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文档简介

1、高等数学第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念二、概念的引入二、概念的引入三、定义和性质三、定义和性质四、计算方法四、计算方法五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系重点重点:坐标积分:坐标积分的计算的计算难点难点:理解坐标积分及其与面积积分的关系理解坐标积分及其与面积积分的关系高等数学一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧(不封闭)(不封闭)(封闭)(封闭)高等数学n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧

2、曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面高等数学莫比乌斯带莫比乌斯带 (Mobius,A,F, 1790-1868, 德国德国)典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放高等数学曲面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了决定了侧侧的曲面称为的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的曲面的投影投影问题问题: :面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当xyxyxyS.)(表表示示投投影影区区域域的的面面积积其其中中xy 为为上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 高等数学二、概念的引入二、概念的

3、引入实例实例: : 流向曲面流向曲面一侧一侧的流量的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域A A, ,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量高等数学xyzo 高等数学xyzo iS ),(iii ivin1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in高等数学该点处曲面的单位法向量该点处曲面的单位法向量kjiniiii coscoscos, ,)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(

4、kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv1高等数学iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取极限取极限0 .的的精精确确值值取取极极限限得得到到流流量量 高等数学 nixyiiiiSR10)(,(lim 存存在在, ,则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxR在在有有向向曲曲面面上上对对坐坐标标yx,的的曲曲面面积积分分( (也也称称第第二二类类曲曲面面积积分分) )三、概念及性质三、概念

5、及性质高等数学记记作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 高等数学存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyx

6、QdydzzyxP),(),(),( 高等数学性质性质: 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2高等数学四、计算法四、计算法 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD, ,函数函数),(yxzz 在在xyD上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连

7、续. . ),(yxfz xyDxyzoxys)( 高等数学 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取取上上侧侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即高等数学,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xz

8、yy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意必须注意曲面所取的侧曲面所取的侧. .高等数学解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 _1 例例1 1 高等数学 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin2401022 rdrdrrxyz高等数学例例 2 2 dxdyazaxdydzaI)(12化化简简得得解解).0(,()(222222212) ay

9、xazzyxdxdyazaxdydzI的的上上侧侧半半球球面面为为其其中中求求,11 axdydzaI记记 dxdyaIaz)(221高等数学 xdydzaxdydzaI11 Dyzdydzzya2222drrarda 02222 a332 dxdyazaI)(122 adrrraada022220)(1 a36 aI32 Dxydxdyyxaaa)(12222yz高等数学五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyD, , 函函数数),(yxzz 在在xyD上上具具有有一

10、一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxR在在上上连连续续. .对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yxfz xyzodSn高等数学曲面的法向量的方向余弦为曲面的法向量的方向余弦为 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 高等数学对对面面积积的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧均均成成立立) )dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)c

11、oscoscos( 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系高等数学向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdAn或或其其 中中cos,cos,cos, nRQPA为为有有 向向 曲曲 面面 上上 点点),(zyx处处 的的 单单 位位 法法 向向 量量 , ,dxdydzdxdydzdSnSd 称称 为为 有有 向向 曲曲 面面元元, ,nA为为向向量量A在在n上上的的投投影影. .高等数学例例 3 3 计计算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋转转抛抛物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及2 z之之间间的的部部分分的的下下侧侧. .解解 dydzxz)

12、(2有有上上在曲面在曲面, dSxzcos)(2 dxdyxz coscos)(2.11cos,1cos2222yxyxx 高等数学 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.8 高等数学六、小结六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”高等数学思考题思考题 利用两类曲面积分间的联系再解例利用两类曲面积分间的联系再解例2:).0(,)()(222222

13、212 ayxazzyxdxdyazaxdydzI的的上上侧侧半半球球面面为为其其中中求求高等数学例例 dxdyazaxdydzaI)(12化化简简得得解解2 2).0(,()(222222212) ayxazzyxdxdyazaxdydzI的的上上侧侧半半球球面面为为其其中中求求 dxdyazaxaI)(coscos12则则 dxdyazyxaxaxa)(12222 xyDdxdyyxaayxaaxa)(122222222高等数学 dxdyazaxaI)(coscos12则则 dxdyazyxaxaxa)(12222 xyDdxdyyxaayxaaxa)(122222222.2)3423(3

14、213444aaaaa yxyxyxzzzznzzn coscos,coscos) 1 ,() 1,(或或注注记记: 高等数学作作 业业 P165:1(2)(4), 3, 4, 5.高等数学莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌

15、斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带高等数学 复习复习一一. 填空填空._,)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(. 4._)(,2:. 3._),(. 2._,),(. 12222220102 cDxxxydsCdxdyRyDdyyxfdxyxzyxxyfzyxyx则则的的三三边边为为顶顶点点的的三三角角形形为为以以设设则则设设交交换换积积分分顺顺序序则

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