韩伯棠管理运筹学(第三版)_第二章_线性规划的图解法

1、1& 2& 3投资问题。从许多不同的投资项目中选投资问题。从许多不同的投资项目中选出一个投资方案，使得投资的回报为最大。出一个投资方案，使得投资的回报为最大。& 4产品生产计划。合理充分地利用厂里产品生产计划。合理充分地利用厂里现有的人力、物力、财力，作出最优的产品现有的人力、物力、财力，作出最优的产品生产计划，使得工厂获利最大。生产计划，使得工厂获利最大。& 5劳动力安排。某单位由于工作需要，劳动力安排。某单位由于工作需要，在不同时间段需要不同数量的劳动力，在每在不同时间段需要不同数量的劳动力，在每个劳动力工作日连续工作八小时的规则下，个劳动力工作日连续工作八

2、小时的规则下，如何安排劳动力，才能用最少的劳动力来满如何安排劳动力，才能用最少的劳动力来满足工作的需要。足工作的需要。 3& 6运输问题。一个公司有若干个生产单位与销售单运输问题。一个公司有若干个生产单位与销售单位，根据各生产单位的产量及销售单位的销量，如何制位，根据各生产单位的产量及销售单位的销量，如何制定调运方案，将产品运到各销售单位而总的运费最小。定调运方案，将产品运到各销售单位而总的运费最小。& 以上的这些问题，线性规划都能成功地加以解决。以上的这些问题，线性规划都能成功地加以解决。当然其在管理上的应用远不止这些。这些例子都有一个当然其在管理上的应用远不止这些。这些例子

3、都有一个共同的特点。共同的特点。& 首先，每个例子中都要求达到某些数量上的最大化首先，每个例子中都要求达到某些数量上的最大化或最小化的目标。如问题或最小化的目标。如问题1，是要求使用原料钢管最少；，是要求使用原料钢管最少；问题问题2是要求利润最大；问题是要求利润最大；问题3是要求投资回报最大等等。是要求投资回报最大等等。在所有线性规划的问题中某些数量上的最大化或最小化在所有线性规划的问题中某些数量上的最大化或最小化就是线性规划问题的目标。就是线性规划问题的目标。& 其次，所有线性规划问题都是在一定的约束条件下其次，所有线性规划问题都是在一定的约束条件下来追求其目标的。例如问题来

4、追求其目标的。例如问题1，是在满足生产需要的一，是在满足生产需要的一定数量、不同规格的钢管的约束下来追求原材料钢管的定数量、不同规格的钢管的约束下来追求原材料钢管的最小使用量。而在问题最小使用量。而在问题2中是在原料供应量的限制和保中是在原料供应量的限制和保证产品成分的含量约束下来追求最大利润的。证产品成分的含量约束下来追求最大利润的。4 2.1 问题的提出问题的提出5如何建立模型？如何建立模型？6& 这个问题可以用以下的数学模型来加以描述。工厂目前要决这个问题可以用以下的数学模型来加以描述。工厂目前要决策的问题是生产多少个策的问题是生产多少个产品和生产多少个产品和生产多少个产品，把这

5、个要决产品，把这个要决策的问题用变量策的问题用变量x1、x2来表示，则称来表示，则称x1和和x2为决策变量，即决策为决策变量，即决策变量变量x1=生产生产I产品的数量，决策变量产品的数量，决策变量x2=生产生产产品的数量。产品的数量。& 用用x1和和x2的线性函数形式来表示工厂所要求的最大利润的目标：的线性函数形式来表示工厂所要求的最大利润的目标： max Z=50 x1+100 x2 （称为目标函数）。（称为目标函数）。& 其中其中max为最大化的符号为最大化的符号(最小化为最小化为min)；50和和100分别为单位产分别为单位产品品 、 的利润。同样也可以用的利润。同样也可

6、以用x1和和x2的线性不等式来表示问题的线性不等式来表示问题的约束条件。对于台时数的限制可以表示为：的约束条件。对于台时数的限制可以表示为： X1+X2300 & 同样，两种原材料的限量可分别表示为：同样，两种原材料的限量可分别表示为：& 2X1+X2400, X2250.& 除了上述约束外，显然还应该有除了上述约束外，显然还应该有x10，x20，因为，因为产品产品, 产产品的品的 产量是不能取负值的。综上所述，就得到了例产量是不能取负值的。综上所述，就得到了例1的数学模型的数学模型如下：如下：7& 目标函数：目标函数： max Z=50 x1+100 x2，&

7、amp; 满足约束条件：满足约束条件：x1+x2300，& 2 x1+x2400，& x2250,& x10, x20.& 由于上述数学模型的目标函数为变量的线性函数，由于上述数学模型的目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称之为线性规划。如果目标函数是变量的非线性函数，之为线性规划。如果目标函数是变量的非线性函数，或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学模型则称之为非线性规划。模型则称之为非线性规划。& 把满足所有约束条件的

8、解称为该线性规划的可行把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。把使得目标函数值最大解。把使得目标函数值最大(即利润最大即利润最大)的可行解称的可行解称为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。函数值，简称最优值。8& 1要正确理解所要解决的问题，要搞清在什么条件要正确理解所要解决的问题，要搞清在什么条件下，追求什么样的目标。下，追求什么样的目标。& 2定义决策变量，每一个问题都用一组决策变量定义决策变量，每一个问题都用一组决策变量(X1，X2, , Xn)表示任何一个方案；这组决策变量的值就代表示任何一

9、个方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。& 3用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标，用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标，称之为目标函数，按问题的不同，要求目标函数实现最称之为目标函数，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。大化或最小化。& 4用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问题过程上所必须遵循的约束条件。题过程上所必须遵循的约束条件。& 满足以上满足以上2、3、4三个条件的数学模型称之为线性规三个条件的数学模型称之为线性规划的数

10、学模型，其一般形式为划的数学模型，其一般形式为:对于一般线性规划问题的建模过程。应注意对于一般线性规划问题的建模过程。应注意如下几个问题：如下几个问题：9线性规划的数学模型的一般形式为线性规划的数学模型的一般形式为:& 目标函数：目标函数：& max (min) Z=c1x1+c2x2+cnxn& 约束条件：约束条件：& a11x1+a12x2+a1nxn( =, ) b1,& a21x1+a22x2+a2nxn( =, ) b2,& & am1x1+am2x2+amnxn( =, ) bm,& x1, x2, , xn0.10&

11、amp; 对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以用图解法来求解。大于两个决策变量不能用图解以用图解法来求解。大于两个决策变量不能用图解法来解了。法来解了。& 图解法图解法.首先把每个约束条件（代表一个平面）首先把每个约束条件（代表一个平面）画在二维坐标轴上。画在二维坐标轴上。100300100300X1+X2=300 x1x22.2 图图 解解 法法111004001003002X1+X2=400 x1x2100100300X2=250 x1x212X1+X2=300100400100300 x1x2X2=2502x1+x2=400Z=100

12、00=50 x1+100 x2Z=27500=50 x1+100 x2B 阴影部分的每阴影部分的每一点一点(包括边界包括边界线线)都是这个线都是这个线性规划的可行性规划的可行解，而此公共解，而此公共部分是例部分是例1的可的可行解的集合，行解的集合，称为可行域。称为可行域。B点为最优解，坐标为（点为最优解，坐标为（50，250）Z=0=50 x1+100 x213问题的解：问题的解：& 最佳决策为最佳决策为x1=50, x2=250，此时，此时z=27500。 这说明该厂的最优生产计划方案是生产这说明该厂的最优生产计划方案是生产I产品产品50单位，单位，生产生产产品产品250单位，可得最

13、大利润单位，可得最大利润27500元。元。& 把把x1=50, x2=250代入约束条件得：代入约束条件得：& 50+250=300台时设备台时设备& 250+250=350千克原料千克原料A，& 1250=250千克原料千克原料B& 这表明了生产这表明了生产50单位单位产品和产品和250单位单位产品将消产品将消耗完所有可使用的设备台时数和原料耗完所有可使用的设备台时数和原料B，但对原料，但对原料A来来说只消耗了说只消耗了350千克，还有千克，还有(400350)=50千克没有千克没有使用。使用。在线性规划中，对一个在线性规划中，对一个约束条件中没使用的

14、资约束条件中没使用的资源或能力的大小称之为松弛量。源或能力的大小称之为松弛量。14松弛变量和线性规划标准化松弛变量和线性规划标准化&为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量，记为资源或能力的变量，称之为松弛变量，记为Si。显。显然这些松弛变量对目标函数不会产生影响，可以在然这些松弛变量对目标函数不会产生影响，可以在目标函数中把这些松弛变量的系数看成零，加了松目标函数中把这些松弛变量的系数看成零，加了松弛变量后我们得到如下的例弛变量后我们得到如下的例1的数学模型：的数学模型：& 目标函数：目标函数：

15、& max Z=50 x1+100 x2+0s1+0s2+0s3，& 约束条件：约束条件： x1+x2+s1=300,& 2x1+x2+s2=400,& x2+s3=250,& x1,x2,s1,s2,s3015& 像这样把所有的约束条件都写成等式，称为线性像这样把所有的约束条件都写成等式，称为线性规划模型的标准化，所得结果称为线性规划的标准形规划模型的标准化，所得结果称为线性规划的标准形式。在标准型中式。在标准型中 bj(右边常量右边常量)都要大于等于零，都要大于等于零， 对某对某个个bj小于零时，只要方程两边都乘以小于零时，只要方程两边都乘以

16、(-1)即可。即可。&实际上以后可看到应同时具备如下三个条件的模型实际上以后可看到应同时具备如下三个条件的模型才是标准型：才是标准型：&一是约束条件必须化为等式；二是所有变量必须化一是约束条件必须化为等式；二是所有变量必须化为大于或者等于零；三是约束条件中的右端常数项必为大于或者等于零；三是约束条件中的右端常数项必须是大于或者等于零。须是大于或者等于零。& 对例对例1 的最优解的最优解 x1=50,x2=250来说，松弛变量的值来说，松弛变量的值如下所示：如下所示：& 约束条件约束条件 松弛变量的值松弛变量的值& 设备台时数设备台时数 s1=0&

17、 原料原料A s2=50 & 原料原料B s3=016线性规划问题解的有如下特点：线性规划问题解的有如下特点：& 1如果某一个线性规划问题有最优解，则一如果某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解。定有一个可行域的顶点对应一个最优解。& 2线性规划存在有无穷多个最优解的情况。线性规划存在有无穷多个最优解的情况。若将例若将例1中的目标函数变为求中的目标函数变为求max Z =50 x1+50 x2，则可见代表目标函数的直线平移到最优位置后将则可见代表目标函数的直线平移到最优位置后将和直线和直线x1+x2=300重合。详见下图。重合。详见下图。&a

18、mp; 此时不仅顶点此时不仅顶点B，C都代表了最优解，而且都代表了最优解，而且线段线段BC上的所有点都代表了最优解，这样最优上的所有点都代表了最优解，这样最优解就有无穷多个了。当然这些最优解都对应着相解就有无穷多个了。当然这些最优解都对应着相同的最优值（只有一个）：同的最优值（只有一个）：& 50 x1+50 x2=5050+50250=15000。 17X1+X2=300100400100300 x1x2X2=2502x1+x2=400Z=10000=50 x1+50 x2Z=15000=50 x1+50 x2BZ=0=50 x1+50 x218 线性规划存在无界解，即无线性规划存在

19、无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问最优解的情况。对下述线性规划问题：题：& 目标函数：目标函数： max z =x1+x2& 约束条件：约束条件： x1-x21 & - 3x1+2x26& x10，x20 19&从图中可知该问从图中可知该问题可行域无界，题可行域无界，目标函数值可以目标函数值可以增大到无穷大，增大到无穷大，成为无界解即无成为无界解即无最优解。出现这最优解。出现这种情况，一般说种情况，一般说明线性规划模型明线性规划模型有错误，有错误，该模型该模型中忽略了一些实中忽略了一些实际存在的必要的际存在的必要的约束条件。约束条件。1 2 3

20、4 x1-113-1x2Z=3=X1+X2Z=1=X1+X2Z=0=X1+X2-3x1+2x2=6X1-X2=120& 4线性规划存在无可行解的情况。若在线性规划存在无可行解的情况。若在例例1的数学模型中再增加一个约束条件的数学模型中再增加一个约束条件4x1+3x21200，显然可见新的线性规划的可行，显然可见新的线性规划的可行域为空域，也即不存在满足所有约束条件的域为空域，也即不存在满足所有约束条件的x1和和x2的解，当然更不存在最优解了。出现这种的解，当然更不存在最优解了。出现这种情况是由于约束条件自相矛盾导致的建模错误。情况是由于约束条件自相矛盾导致的建模错误。X1+X2=300

21、100400100300 x1x2X2=2504x1+3x2=120021目标函数最小化的线性规划问题目标函数最小化的线性规划问题 某公司由于生产需要，共需要某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至两种原料至少少350吨吨(A，B两种材料有一定替代性两种材料有一定替代性)，其中，其中A原料原料至少购进至少购进125吨。但由于吨。但由于A，B两种原料的规格不同，两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需原料需要要2个小时，加工每吨个小时，加工每吨B原料需要原料需要1小时，而公司总共小时，而公司总共有有600个加工小时。又知道每吨个加

22、工小时。又知道每吨A原料的价格为原料的价格为2万元，万元，每吨每吨B原料的价格为原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成本最低两种原料，使得购进成本最低?& 解：设解：设x1为购进原料为购进原料A的吨数，的吨数，x2为购进原料为购进原料B的的吨数。得到了此线性规划的数学模型如下：吨数。得到了此线性规划的数学模型如下：& 目标函数：目标函数： min f=2x1+3x2，& 约束条件：约束条件： x1+x2350，& x1125，2x

23、1+x2600, x1,x20. 22用图解法来解：用图解法来解： 100 300 500 600 x1100300500 x2X1=1252X1+X2=600X1+X2=3502x1+3x2=12002x1+3x2=800QQ点坐标为点坐标为x1=250,x2=10023& Q点坐标为点坐标为x1=250,x2=100。也即得到此线性规划问。也即得到此线性规划问题的最优解，购买题的最优解，购买A原料原料250吨，购买吨，购买B原料原料100吨，吨，可使成本最小，即可使成本最小，即2x1+3x2=2250+3100=800(万元万元)。& 分析分析: 可知购买的原料可知购买的原

24、料A与原料与原料B的总量为的总量为250+100=350(吨吨)正好达到约束条件的最低限，所需正好达到约束条件的最低限，所需的加工时间为的加工时间为2250+1100=600正好达到加工时间正好达到加工时间的最高限。而原料的最高限。而原料A的购进量的购进量250吨则比原料吨则比原料A购进量购进量的最低限的最低限125吨多购进了吨多购进了250-125=125吨，吨， 这个超过这个超过量在线性规划中称为剩余量。量在线性规划中称为剩余量。& 目标函数在可行域内目标函数在可行域内Q点处取得最小点处取得最小 值。值。Q点点的坐标下面两方程的交点：的坐标下面两方程的交点：60023502121x

25、xxx24& 25& 由上节可知，线性规划的标准形式可写为由上节可知，线性规划的标准形式可写为& 目标函数：目标函数：max Z=c1x1+c2x2+cnxn& 或：或： min f=c1x1+c2x2+cnxn & 约束条件：约束条件：a11x1+a12x2+a1nxn=b1& a21x1+a22x2+a2nxn=b2,& & am1x1+am2x2+am nxn=bm.& x1, x2,xn0.&其中其中Ci为第为第i个决策变量个决策变量Xi在目标函数中的系数，在目标函数中的系数，aij为第为第i个约个约束条件

26、中第束条件中第j个决策变量个决策变量xj的系数，的系数，bj为第为第j个约束条件中的常数个约束条件中的常数项，要求项，要求bj0。当。当bj 0 时，可在方程两边都乘以时，可在方程两边都乘以-1使使bj0。上。上节所提到的松弛变量和剩余变量都可以看成决策变量，也可以节所提到的松弛变量和剩余变量都可以看成决策变量，也可以用用Xi来表示而不用来表示而不用Si来表示。来表示。2.3图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析26&同时满足下面三个条件的模型称为同时满足下面三个条件的模型称为标准型：标准型：&一、约束条件为等式。一、约束条件为等式。&二、每个变量（包括松弛变量和剩二、每

27、个变量（包括松弛变量和剩余变量）都要余变量）都要0。&三、约束条件的右边常数项要三、约束条件的右边常数项要0。 如何把模型化为标准型？27灵敏度分析灵敏度分析& 所谓灵敏度分析就是在建立数学模型和求得最所谓灵敏度分析就是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数优解之后，研究线性规划的一些系数ci, aij, bj变化时，变化时，对最优解产生什么影响对最优解产生什么影响?灵敏度分析是非常重要的，灵敏度分析是非常重要的，首先是因为首先是因为ci, aij, bj这些系数都是估计值和预测值，这些系数都是估计值和预测值，不一定非常精确，再则即使这些系数值在某一时刻不一定非

28、常精确，再则即使这些系数值在某一时刻是精确值，它们也会随着市场条件的变化而变化，是精确值，它们也会随着市场条件的变化而变化，不会一成不变的。例如，原材料的价格、商品的售不会一成不变的。例如，原材料的价格、商品的售价、加工能力、劳动力的价格等等的变化都会影响价、加工能力、劳动力的价格等等的变化都会影响这些系数的变化，有了灵敏度分析就不必为了应付这些系数的变化，有了灵敏度分析就不必为了应付这些变化而不停地建立新的模型和求其新的最优解，这些变化而不停地建立新的模型和求其新的最优解，也不会由于系数的估计和预测的精确性而对所求得也不会由于系数的估计和预测的精确性而对所求得的最优解存有不必要的怀疑。的最优

29、解存有不必要的怀疑。& 以下用图解法的灵敏度分析对目标函数中的系以下用图解法的灵敏度分析对目标函数中的系数数ci以及对约束条件中的常数项以及对约束条件中的常数项bj进行灵敏度分析。进行灵敏度分析。28& 目标函数目标函数 max Z=C1X1+C2X2= 50 x1+100 x2& 以例以例1来看一下来看一下Ci的变化是如何来影响其最优解的。的变化是如何来影响其最优解的。从例从例1中知道生产一个单位的中知道生产一个单位的I产品可以获利产品可以获利50元元(C1=50)，生产一个单位的，生产一个单位的产品可以获利产品可以获利100元元(C2=100)。在目前的生产条件下求

30、得生产。在目前的生产条件下求得生产I产品产品50单位，单位，生产生产产品产品250单位可以获得最大利润。当单位可以获得最大利润。当I、产品中产品中的某一产品的单位利润增加或减少时，往往都能意识到的某一产品的单位利润增加或减少时，往往都能意识到为了获取最大利润就应该增加或减少这一产品的产量，为了获取最大利润就应该增加或减少这一产品的产量，也就是改变最优解。也就是改变最优解。但是往往不能精确地定出这一产品但是往往不能精确地定出这一产品利润变化的上限与下限，利润在这个范围内变化时其最利润变化的上限与下限，利润在这个范围内变化时其最优解不变，即仍然生产优解不变，即仍然生产50单位的单位的I产品和产品和

31、250单位的单位的产产品而使获利最大。品而使获利最大。&注意最优解不变不等于最优值不变。注意最优解不变不等于最优值不变。&下面就用图解方法定出其上限与下限。下面就用图解方法定出其上限与下限。一、目标函数中的系数一、目标函数中的系数Ci的灵敏度分析的灵敏度分析29直线直线E(X1+X2=300)100400100300 x1x2直线直线F(X2=250）Z=27500=50 x1+100 x2B直线直线G(2X1+X2=400）CAD30& 直线直线E的方程为：的方程为：x1+x2=300,可改写为：可改写为：& x2=-x1+300, 其斜率为其斜率为-1。&a

32、mp; 同理同理 直线直线F :x2=0 x1+250 的斜率为的斜率为0。& 直线直线G :x2=-2x1+400 的斜率为的斜率为-2。& 而且目标函数：而且目标函数：z =c1x1+c2x2 可写为：可写为：& x2=-c1/c2x1+z/c2& 可知目标函数的斜率为可知目标函数的斜率为-c1/c2。 各直线的斜率各直线的斜率31& 下面讨论下面讨论Ci在什么范围内变动时，最优解位于哪些点。在什么范围内变动时，最优解位于哪些点。& 由上所述：由上所述：1、当、当-1-c1/c20 (2.1) 时，时，& 即直线即直线E的斜率的斜率

33、-c1/c2直线直线F的斜率。目标函数的的斜率。目标函数的直线在直线在E与与F之间变动。故最优解仍然为之间变动。故最优解仍然为B点。点。直线直线G(2X1+X2=400,斜率斜率-2）直线直线E(X1+X2=300,斜率斜率-1)100400100300 x1x2直线直线F(X2=250，斜率，斜率0）Z=27500=50 x1+100 x2BCAD斜率为斜率为-C1/C232&问题问题1：固定：固定C2，问，问C1在什么范围内变动时，在什么范围内变动时，B仍为最优解仍为最优解?& 设设C2=100, 则有则有-1-C1/1000, 0C1100. 即当即当C2=100， 0C

34、1100时时B仍为最优解。仍为最优解。& 问题问题2：固定：固定C1，问，问C2在什么范围内变动时，在什么范围内变动时，B仍为最优解仍为最优解?& 设设C1=50, 则有则有-1-50/C20, 50C2+. 即当即当C1=50， 50C2+时时B仍为最优解。仍为最优解。直线直线G(2X1+X2=400,斜率斜率-2）直线直线E(X1+X2=300,斜率斜率-1)100400100300 x1x2直线直线F(X2=250，斜率，斜率0）Z=27500=50 x1+100 x2BCAD斜率为斜率为-C1/C233& 2、同样在、同样在C1和和C2中一个值确定不变时，可求出

35、另一个值的变化中一个值确定不变时，可求出另一个值的变化范围，使其最优解在范围，使其最优解在C点点(或在或在A点，或在点，或在D点点)。& 例如例如 当当0-C1/C2+时，最优解在时，最优解在A点（即从直线点（即从直线F反时针转到反时针转到X2轴）。轴）。 当当-2-C1/C2-1 时，最优解在时，最优解在C点。点。&当当-C1/C2-2 时，最优解在时，最优解在D点点直线直线G(2X1+X2=400,斜率斜率-2）直线直线E(X1+X2=300,斜率斜率-1)100400100300 x1x2直线直线F(X2=250，斜率，斜率0）Z=27500=50 x1+100 x2BC

36、AD斜率为斜率为-C1/C234& 3、如果当、如果当C1和和C2都变化时，则可以通过都变化时，则可以通过& -1 -C1/C20 (2.1)式，可以判断式，可以判断B点是否仍为其最优点是否仍为其最优解，解，& 例如当例如当C1=60；C2=55时，时， 因为因为-C1/C2=-60/55=-1.09，不满足不满足(2.1)不等式，可知不等式，可知B点已不是其最优解了，点已不是其最优解了，& 但但-2(直线直线G的斜率的斜率)-60/55-1(直线直线E的斜率的斜率)，所以，所以此时此时C点点(其坐标为其坐标为x1=100，x2=200)为其最优解。为其最优解。

37、x2100400100300 x1CAD斜率为斜率为-C1/C2直线直线G(2X1+X2=400,斜率斜率-2）直线直线E(X1+X2=300,斜率斜率-1)35& 当约束条件右边系数当约束条件右边系数bj变化时，其线性变化时，其线性规划的可行域也将变化，这样就可能引起最规划的可行域也将变化，这样就可能引起最优解的变化。为了说明这方面的灵敏度分析，优解的变化。为了说明这方面的灵敏度分析，不妨假设例不妨假设例1中的设备台时数增加了中的设备台时数增加了10个台时，个台时，共有台时数共有台时数310个，这样例个，这样例1中的设备台时数中的设备台时数的约束条件就变为：的约束条件就变为：&

38、; x1+x2310,& 增加了增加了10个台时，扩大了可行域。个台时，扩大了可行域。二、二、 约束条件中右边系数约束条件中右边系数bj的灵敏度分析的灵敏度分析36图图26X1+X2=300100400100300 x1x2Z=50 x1+100 x2CADX1+X2=310BBC O由上图可知新的可行域的最优解为由上图可知新的可行域的最优解为B点，为点，为x1=250,x1+x2=310的解：的解：x1=60,x2=250. Z=28000,比原来比原来27500增加了增加了28000-27500=500元。元。每增加每增加1台时获利台时获利500/10=50元。元。 像这样在约束条

39、件右边常量增加一像这样在约束条件右边常量增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格对偶价格。即台时数约束条件的对偶价格为。即台时数约束条件的对偶价格为50元元。 你知道对偶价格吗？对偶价格的概念对偶价格的概念37& 从图从图27可以看到由于原料可以看到由于原料A增加了增加了10千克，使例千克，使例1中的原料中的原料A的约束条件变为的约束条件变为 2 X1+X2410,也使得可行域扩也使得可行域扩 大了，但是并不大了，但是并不影响它的最优解和最优值，它的最优解仍影响它的最优解和最优值，它的最优解仍 是

40、是B点，它的最优值仍点，它的最优值仍然是然是 27500，没有任何的改进，没有任何的改进. (27500- 27500)10=0 & 这样得到原料这样得到原料A的对偶价格为零。同理可知原料的对偶价格为零。同理可知原料B对偶价格为对偶价格为不为零（为不为零（为50）。）。图图272X1+X2=410100400100300 x1x2Z=50 x1+100 x2CADBO下面来看例下面来看例1中的原料中的原料A如果增加如果增加10千克，将会对最优解千克，将会对最优解和最优值产生什么影响。和最优值产生什么影响。38& 其实这个问题不需要通过计算就很容易理解。由于当产品其实这个问题不需

41、要通过计算就很容易理解。由于当产品I生生产产50单位，产品单位，产品生产生产250单位时，原料单位时，原料A还有还有50千克没有使用千克没有使用(即松弛变量即松弛变量s2= 50)，如果再增加，如果再增加10千克原料，也只不过增加库千克原料，也只不过增加库存而已，是不会再增加利润的，故原料存而已，是不会再增加利润的，故原料A的对偶价格为零。的对偶价格为零。所以所以& 某一约束条件的对偶价格仅仅在某一范围内是有效的，当这某一约束条件的对偶价格仅仅在某一范围内是有效的，当这种约束条件的资源不断的获得，使得其种约束条件的资源不断的获得，使得其bi值不断增大，由于其他值不断增大，由于其他约束条件的限制，使得这约束条件的限制，使得这 种约束条件的资源用