微分方程式的建立与求解PPT教案

1、微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法第1页/共20页许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述来描述。第2页/共20页根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电

2、路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。 元件特性约束元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。第3页/共20页电感电感电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电电容容 ttvCtiCdd 根据根据KCL

3、 titititiCLRS 代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tis tisRRiLLiCciab tv第4页/共20页这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方

4、程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。可以用高阶微分方程表示。 msFf机械位移系统，质量为机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧 tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为擦力为 ，外加牵引力为，外加牵引力为 ，其外加牵引力，其外加牵引力 与与刚体运动速度刚体运动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 k第5页/共20页 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的

5、微分方程式来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。第6页/共20页分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。 变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状

6、态零状态可利用经典法求解可利用经典法求解零输入零输入应应零输入响应和零状态响零输入响应和零状态响经典法经典法解方程解方程网络拓扑约束网络拓扑约束根据元件约束根据元件约束列写方程列写方程: ,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解。特解。 第7页/共20页 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t齐次解齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkkA1e 注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：根据微分方程右

7、端函数式形式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d, )0( nntrtrtrr初始条件的确定初始条件的确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。kA全全 解：齐次解解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解特解，由初始条件定出齐次解 。第8页/共20页 的齐次解。的齐次解。求微分方程求微分方程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233系统的特征方程为系统的特征方程为 01216723 0322 3 , 221 重重根根 tth

8、AAtAtr33221ee 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为第9页/共20页如果已知：如果已知： 分别求两种情况分别求两种情况下此方程的特解。下此方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette 给定微分方程给定微分方程式式 3221pBtBtBtr 为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte得到代入方程右端将平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式代入方程得到将此式代入方程得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 第10页/共20页等式两端各

9、对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解为所以，特解为 271092312p tttr第11页/共20页 这里，这里，B是待定系是待定系数。数。 代入方程后有：代入方程后有： 。可选可选很明显很明显时时当当ttBtrtee , ,e tttttBBBeee3e2e 31 B。于是，特解为于是，特解为te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齐齐次次解解trtrph trAtrnitip1ie 第12页/共20页时的变化。时

10、的变化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立电流。建立电流转向转向由由时时达到稳态。当达到稳态。当的位置而且已经的位置而且已经处于处于开关开关给定如图所示电路，给定如图所示电路，0)()(21S01S0 ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R第13页/共20页根据电路形式，列回路方程根据电路形式，列回路方程 tetvtiRC 1 2ddRtititLtvLLC 列结点电压方列结点电压方程程 titvtCtiLC dd , tvC先消去变量先消去变量 , 把电路参数代入整理得把电路参数代入整理得再消去变量再消去变量tiL te

11、tettettitittit4dd6dd10dd7dd2222 (1)第14页/共20页系统的特征方程系统的特征方程01072 052 即即特征根特征根5 , 221 齐次解齐次解 0 ee5221tAAtitth V4 0 tet时时由由于于 , , 44pBti 因因此此令令特特解解4410 B581016 B方程右端自由项为方程右端自由项为代入式代入式(1)(1)要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为 0 58ee5221tAAtitt特解特解第15页/共20页 0dd0iti和和确定换路后的确定换路后的 A5420021 RRiiL 00dd it V56V23540 Cv换路前换路

12、前21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R第16页/共20页 A514A5641100101 CveRi s/A20dd0dd10dd1 CvtetRit因而有因而有 :0dd0 iti和和换路后的换路后的由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, ,21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R第17页/共20页 时时的的完完全全响响应应在在求求 0tti 的表示式的表示式由由 ti 2520dd5145802121AAitAAi求得求得要求的完全响应为要求的完全响应为 1523421AA