之间的场分布与两根无限长平行圆柱导线之间的一半空间的场分布完全相同。因此，圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容是两根平行圆柱导线的单位长度内的电容一倍。由教材3-3节获知两根平行圆柱导线的单位长度内的电容为式中D为两根圆柱导线轴线之间的距离，a为圆柱导线的半径。因此，对于本题的圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容为若高度h>>a，上式还可

6、进一步简化为60°hrlh习题图3-6(a)3-6 一根无限长线电荷平行放置在夹角60°的导电劈的中央部位，离开两壁的距离为h，如习题图3-6(a)所示。若线电荷的线密度为，试求其电位分布函数。rl60°rl-rlrl-rl-rlPr0r1r2r3r4r5习题图3-6(b)rxyo解 根据镜像法，正如原书3-3节所述，需要引入5个镜像电荷，和，它们离场点P的距离分别为r1，r2，r3，r4，和r5，其位置如习题图3-6(b)所示。已知，无限长的线电荷产生的电场强度为可见，空间某点r对于任一参考点r0的电位为对于本题，若取坐标原点作为电位参考点，因为原线电荷离坐标原

7、点的距离为2h，离场点P的距离为r0，那么该线电荷在P点产生的电位为因为全部镜像电荷离坐标原点的距离均为2h，那么，劈间任一点P以坐标原点作为电位参考点的电位为即dd/3q习题图3-73-7 已知点电荷q位于两块无限大的接地的平行导体板之间，如习题图3-7所示。两板间距为d，点电荷位于处，试求两板间的电位分布。解 选用圆柱坐标系，令下底板位于z=0平面，点电荷q位于轴，则导体板之间任一点电位与角度q无关。根据镜像法，必须在轴上引入无限多个镜像电荷，zq-q-qqqrx它们的位置分别为：正轴上：，负轴上：，则两板之间任一点的电位为：3-8 试证位于无限大导体平面上半球形导体上空的点电荷q受到的力

8、的大小为式中a为球半径，d为电荷与球心的间距，为真空介电常数，如习题图3-8(a)所示。qqqe0dd-qdde0习题图3-8(b)qe 0ad习题图3-8(a)证明 应用镜像法，将半球变为一个整球。那么，为了保证无限大导体平面和球面形成的边界电位为零，必须引入三个镜像电荷：-q，q¢，q²，其中q和-q，以及q¢和q²保证无限大平面边界的电位为零，q和q¢，以及-q和q²保证球面边界的电位为零。那么，根据镜像法，求得镜像电荷q¢和q²分别为，其位置分别位于及处。因此，点电荷所受到的力应为三个镜像电荷产生的电场力的

9、矢量和。由于三种电场力的方向均位于一条垂线上，矢量和变为标量和，即将上式整理后，即得3-9 当孤立的不带电的导体球位于均匀电场中，使用镜像法求出导体球表面的电荷分布。（提示：利用点电荷与导体球之间的镜像关系。）解 当导体球和点电荷之间的距离远远大于其半径时，可以认为该导体球附近的电场是均匀的，设由点电荷产生，到球心的距离为，球半径为a。根据镜像法，必须在球内距球心处引入的镜像电荷。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷-q¢，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么球外任一点的电位为式中，分别为该点到球心，电荷以及电荷的距离，即式中q为线段r和f之间的夹角。已知导

10、体表面的电荷密度，将电位函数代入得因为，即，代入上式，考虑到，即当时，取上式极限，求得3-10 试证位于半径为a的导体球外的点电荷q受到的电场力大小为式中f为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点电荷q的受力。证明 根据镜像法，必须在球内距球心处引入的镜像电荷。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷-q¢，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，（N）（N）合力为（N）当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷，故所受到的电场力为F1。3-11 在半径为a的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3

11、-11(a)所示。已知线电荷密度为，近端离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。lDrla习题图3-11(a)rldxx习题图3-11(b)x¢maxxo解 采用镜像法，应在球内径向位置引入一个镜像线电荷，离球心最近的一端对应原先的线电荷离球心的最远端，而的最远端对应的最近端。设上任一点距离球心为，上任一点距离球心为，则根据点电荷与导体球面的镜像规律，获知镜像线电荷的长度范围为位置x与x¢的关系为。因此，。再根据电量关系，即可求得镜像电荷的分布函数为3-12 在半径为a的接地导体球附近，横向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-12(a)所示。已知线电荷密度为，线电荷中心离

12、球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。lDrla习题图3-12(a)习题图3-12(b)qmaxDfdqdfdlfdqdq¢解 求解方法与上题类似。对应于点电荷的镜像线电荷为，如图3-12(b)所士示。设点电荷距离球心为，则其镜像电荷离球心的距离为由图可知因此，即镜像电荷分布函数为3-13 已知一个不接地的半径为a的导体球携带的电荷为Q，若电荷为Q的点电荷移向该带电球，试问当点电荷受力为零时离球心的距离。(当点电荷所带电荷与导体球所带电荷相反时，点电荷肯定受到引力，即其受力不可能为零)。Qq-qdfQ习题图3-10解 如习题题3-10所示，如前所述，根据镜像法，若导体球原先不带电，对

13、于点电荷Q，必须在球内距离球心处引入一个镜像电荷，而在球心处再放置另一个电量为的点电荷，以保持电荷守恒及导体球为等位体。本题中导体球已带有电量为Q的电荷，因此在球心处放置的另一个镜像电荷的电量应为(Q)。那么，点电荷将受到的镜像电荷的作用力为要使点电荷受力为零，则应满足下列方程求解此高次方程可用作图法。为此，先将上式化简为再化为关于的方程即若，则上面的方程又可写为令，分别作图求得y1和y2的交点，即是所要求的解。根据题意可知，由下图可见的解位于=1.52之间。其值近似为，即时，点电荷q受力为零。3-14 试证位于内半径为a的导体球形空腔中的点电荷q受到的电场力大小为式中d为点电荷离球心的距离。

14、再计算腔中电位分布以及腔壁上的电荷分布。证明 根据点电荷与导体球的镜像关系，可知点电荷在腔外的镜像电荷为，aqfP(r,q , f )qZXY习题图3-14距球心；如下习题图3-14所示。则所受到的力可等效为镜像电荷对它的电场力，其大小为显然，腔内任一点电位与无关，它可表示为已知导体表面的电荷密度求得qqd1fad2习题图3-15(a)3-15 半径为a的不接地的导体球中含有半径为b的球形空腔，如习题图3-15(a)所示。若在导体球外，离球心f处放置一个电量为q的点电荷，在空腔中离腔心d1处放置另一个电量为的点电荷，腔心与球心间距为，且腔心、球心、点电荷q及均在一条直线上。试求腔中、导体球内外

15、任一点场强。解 由于导体球的屏蔽作用，球外点电荷以及球面上的感应电荷对于腔中的场强没有贡献。因此，计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷以及空腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响，可以应用镜像法，以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利用点电荷与导体球的镜像关系，导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图3-15(b)所示，球外镜像电荷的位置及电量分别为；计算腔外场强也可应用镜像法，此时导体球的半径为a，如习题图3-15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q0和q¢²，其中q0位于球心，q¢²的位置和电量，以及q0的电量分别为；b

16、q¢··q²Dd1···qq¢²q0d3d2fa习题图3-15(b)综上所述，腔内场强由两个点电荷q¢和q²共同产生，腔外场强由三个点电荷q，q¢和q²¢ 共同产生，而导体内的场强为零。3-16 已知点电荷q位于半径为a的导体球附近，离球心的距离为f，试求：当导体球的电位为j时的镜像电荷；当导体球的电荷为Q时的镜像电荷。解 如前所述，此时需要两个镜像电荷等效带电导体球的影响。一个是离球心处，电量为的镜像电荷。另一个镜像电荷q²位于球心，其电量取决

17、于导体球的电位。已知导体球的电位为j，而镜像电荷及球外点电荷对于球面边界的电位没有贡献，因此，球心镜像电荷q²的电量应满足即 当导体球携带的电荷为Q时，在离球心处的镜像电荷仍然为，而球心处的镜像电荷，以保持电荷守恒，即。3-17 设点电荷q位于导体球壳附近，已知球壳的内半径为a，外半径为b，点电荷离球心的距离为f，壳内为真空，当球壳的电位为时，试求： 球壳内外电场强度； 球壳外表面上最大电荷密度； 当距离f增加一倍时，系统能量改变多少？fbaq¢qq²rr1r2ZjP(r,q,f )q习题图3-17解 由于球壳的屏蔽作用，壳内场强为零。若建立的球坐标系如习题图3-

18、17所示，那么壳外场强与坐标变量f 无关。当球壳的电位为j时，由上题获知位于球心的镜像电荷q²应为壳外的场强将由点电荷及其镜像电荷和q²共同产生，壳外的合成电位为式中镜像电荷，离球心的距离为，则壳外的电场强度为 球壳表面的电荷密度为其最大值为 系统能量的改变来自外力作的功。已知点电荷受到的电场力为由此可见，若q >0Þq¢<0，又因j <0，故电场力的实际方向为(-er)。在外力作用下，当点电荷q离开球心的距离增加一倍时，外力F¢作的功为此功将全部转变为系统增加的能量。3-18 证明无源区中电位分布函数不可能具有最大值或最小值

19、。证明 以直角坐标系为例。已知无源区中电位满足拉普拉斯方程该方程的通解为。若此解在点取得极值，那么在该点应有若是一维空间，因，可见为常数，即电位函数没有极值。若是二维空间，显然和不可能同时大于零或同时小于零，因此不可能有极大值或极小值。同样对于三维空间，和不可能同时大于零或同时小于零，因此不可能有极大值或极小值。dyoxVer(x)习题图3-19综上所述，无源区中的电位分布函数不可能具有极大值或极小值。因此，无源区中电位分布函数不可能具有最大值或最小值。3-19 已知无限大的平板电容器中的电荷密度，k为常数，填充介质的介电常数为e ，上板电位为V，下板接地，板间距为d，如习题图3-19所示。试

20、求电位分布函数。解 由习题图3-19可见，电位分布仅与坐标变量x有关，与坐标变量，无关。因此，电位方程简化为一维泊松方程。设电位分布函数，则由，得积分后，求得其中，为待求常数。根据边界条件，求得，因此，电位分布函数为3-20 试证直角坐标系中的电位函数及圆球坐标系中电位函数均满足拉普拉斯方程，式中C为常数。证明 已知直角坐标系中的拉普拉斯方程为将代入，则可见，即j1满足拉普拉斯方程。球坐标系中的拉普拉斯方程为由于，与及无关，代入上述方程，求得可见，电位函数也满足拉普拉斯方程。xozybajc习题图3-213-21 已知长方体金属腔的内部尺寸为，如习题图3-21所示。若侧壁及底板均接地，上盖电位

21、为j，试求腔内的电位分布函数。解 已知直角坐标系中电位函数满足的拉普拉斯方程为应用分离变量法，令求得 ； ； 式中 。为了满足和的边界条件，X(x)必须为正弦函数，即式中。为了满足和的边界条件，Y(x)也必须为正弦函数，即式中。由此求得为了满足和的边界条件，Z(z)只能是双曲正弦函数，故其级数解为因，得式中利用正弦函数的正交性，当n = s，m = t时，上式右边积分才不为零。另由上式左边可知，只有当和都为奇数时，才不为零，因此令，则最后求得Xae0eY习题图3-223-22 一根半径为a的介质圆柱放在均匀电场中，如习题图3-22所示。若介质圆柱的介电常数为，试求柱内外的电场强度。解 在圆柱坐

22、标中电位所满足的拉普拉斯方程为由于电位函数与无关，可令其通解为设圆柱内部的电位为，圆柱外部的电位为，电位函数应满足下列边界条件：1，当时，应为有限值，因此柱内电位为2，当时，圆柱对电场的影响可以忽略，若取坐标原点(0,0)作为电位参考点(注意，电位参考点的选择对于电场强度的计算没有影响)，则柱外无限远处电位为可见，仅与r和有关，因此柱外电位的通解为3，在圆柱表面上（），电位应该连续，即，求得柱内电位的通解为4，在圆柱表面上，电通密度应该连续，即由此求得，所以当时，当时，已知，求得当时，当时，Xa习题图3-233-23 若无限长的导体圆柱腔的内半径为a，腔壁被纵向地分裂成两部分，各部分的电位如习

23、题图3-23所示，试求腔内外的电位分布。解 与上题同理，由于电位与无关，此时通解为设圆柱内部的电位为，圆柱外部的电位为，电位应该满足下列边界条件：1，当r = 0时，应为有限值，则柱内电位为2，当时，为零，则柱外电位为3，当时，。为了满足边界条件3，必须将展开成傅立叶级数，即令式中求得再进行比较各自系数，即知；所以，柱内电位为柱外电位为。XaY习题图3-243-24 若无限长的导体圆柱腔的内半径为a，腔壁被纵向地分裂成四部分，各部分的电位如习题图3-24所示，试求腔内外的电位分布。解 与上题同理，由于电位与无关，此时通解为设圆柱内部的电位为，圆柱外部的电位为，电位应该满足下列边界条件：1，当r

24、 = 0时，应为有限值，则柱内电位为2，当时，为零，则柱外电位为3，当时，为了满足边界条件3，必须将展开成傅立叶级数，即令式中式中。式中。求得式中。再比较各自的系数，即可确定和中的系数。最后求得，柱内电位为式中。柱外电位为式中。Zae 0习题图3-253-25 当半径为a的导体球位于均匀电场中，如习题图3-25所示。利用分离变量法求解球外场强及球面上的电荷分布。解 已知在球坐标系中，电位所满足的拉普拉斯方程为应用分离变量法，令考虑到场量与无关，此时通解可表示为，式中为勒让德函数。设球内电位为，球外电位为，电位应该满足下列边界条件：1，已知电位参考点的选择不会影响电场强度的计算，若取球心为电位参考点，由于导体球为等位体，因此，当时，。2，当时，若取球面作为为电位参考点，则。那么，由条件2可得，。再利用条件1，可得。即球外电位为因，那么球外电场强度为再由，求得导体球表面的电荷密度