立体的表面交线

1、2021/3/261立体的表面交线 2021/3/262空间几何体分为平面立体和曲面立体。空间几何体分为平面立体和曲面立体。平面立体平面立体:表面由平面围成的几何体。表面由平面围成的几何体。曲面立体曲面立体:表面由曲面或者曲面与平面围成表面由曲面或者曲面与平面围成 的几何体。的几何体。平面平面立体立体曲面曲面立体立体2021/3/263截截 交交: :平面与立体相交平面与立体相交, ,截去立体的一部分。截去立体的一部分。 平面与立体、立体与立体两处相交形成平面与立体、立体与立体两处相交形成不同的表面交线不同的表面交线, ,可分为两大类可分为两大类: :截交线截交线截平面与立体表面的交线。截平面

2、与立体表面的交线。2021/3/264相相 贯贯: :两立体相交。两立体相交。相贯线相贯线立体与立体表面的交线。立体与立体表面的交线。单击立体单击立体图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观看三维动画 平面与立体、立体与立体相交形成不同平面与立体、立体与立体相交形成不同的表面交线的表面交线, ,可分为两大类可分为两大类: :2021/3/2651 1 平面立体的截交线平面立体的截交线1.1 1.1 平面与平面立体的截交线平面与平面立体的截交线 2) 2)截交线的形状是由直线段围成的截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。平面多边形。 3) 3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的多边形的顶点是立

3、体棱线与截平面的交点交点, , 多边形的各边是截平面与立体各表面的多边形的各边是截平面与立体各表面的交线交线。 截交线的性质截交线的性质: : 1) 1)截交线既在截平面上截交线既在截平面上, ,又在立体表面上又在立体表面上, , 是截平面与立体表面的是截平面与立体表面的共有线。共有线。2021/3/266平面与平面立体截交线的求法平面与平面立体截交线的求法: :A. .求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点线面交点法线面交点法B. .求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线面面交线法面面交线法求截交线的步骤求截交线的步骤: :1) 1) 空间及投影分析空间及投影分析2) 2) 画出

4、截交线的投影画出截交线的投影a、截平面与立体的相对位置、截平面与立体的相对位置: :确定截交线的确定截交线的形状。形状。确定截交线的确定截交线的投影特性。投影特性。b、截平面与投影面的相对位置、截平面与投影面的相对位置: :分别求出截平面与棱面的交线分别求出截平面与棱面的交线, ,并连接成多边形。并连接成多边形。2021/3/267 例例11四棱锥被正垂面四棱锥被正垂面P切割切割, ,求其截交线的投影求其截交线的投影 。3 2 1 (4 )3 2 4 1 3241) 1) 空间分析空间分析12) 2) 投影分析投影分析3) 3) 求截交线求截交线4) 4) 补全棱线的投影补全棱线的投影检查检查

5、: :尤其注意检查尤其注意检查截交线投影的相仿性截交线投影的相仿性SS S 截平面与体的几个截平面与体的几个棱面相交棱面相交? ?截交线的形状截交线的形状? ?采采用用的的是是哪哪种种解解题题方方法法? ?四边形四边形线面交点法线面交点法2021/3/268 例例22求求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影两平面与三棱锥截交线的投影 。1解题步骤解题步骤1)1)分析分析: : 截平截平面为正垂面和面为正垂面和水平面水平面, ,正面投正面投影积聚影积聚; ;2)2)求出点求出点1、2、3、4;Ssa aab (c )bbccPvQv3)3)顺次地连接顺次地连接各点各点, ,作出截交作出截交线线,

6、,并且判别可并且判别可见性见性; ;S (3 )2 2314324)4)补全轮廓线。补全轮廓线。 4 1 42021/3/269 例例33已知立体的已知立体的V、W投影投影, ,试求其试求其H投影。投影。单击立体单击立体模型区模型区或或此处此处可可观看三维动画观看三维动画 2021/3/2610主视图主视图, ,试完成其俯、左视图。试完成其俯、左视图。 例例4 4 已知上部开有通槽的四棱锥已知上部开有通槽的四棱锥 2021/3/2611 例例55已知主视图和左视图已知主视图和左视图, ,求俯视图。求俯视图。2021/3/2612例例6 如图如图a所示所示,补全三棱锥被截切后形体的另两面投影。补

7、全三棱锥被截切后形体的另两面投影。a) 题图题图 题意分析题意分析: :从题图可知从题图可知, ,三棱锥被两个平面截三棱锥被两个平面截切切, ,一个为水平面一个为水平面, ,另一另一个为正垂面。求解的个为正垂面。求解的实质仍然是求棱线上实质仍然是求棱线上的点、平面上的点和的点、平面上的点和直线以及平面的交线直线以及平面的交线的问题。的问题。2021/3/2613解题过程解题过程:b) 求作棱线、平面上各交点的投影求作棱线、平面上各交点的投影图图2.27 补全三棱锥的投影补全三棱锥的投影c) 完成结果完成结果2021/3/2614空间模型空间模型c) 完成结果完成结果2021/3/2615例例7

8、 如图如图a所示所示,补画出立体的补画出立体的W面投影图。面投影图。 a) 题图题图 空间分析空间分析: :p2021/3/2616解题过程解题过程:b) 作作W面投影图面投影图c) 加深、整理加深、整理图图2.30 求直线求直线AB与三棱锥表面的交点与三棱锥表面的交点pabcdeabcd(e)edcba p2021/3/2617解题结果解题结果:2021/3/2618 例例88补画立体的补画立体的W W 面投影。面投影。图图3.5 3.5 平面与平面立体相交举例之一平面与平面立体相交举例之一解解: : 形体分析形体分析2021/3/2619解解: :（1 1）画出完整三棱柱的）画出完整三棱柱

9、的W W面投影面投影abcabccba（2 2）求作正垂面与三棱柱表面的交线）求作正垂面与三棱柱表面的交线（3 3）求作水平面、侧平面与三棱柱表面的交线）求作水平面、侧平面与三棱柱表面的交线（4 4）判别可见性）判别可见性, ,整理、加深整理、加深, ,完成作图完成作图2021/3/2620图图3.6 3.6 平面与平面立体相交举例之二平面与平面立体相交举例之二 例例88补画立体的三面投影中所缺线条。补画立体的三面投影中所缺线条。解解: :（1 1）作水平面与立体表面的交线）作水平面与立体表面的交线（2 2）作正垂面与立体表面的交线）作正垂面与立体表面的交线2021/3/2621 例例9 9

10、完成俯、左视图完成俯、左视图 实实体体 视视图图2021/3/26222 2 回转体的截交线回转体的截交线回转体截切的基本形式回转体截切的基本形式 平面与回转体表面相交平面与回转体表面相交,其截交线是封闭的其截交线是封闭的平面图形。平面图形。 截交线是由曲线围成截交线是由曲线围成,或者由曲线与直线围或者由曲线与直线围成成,或者由直线段围成。或者由直线段围成。 求回转体截交线求回转体截交线,常利用积聚性或者辅助面常利用积聚性或者辅助面以及投影变换的方法。以及投影变换的方法。2021/3/2623求平面与回转体截交线的一般步骤求平面与回转体截交线的一般步骤: : 空间及投影分析空间及投影分析 分析

11、回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置的相对位置, ,以便确定截交线的以便确定截交线的形状形状。 分析截平面与投影面的相对位置分析截平面与投影面的相对位置, ,明确截交线明确截交线的的投影特性投影特性, ,如积聚性、相仿性等。找出截交线的如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影已知投影, ,预见未知投影。预见未知投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时当截交线的投影为非圆曲线时, ,其作图步骤为其作图步骤为: :* * 光滑连接各点光滑连接各点, ,并判断截交线的并判断截交线的可见性可见性。 * * 先找先找特殊点特殊点,

12、,补充补充中间点中间点。2021/3/26242.1 2.1 圆柱的截交线圆柱的截交线 平面与圆柱面相交时平面与圆柱面相交时, ,根据平面根据平面与圆柱轴线的相对位置不同与圆柱轴线的相对位置不同, ,其截交线其截交线有三种情况有三种情况: :圆圆、椭圆椭圆和和矩形矩形。2021/3/2625圆柱的截交线圆柱的截交线2021/3/2626 多个平面截切多个平面截切立体时立体时, ,要分别对要分别对各截平面进行截交各截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。 例例11圆柱体被圆柱体被P、Q 两平面截切两平面截切, ,试完成其三视图。试完成其三视图。 1)1)空间及投影空间及投影分析分析3)3)

13、求截交线。求截交线。2)2)分析圆柱体分析圆柱体轮廓素线轮廓素线的投影。的投影。截平面与截平面与立体立体的相对位置的相对位置; ;截平面与截平面与投影面投影面的相对位置的相对位置; ;解题步骤解题步骤保留动画确定截交线形状为确定截交线形状为矩形矩形和和圆弧圆弧。acbdePvQve b (d )a (c )e a (b ) c (d )2021/3/2627 例例2 2圆柱被正垂面截切圆柱被正垂面截切, ,试画出三视图。试画出三视图。1 1分析分析: :截平面为截平面为正垂面正垂面, ,截交线的正面投影截交线的正面投影积聚积聚, , 侧面投影和水平投影为侧面投影和水平投影为椭圆椭圆; ;2 2

14、求出截交线上的求出截交线上的特殊点特殊点a、b、c、d; ;3 3求出若干个求出若干个一般点一般点e、e1; ;4 4光滑顺次连接各点光滑顺次连接各点, ,作出截交线作出截交线, ,并判别可见性并判别可见性; ;5 5补全轮廓线。补全轮廓线。解题步骤解题步骤2021/3/2628 截平面与圆柱轴线的倾角为截平面与圆柱轴线的倾角为, ,其交线的其交线的H投影为投影为椭圆椭圆, ,且椭圆的长、短轴随且椭圆的长、短轴随的变化而变化的变化而变化 。截平面与圆柱轴线成截平面与圆柱轴线成45时时, ,投影为圆。投影为圆。2021/3/2629 例例33已知顶部开有长方槽圆柱的主视图和已知顶部开有长方槽圆柱

15、的主视图和俯视图俯视图, ,试画出其左视图。试画出其左视图。2021/3/2630 例例44空心圆柱上部开有长方槽空心圆柱上部开有长方槽, ,若已知其若已知其V、H投影投影, ,试求试求W投影。投影。 2021/3/2631 例例44空心圆柱上部开有长方槽空心圆柱上部开有长方槽, ,若已知其若已知其V、H投影投影, ,试求试求W投影。投影。 2021/3/2632(1)(1)作圆柱的作圆柱的W W面投影面投影图图 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一 例例55如图如图a a, ,根据根据V V 面投影和面投影和H H 面投影补出立体的面投影补出立体的W W面投影。面投影。 a a)

16、 ) 题图题图 解解: : (2) (2) 作左切块上的投影作左切块上的投影 2021/3/2633图图 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一(3)(3)作下部通槽的投影作下部通槽的投影 2021/3/2634(4)(4)判别可见性判别可见性, ,整理、加深完成全图整理、加深完成全图 图图 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一2021/3/2635 例例66补全立体的三面投影。补全立体的三面投影。2021/3/2636图图 平面与圆柱体相交举例之二平面与圆柱体相交举例之二2021/3/26372.2 2.2 圆锥截交线圆锥截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对根据截平面与圆

17、锥轴线的相对位置不同位置不同, ,截交线有截交线有五种形状五种形状。2021/3/2638圆锥的五种截交线圆锥的五种截交线2021/3/2639 1. 1.分析分析: : 圆锥被正圆锥被正垂面截切垂面截切, ,截交线为椭截交线为椭圆圆, ,其水平和侧面两投其水平和侧面两投影均为椭圆影均为椭圆; ;解题步骤解题步骤 2. 2.求出截交线上的求出截交线上的各各特殊点特殊点A、B、C、D、E、F; 3. 3.求出求出一般点一般点1、2; 4. 4.光滑且顺次连接光滑且顺次连接各点各点, ,作出截交线作出截交线, ,并并且判别可见性且判别可见性; ; 5. 5.补全轮廓素线的投补全轮廓素线的投影。影。

18、 例例11求正垂面与圆锥的截交线求正垂面与圆锥的截交线, ,并画出斜截面的实形。并画出斜截面的实形。bfeadc21a12cdefb1(2)c(d)e(f)ba2021/3/2640 例例22P平面与圆锥面相交平面与圆锥面相交, ,求截交线的投影。求截交线的投影。分分 析析 P平面为正平平面为正平面且平行于圆锥面且平行于圆锥的轴线的轴线, ,与圆锥面与圆锥面的交线为双曲线的交线为双曲线, ,其其H投影积聚在投影积聚在PH上上, ,W投影积聚在投影积聚在PW上，求出交线上，求出交线的的V投影即可。投影即可。 2021/3/2641 例例33圆锥被正垂面圆锥被正垂面P和侧平面和侧平面Q截切截切,

19、,已知已知其主视图其主视图, ,求作俯视图和左视图。求作俯视图和左视图。2021/3/2642 圆球的截交线总是圆。圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同由于截平面相对于投影面的位置不同, ,截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。 2.3 2.3 圆球的截交线圆球的截交线2021/3/2643 例例11P平面与球面相交平面与球面相交, ,求其截交线的投影。求其截交线的投影。 1. 1.分析分析: : 圆球被正圆球被正垂面截切垂面截切, ,截交线为圆截交线为圆, ,其水平和侧面两投影其水平和侧面两投影均为椭圆均为椭圆; ;解题步骤解题步骤 2. 2.

20、求求特殊点特殊点1、2、3、4、5、6、7、8; ; 3. 3.求求一般点一般点a、b、c、d ; 4. 4.光滑且顺次连接光滑且顺次连接各点各点, ,作出截交线作出截交线, ,并并且判别可见性且判别可见性; ; 5. 5.补全轮廓素线的投补全轮廓素线的投影。影。2021/3/2644 两个侧平面截切圆球两个侧平面截切圆球, ,交线在左视图上为部分圆交线在左视图上为部分圆弧弧, ,在俯视图上积聚为直线。在俯视图上积聚为直线。 例例2 2 已知上部开有通槽的半圆球的主视图已知上部开有通槽的半圆球的主视图, ,求其俯视求其俯视图和左视图。图和左视图。 水平面截切水平面截切圆球圆球, ,交线在俯交线

21、在俯视图上为部分圆视图上为部分圆弧弧, ,在左视图上在左视图上积聚为直线。积聚为直线。2021/3/2645图图 平面与球体相交举例平面与球体相交举例 例例22补全立体的三面投影。补全立体的三面投影。2021/3/2646平面与球体相交模型平面与球体相交模型2021/3/26472.4 2.4 综合举例综合举例 首先分析复合回转体由哪些基本首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系回转体组成以及它们的连接关系, ,然后然后分别求出这些基本回转体的截交线分别求出这些基本回转体的截交线, ,并并依次将其连接。依次将其连接。保留动画2021/3/2648球1圆柱2 圆柱3 例例11已知

22、立体的俯、左视图已知立体的俯、左视图, ,完成其主视图。完成其主视图。球1圆柱2 圆柱32021/3/2649 例例22求连杆头部的截交线求连杆头部的截交线 球圆柱圆环解题步骤解题步骤 3.3.在分界线的右在分界线的右侧作平面与球面的交侧作平面与球面的交线（圆弧）线（圆弧）; ;在左侧作在左侧作平面与环面的交线平面与环面的交线（一段曲线）。（一段曲线）。 1. 1.分析分析立体组成立体组成和截交线的组成和截交线的组成, ,其其水平和侧面两投影均水平和侧面两投影均为已知为已知, ,正面投影未正面投影未知知; ; 2.2.作曲面的分界作曲面的分界线线; ;球圆柱圆环2021/3/2650辅助截面辅

23、助截面辅助截面辅助截面共面共面图图 组合截切举例组合截切举例 例例33补出立体的补出立体的H H 面投影。面投影。a a) ) 题图题图b b) ) 求水平截面与立体的交线求水平截面与立体的交线c c) ) 求正垂截面与立体的交线求正垂截面与立体的交线d d) ) 整理、加深整理、加深2021/3/2651 模型模型组合截切举例组合截切举例2021/3/2652例例4 4 完成俯、左视图。完成俯、左视图。 实实体体 视视图图2021/3/2653相贯线的主要性质相贯线的主要性质: : 其作图实质是找出相贯的两立体表面的其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。若干共有点的投影。1)

24、1) 共有性共有性 相贯线是两立体表面的共有线。相贯线是两立体表面的共有线。2) 2) 分界性分界性 相贯线两立体表面的分界线。相贯线两立体表面的分界线。3) 3) 封闭性封闭性 相贯线一般是封闭的空间曲线相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况特殊情况下为不封闭或平面曲线或直线。下为不封闭或平面曲线或直线。3 3 回转体的相贯线回转体的相贯线2021/3/2654两立体相交可分为两立体相交可分为 1) 1) 两平面立体相交两平面立体相交: :可归结为求两平面可归结为求两平面的交线问题的交线问题, ,或求棱线与平面的交点问题。或求棱线与平面的交点问题。 2) 2) 平面立体与曲面立体相交平面立体与

25、曲面立体相交: :可归结为求可归结为求平面与曲面立体截交线问题。平面与曲面立体截交线问题。本节主要介绍此问题本节主要介绍此问题 3) 3) 曲面立体相贯线曲面立体相贯线: :2021/3/26553.1 3.1 利用积聚性求相贯线利用积聚性求相贯线 例例 轴线垂直相交的两圆柱轴线垂直相交的两圆柱, ,试求其相贯线。试求其相贯线。单击立体单击立体图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观看三维动画 2021/3/2656 相贯线的侧面投影积聚在水相贯线的侧面投影积聚在水平大圆柱侧面投影上平大圆柱侧面投影上,即为圆的一即为圆的一部分。部分。 空间及投影分析空间及投影分析: 相贯线的水平投影与直立相

26、贯线的水平投影与直立小圆柱的水平投影重合小圆柱的水平投影重合,是一个是一个圆。圆。 2021/3/2657求相贯线的投影求相贯线的投影: :利用利用积聚性积聚性, ,采用采用表面取点法表面取点法。1. 1. 找全找全特殊点特殊点; ;2. 2. 补充补充一般点一般点; ;3. 3. 判别可见性、光滑连接判别可见性、光滑连接; ;4.4. 补全轮廓线。补全轮廓线。2021/3/2658曲面立体相贯的三种基本形式曲面立体相贯的三种基本形式2.2.外表面外表面与与内表面内表面相交相交1.1.两外表面两外表面相交相交3.3.两内表面相交两内表面相交2021/3/2659 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表

27、面相以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。点击此处观看三维动画点击此处观看三维动画 2021/3/2660 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。2021/3/2661圆柱与圆柱相贯圆柱与圆柱相贯两圆柱相贯的三种形式2021/3/26623.2 3.2 用辅助平面法求相贯线用辅助平面法求相贯线辅助平面法辅助平面法: : 根据三面共点的原理根据三面共点的原理, ,利用辅助平面求利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点出

28、两回转体表面上的若干共有点, ,从而画出从而画出相贯线的投影。相贯线的投影。作图方法作图方法: : 假想用辅助平面截切两回转体假想用辅助平面截切两回转体, ,分别得分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内点既在辅助平面内, ,又在两回转体表面上又在两回转体表面上, ,因因而是相贯线上的点。而是相贯线上的点。2021/3/2663圆柱与圆柱相贯举例之一圆柱与圆柱相贯举例之一例例: :补画两圆柱相贯线的投影。补画两圆柱相贯线的投影。a a) ) 求特殊点求特殊点b b) ) 求一般点求一般点12562021/3/2664辅助平面的辅助平面的

29、选择原则选择原则: 使辅助平面与两回转体表面截交线的投使辅助平面与两回转体表面截交线的投影简单易画影简单易画, ,例如直线或圆。例如直线或圆。 一般选择一般选择投影面平行面投影面平行面2021/3/2665 例例11求圆柱与圆锥相贯线的投影。求圆柱与圆锥相贯线的投影。解题步骤解题步骤 1.1.分析分析: : 相贯线相贯线的的侧面投影已知侧面投影已知, ,可可利用辅助平面法求利用辅助平面法求共有点共有点; ; 2. 2.求出求出特殊点特殊点1、2、3、4 ; 3. 3.求出求出一般点一般点5、6、a、b ; 4. 4.光滑顺次连接光滑顺次连接各点各点, ,并且并且判别可见判别可见性性, ,作出相

30、贯线作出相贯线; ; 5.5.补全轮廓线。补全轮廓线。2021/3/2666 例例22求圆柱与圆锥的相贯线。求圆柱与圆锥的相贯线。a a) ) 求特殊点求特殊点b b）求一般点）求一般点, ,连线连线, ,整理整理图图 圆柱与圆锥相贯举例圆柱与圆锥相贯举例2021/3/2667 例例33两圆柱斜交两圆柱斜交, ,求其相贯线。求其相贯线。辅助平面的辅助平面的选择原则选择原则: 使使辅助平面辅助平面与两与两回转体表面截交线的回转体表面截交线的投影投影简单易画简单易画, ,例如例如直线直线或或圆圆。 2021/3/2668 例例44完成主视图完成主视图 实实体体 视视图图2021/3/2669 求作

31、相贯线的一般方法及步骤求作相贯线的一般方法及步骤: : (1)(1)分析立体的构成方式、基本形状、空间位置分析立体的构成方式、基本形状、空间位置( (即立体为何种基本几何体即立体为何种基本几何体, ,处于何种空间位置处于何种空间位置);); (2)(2)分析两立体的相对位置及相对大小分析两立体的相对位置及相对大小; ; (3)(3)求相贯线上的特殊点求相贯线上的特殊点( (即轮廓线、转向线上即轮廓线、转向线上的共有点及极限位置点的共有点及极限位置点);); (4)(4)求相贯线上的一般点求相贯线上的一般点( (主要采用辅助平面法主要采用辅助平面法, ,求适量的一般点求适量的一般点, ,使相贯线

32、作图准确完整使相贯线作图准确完整) )； (5)(5)判别可见性判别可见性, ,顺次光滑连接各交点，即得相顺次光滑连接各交点，即得相贯线的投影。贯线的投影。 (6)(6)补充完成立体上未参与相贯的轮廓线、转向补充完成立体上未参与相贯的轮廓线、转向线的投影，整理并完成全图。线的投影，整理并完成全图。2021/3/2670 1 1）蒙日定理）蒙日定理: :若两个二次曲面共切于第若两个二次曲面共切于第三个二次曲面三个二次曲面, ,则两曲面的相贯线为平面曲线则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）。（椭圆）。 3.3 3.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况单击单击图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观

33、看三维动画 2021/3/2671相贯线的特殊情况（二）相贯线的特殊情况（二）单击单击图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观看三维动画2021/3/2672单击单击图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观看三维动画 相贯线的特殊情况（三）相贯线的特殊情况（三）2021/3/2673单击单击图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观看三维动画相贯线的特殊情况（四）相贯线的特殊情况（四）2021/3/2674具有公共内切球的两曲面立体相贯具有公共内切球的两曲面立体相贯具有公共内切球的两曲面立体相贯具有公共内切球的两曲面立体相贯相贯线为椭圆相贯线为椭圆 2021/3/2675 2 2）若两回转

34、曲面相交）若两回转曲面相交, ,具有公共回转轴线时具有公共回转轴线时, ,则其则其相贯线为圆。当回转曲面轴线过球心时相贯线为圆。当回转曲面轴线过球心时, ,回转体与球回转体与球的相贯线为圆。的相贯线为圆。2021/3/2676相贯线相贯线相贯线相贯线相贯线相贯线 1. 1.具有公共回转轴的两回转体相贯具有公共回转轴的两回转体相贯 相贯线为垂直于公共回转轴线的圆相贯线为垂直于公共回转轴线的圆 图图 具有公共回转轴的两回转体相贯具有公共回转轴的两回转体相贯2021/3/2677轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯 2. 2.轴线相互平行的两圆柱相

35、贯轴线相互平行的两圆柱相贯, ,或共锥顶的两圆锥相贯或共锥顶的两圆锥相贯 相贯线为直线相贯线为直线 2021/3/26783.4 3.4 圆柱、圆锥相贯线变化规律圆柱、圆锥相贯线变化规律当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。动画一动画一 动画二动画二 2021/3/2679两圆柱相对大小的变化对相贯线的影响两圆柱相对大小的变化对相贯线的影响2021/3/2680两圆柱相对位置的变化对相贯线的影响两圆柱相对位置的变化对相贯线的影响2021/3/2681 组合表面交线组合表面交线: :由相邻立体表面上的截交线或由相邻立体表面上的截交线或相贯线接合而成的立体表面交线

36、。相贯线接合而成的立体表面交线。 组合表面交线的求法组合表面交线的求法: : 作组合表面交线的一般求法是作组合表面交线的一般求法是逐一作出构成组逐一作出构成组合表面交线的各段交线合表面交线的各段交线。 （1 1）分清各构成立体的形状、表面关系及其）分清各构成立体的形状、表面关系及其分界线。分界线。 （2 2）确定各段交线的投影。）确定各段交线的投影。 （3 3）作出组合表面交线的投影。）作出组合表面交线的投影。3.5 3.5 组合表面交线组合表面交线2021/3/2682 例例5 5 补画左视图。补画左视图。 实实体体1 1 视视图图 实实体体2 22021/3/2683 例例6 6 完成俯、

37、左视图。完成俯、左视图。 实实体体 视视图图2021/3/2684 例例7 7 如图所示为三个回转体相交如图所示为三个回转体相交, ,试求其相试求其相贯线。贯线。本章结束本章结束2021/3/2685本 章 结 束2021/3/2686返返 回回 单击单击图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观看三维动画 2021/3/2687返返 回回 单击单击图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观看三维动画 2021/3/2688返返 回回 单击单击图形区图形区或或此处此处可观看三维动画可观看三维动画 2021/3/2689基 本 要 求 (1)(1)掌握掌握基本形体三面投影的画法。基本形体三面投影

38、的画法。 (2)(2)掌握掌握平面切割体及其表面交线的投影画法。平面切割体及其表面交线的投影画法。 (3)(3)掌握掌握平面与圆柱体、圆球体的截交线的形状和平面与圆柱体、圆球体的截交线的形状和画法画法( (对于球体对于球体, ,截平面为投影面平行面截平面为投影面平行面）。）。 (4)(4)熟悉熟悉平面与圆锥体的截交线的形状和画法。平面与圆锥体的截交线的形状和画法。 (5)(5)了解常见两回转体轴线垂直相交的相贯线的性了解常见两回转体轴线垂直相交的相贯线的性质和作图方法。质和作图方法。 (6)(6)掌握掌握利用积聚性求作曲面立体相贯线的方法利用积聚性求作曲面立体相贯线的方法（轴线正交轴线正交）。

39、）。 (7)(7)掌握掌握分析和求作曲面立体相贯线的特殊点（特分析和求作曲面立体相贯线的特殊点（特别是转向线上的点）的方法。别是转向线上的点）的方法。 (8)(8)掌握掌握立体表面综合相交的分析方法和作图方法。立体表面综合相交的分析方法和作图方法。 2021/3/2690 (9)(9)熟悉熟悉组合体的概念及其各种组合形式。组合体的概念及其各种组合形式。 (10)(10)学会学会应用形体特征原则来选择正面投影的投应用形体特征原则来选择正面投影的投射方向。射方向。 (11)(11)掌握掌握应用形体分析法绘制组合体投影图的方应用形体分析法绘制组合体投影图的方法和步骤。法和步骤。 (12)(12)明确

40、明确尺寸基准的概念尺寸基准的概念; ;掌握掌握按形体分析法完整、按形体分析法完整、清晰地标注尺寸的方法和步骤。清晰地标注尺寸的方法和步骤。 (13)(13)掌握掌握以形体分析法为主阅读组合体投影图的以形体分析法为主阅读组合体投影图的方法和步骤。方法和步骤。2021/3/26913.2 3.2 平面与立体相交平面与立体相交截交截交截平面截交线截断面图图3.4 3.4 截交的基本概念截交的基本概念截截 交交: :平面与立体相交平面与立体相交, ,截去立体的一部分。截去立体的一部分。截交线截交线: :截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面的交线。2021/3/2692截交线的基本性质截交线的基本性

41、质 (1) (1)截交线既在截平面上截交线既在截平面上, ,又在立体表面上又在立体表面上, ,是截平是截平面与立体表面的面与立体表面的共有线。共有线。 (2)(2)截交线的形状一定是封闭的截交线的形状一定是封闭的平面图形。平面图形。 平面与平面立体表面相交平面与平面立体表面相交,其其截交线是由直线段围截交线是由直线段围成的成的平面多边形。平面多边形。 平面与回转体表面相交，其截交线是由曲线围成，平面与回转体表面相交，其截交线是由曲线围成，或者由曲线与直线围成，或者由直线段围成的或者由曲线与直线围成，或者由直线段围成的封闭的封闭的平面图形平面图形。 2021/3/2693平面与平面立体截交线的求

42、法平面与平面立体截交线的求法: :1.1.求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点线面交点法线面交点法2.2.求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线面面交线法面面交线法 求截交线的步骤求截交线的步骤: : 1.1.空间及投影分析空间及投影分析 (1)(1)截平面与立体的相对位置截平面与立体的相对位置: :确定截交线的确定截交线的形状。形状。 (2)(2)截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置: :确定截交线的确定截交线的投影投影特性。特性。 2.2.画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线分别求出截平面与棱面的交线, ,并连接成并连接成多边形多边形。3.

43、2.13.2.1平面与平面立体相交平面与平面立体相交2021/3/2694 例例3.13.1四棱锥被正垂面四棱锥被正垂面P切割切割, ,求其截交线的投影。求其截交线的投影。3 2 1 (4 )3 2 4 1 3241) 1) 空间分析空间分析12) 2) 投影分析投影分析3) 3) 求截交线求截交线4) 4) 补全棱线的投影补全棱线的投影检查检查: :尤其注意检查尤其注意检查截交线投影的类似性截交线投影的类似性SS S 截平面与体的几个截平面与体的几个棱面相交棱面相交? ?截交线的形状截交线的形状? ?采采用用的的是是哪哪种种解解题题方方法法? ?四边形四边形线面交点法线面交点法2021/3/

44、26951解题步骤解题步骤1)1)分析分析: : 截平截平面为正垂面和面为正垂面和水平面水平面, ,正面投正面投影积聚影积聚; ;2)2)求出点求出点1、2、3、4;Ssa aab (c )bbccPvQv3)3)顺次地连接顺次地连接各点各点, ,作出截交作出截交线线, ,并且判别可并且判别可见性见性; ;S (3 )2 2314324)4)补全轮廓线。补全轮廓线。 4 1 4 例例3.23.2求求P P、Q Q 两平面与三棱锥截交线的投影两平面与三棱锥截交线的投影。2021/3/2696 例例3.33.3补画立体的补画立体的W W 面投影。面投影。图图3.5 3.5 平面与平面立体相交举例之

45、一平面与平面立体相交举例之一解解: : 形体分析形体分析2021/3/2697解解: :（1 1）画出完整三棱柱的）画出完整三棱柱的W W面投影面投影abcabccba（2 2）求作正垂面与三棱柱表面的交线）求作正垂面与三棱柱表面的交线（3 3）求作水平面、侧平面与三棱柱表面的交线）求作水平面、侧平面与三棱柱表面的交线（4 4）判别可见性）判别可见性, ,整理、加深整理、加深, ,完成作图完成作图2021/3/2698图图3.6 3.6 平面与平面立体相交举例之二平面与平面立体相交举例之二 例例3.43.4补画立体的三面投影中所缺线条。补画立体的三面投影中所缺线条。解解: :（1 1）作水平面

46、与立体表面的交线）作水平面与立体表面的交线（2 2）作正垂面与立体表面的交线）作正垂面与立体表面的交线2021/3/2699 例例3.5 3.5 完成俯、左视图完成俯、左视图 实实体体 视视图图课后作业课后作业: : 3-13-12-7 12-7 1、2 2、3 3 2021/3/261003.2.23.2.2平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交1.1.平面与圆柱体相交平面与圆柱体相交 表表3.2 3.2 平面与圆柱相交的三种方式平面与圆柱相交的三种方式2021/3/26101(1)(1)作圆柱的作圆柱的W W面投影面投影图图3.7 3.7 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一 例

47、例3.63.6如图如图a a, ,根据根据V V 面投影和面投影和H H 面投影补出立体的面投影补出立体的W W面投影。面投影。 a a) ) 题图题图 解解: : (2) (2) 作左切块上的投影作左切块上的投影 2021/3/26102图图3.7 3.7 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一(3)(3)作下部通槽的投影作下部通槽的投影 2021/3/26103(4)(4)判别可见性判别可见性, ,整理、加深完成全图整理、加深完成全图 图图3.7 3.7 平面与圆柱体相交举例之一平面与圆柱体相交举例之一2021/3/26104 例例3.73.7补全立体的三面投影。补全立体的三面投

48、影。2021/3/26105图图3.8 3.8 平面与圆柱体相交举例之二平面与圆柱体相交举例之二2021/3/26106表表3.3 3.3 平面与圆锥体相交的各种形式平面与圆锥体相交的各种形式2.2.平面与圆锥体相交平面与圆锥体相交 2021/3/26107图图3.9 3.9 平面与圆锥体相交举例平面与圆锥体相交举例 例例3.83.8补全立体的三面投影。补全立体的三面投影。辅助平面辅助平面纬圆纬圆辅助平面辅助平面2021/3/26108表表3.4 3.4 平面与球体相交的各种形式平面与球体相交的各种形式3.3.平面与球体相交平面与球体相交 2021/3/26109图图3.10 3.10 平面与

49、球体相交举例平面与球体相交举例 例例3.93.9补全立体的三面投影。补全立体的三面投影。2021/3/26110平面与球体相交模型平面与球体相交模型2021/3/26111辅助截面辅助截面辅助截面辅助截面共面共面图图3.11 3.11 组合截切举例组合截切举例 例例3.103.10补出立体的补出立体的H H 面投影。面投影。a a) ) 题图题图b b) ) 求水平截面与立体的交线求水平截面与立体的交线c c) ) 求正垂截面与立体的交线求正垂截面与立体的交线d d) ) 整理、加深整理、加深2021/3/26112 模型模型组合截切举例组合截切举例2021/3/26113例例3.11 3.1

50、1 完成俯、左视图。完成俯、左视图。 实实体体 视视图图2021/3/26114 平面与曲面立体截交线的作图方法及步骤平面与曲面立体截交线的作图方法及步骤: : (1)(1)分析立体的构成方式、结构、形状及空间位置分析立体的构成方式、结构、形状及空间位置( (即立体为何种基本立体即立体为何种基本立体, ,处于何种空间位置处于何种空间位置);); (2)(2)分析截平面的组成及空间位置分析截平面的组成及空间位置( (即由几个怎样即由几个怎样位置的截平面截切立体位置的截平面截切立体);); (3)(3)求截交线上的特殊点求截交线上的特殊点( (即棱线、转向线与截平即棱线、转向线与截平面的交点面的交

51、点);); (4)(4)求截交线上的一般点求截交线上的一般点( (运用辅助素线法或辅助运用辅助素线法或辅助平面法平面法) )； (5)(5)判别可见性判别可见性, ,顺次光滑连接各交点顺次光滑连接各交点, ,即得截交线即得截交线的投影；的投影； (6)(6)整理并完成全图（如由多个截平面截切，则应整理并完成全图（如由多个截平面截切，则应画出截平面与截平面的交线）。画出截平面与截平面的交线）。课后作业课后作业: :3-4 43-4 4、5 5、6 6 2021/3/261153.3 3.3 立体与立体相交立体与立体相交相贯相贯图图3.12 3.12 两曲面立体相贯线的性质两曲面立体相贯线的性质a

52、 a) ) 相贯线为空间曲线相贯线为空间曲线b b) ) 相贯线为平面曲线相贯线为平面曲线c c) ) 相贯线为直线相贯线为直线 相贯线的主要性质相贯线的主要性质 （1) 1) 共有性共有性: :相贯线是两立体表面的共有线。相贯线是两立体表面的共有线。 （2) 2) 分界性分界性: :相贯线是两立体表面的分界线。相贯线是两立体表面的分界线。 （3) 3) 封闭性封闭性: :相贯线一般是封闭的空间曲线相贯线一般是封闭的空间曲线, ,特殊情况下为平面特殊情况下为平面曲线或直线。曲线或直线。 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。2021/3/261163.3.13.3.1圆柱与圆柱相贯圆柱与圆柱相贯表3.5 两圆柱相贯的三种形式2021/3/26117图图3.13 3.13 圆柱与圆柱相贯举例之一圆柱与圆柱相贯举例之一 例例3.123.12补画两圆柱相贯线的投影。补画两圆柱相贯线的投影。a a) ) 求特殊点求特殊点b b) ) 求一般点求一般点12562021/3/26118表表3.6 3.6 两圆柱相对大小的变化对相贯线的影两圆柱相对大小的变化对相贯线的影响响2021/3/26119表表3.7 3.7 两圆柱相对位置的变化对相贯线的影两圆柱相对位置的变化