高等数学课件：w-10-1对弧长的曲线积分

1、高等数学 第第 十十 章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一一. . 问题的提出问题的提出二二. . 定义与性质定义与性质三三. . 计算方法计算方法四四. . 几何与物理意义几何与物理意义重点：弧长积分的计算重点：弧长积分的计算难点：理解弧长积分难点：理解弧长积分高等数学一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取

2、极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值高等数学二、对弧长的曲线积分的定义与性质二、对弧长的曲线积分的定义与性质,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L高等数学.),(lim),(,),(,),(,010 ni

3、iiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记记作作线线积积分分第第一一类类曲曲上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分或或在在曲曲线线弧弧则则称称此此极极限限为为函函数数这这和和的的极极限限存存在在时时长长度度的的最最大大值值如如果果当当各各小小弧弧段段的的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的曲线形构件的质量质量.),( LdsyxM 高等数学2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数

4、 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 高等数学注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2 LdsyxfLyxf曲曲线线积积分分记记为为上上对对弧弧长长的的在在闭闭曲曲线线函函数数高等数学4.性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 高等数学三、对弧长曲

5、线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数在在其其中中的的参参数数方方程程为为上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设高等数学注意注意: :;),(. 1 一一定定要要小小于于上上限限化化为为定定积积分分时时的的下下限限 Ldsyxf.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba ?高等数学推

6、广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.,)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 高等数学例例1).(,sin,cos:,象限象限第第椭圆椭圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 高等数学例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从

7、其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I高等数学例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由由对称性对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa高等数学四、几何与四、几何与物理意义物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz 高等数学,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxdsxIdsyI曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 高等数学五、小结五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的