空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)

1、精选优质文档-倾情为你奉上归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系 基础知识归纳 一、 空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z使得px ay bz c(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z

2、使xyz且xyz1.二、数量积及坐标运算1两个向量的数量积(1)a·b|a|b|cosa，b；(2)aba·b0(a，b为非零向量)；(3)|a|2a2，|a|.2向量的坐标运算a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量差ab(a1b1，a2b2，a3b3)数量积a·ba1b1a2b2a3b3共线aba1b1，a2b2，a3b3(R)垂直aba1b1a2b2a3b30夹角公式cosa，b三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量(2)在空

3、间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的基础题必做1(课本习题改编)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)则下列结论正确的是()Aac，bcBab，acCac，ab D以上都不对解析：选Cc(4，6,2)2a，ac.又a·b0，故ab.2 若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析：选C若c、ab、ab共面， 则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可

4、构成空间向量的一组基底3(教材习题改编)下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有0；若xy，则M、P、A、B共面；若px ay b，则p与a，b共面其中正确的个数为()A0B1C2 D3解析：选D可判断正确4在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：如图，abc.答案：abc5已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；·()0；向量与向量的夹角是60°；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是_解析：设正方体的棱长为1，中()2323，故正确；中，由于AB1A1

5、C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故不正确；中|··|0.故也不正确答案：解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化2直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量(2)平面的法向量可

6、利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为 空间向量的线性运算典题导入例1如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中G为A1BD的重心，设a，b，c，试用a，b，c表示，.自主解答 abc.()()()abc.本例条件不变，设A1C1与B1D1交点为M，试用a，b，c表示.解：如图，()()ab()()abbcacabc解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为

7、OA、BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则x，y，z的值分别为_解析：()×()×x，y，z的值分别为，.答案：， 共线、共面向量定理的应用典题导入例2如右图，已知平行六面体ABCDABCD，E、F、G、H分别是棱AD、DC、CC和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面自主解答取a，b，c，则2ba2a()ba(baca)bc，与b、c共面即E、F、G、H四点共面解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面且同过点Pxy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy 对空间任一点O，x(1x

8、) 对空间任一点O，xy(1xy) 以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明：(1)连接BG，则()，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面(2)因为()，又因为E、H、B、D四点不共线，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH. 利用空间向量证明平行或垂直典题导入例3 已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，边长为2a，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE.自主解答依

9、题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F.(1)易知，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)，(a，a,0)，(0,0，2a)，·0，·0，即AFCD，AFED.又CDEDD，AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l

10、1的方向向量v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2(a2，b2，c2)则l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)l1l2v1v2a1a2b1b2c1c20.(2)设直线l的方向向量为v(a1，b1，c1)，平面的法向量为n(a2，b2，c2)，则lvna1a2b1b2c1c20.lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(3)设平面的法向量n1(a1，b1，c1)，的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2，n1n2.以题试法3 如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的

11、中点(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，)，(1，1，)，又点B(2,2,0)，M(1,1，)，(1，1，)，又OD1与BM不共线，OD1BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，BM平面D1AC.(2)连接OB1.·(1，1，)·(1,1，)0，·(1，1，)·(2,2,0)0，即OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，D1O平面AB1C. 1 若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1

12、,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：选D若l，则a·n0.而A中a·n2，B中a·n156，C中a·n1，只有D选项中a·n330.2已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A.B.C. D.解析：选D由题意得ct a b(2t，t4，3t2)，3.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcCabc D.abc解析：选A()c

13、(ba)abc.4. 如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()A0 B.C. D.解析：选A设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.5 平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、两两的夹角均为60°，且|1，|2，|3，则|等于()A5 B6C4 D8解析：选A设a，b，c，则abc，2a2b2c22a·c2b·c2c·a25，因此|5.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四

14、边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的值有()A0个 B1个C2个 D3个解析：选C建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1.有2个符合题意的点P，即对应有2个.7在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是_2；0；0.解析：0，则、为共面向量，即M、A、B、C四点共面答案：8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱

15、BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_解析：以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，(x1,0,1)，又F(0,0,1y)，B(1,1,1)，(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需·(1,1，y)·(x1,0,1)0xy1.答案：19.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA、DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_解析：设PDa，则A(2,0,0)，B(2,2,0

16、)，P(0,0，a)，E.(0,0，a)，.由cos，a ·，a2.E的坐标为(1,1,1)答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.证明：AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)(1)ABC60°，ABC为正三角形C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得·0，即y，则D，.又，·××0，即AECD.(2)法一：P(0,0,1)，.又

17、·××(1)0，即PDAE.(1,0,0)，·0.PDAB，又ABAEA，PD平面AEB.法二：(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，显然n.n，平面ABE，即PD平面ABE.11已知矩形ABCD中，AB6，BC6，E为AD的中点(图甲)沿BE将ABE折起，使二面角ABEC为直二面角(图乙)，且F为AC的中点(1)求证：FD平面ABE；(2)求证：ACBE.证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.F为AC的中点，M为BC的中点，MFAB.又BM綊DE，四边形BMDE为平行四边形，MDBE

18、.MFMDM，ABBEB，平面DFM平面ABE.又PD平面DFM，FD平面ABE，FD平面ABE.(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.·()·()2·36360.ACBE.在图3中，AGBE，CGBE.又AGGCG，BE平面AGC.又AC平面AGC，ACBE.12 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90°，PD平面ABCD，AD1，AB，BC4.(1)求证：BDPC；(2)设点E在棱PC上，若DE平面PAB，求的值解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DFAB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、

19、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1，0)，D(0,0,0)，C(3，0)(1)设PDa，则P(0,0，a)，(1，0)，(3，a)，·330，BDPC.(2)由题意知，(0，0)，(0,0，a)，(1,0，a)，(3，a)，(3，a)，(0,0，a)(3，a)(3，aa)设n(x，y，z)为平面PAB的法向量，则即令z1，得xa，n(a,0,1)，DE平面PAB，·n0，3aaa0，即a(14)0，a0，.1已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4

20、 B.，4C.，2,4 D4，15解析：选B，·0，即352z0，得z4.又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得2设空间四点O，A，B，P满足t，其中0<t<1，则有()A点P在线段AB上B点P在线段AB的延长线上C点P在线段BA的延长线上D点P不一定在直线AB上解析：选A0<t<1，P点在线段AB上3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2

21、,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量，则n1，n1，即解得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为·n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)由(1)得B1(2,2,2)，(2,0,0)设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，则n2，n2，即解得令z22，则y21，所以n2(0，1,2)因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，则CD的长为_解析：设a，b，c，由已知条件|a|8，|b|4，|c|6，a，b90&