数值计算方法三次样条插值PPT学习教案

1、数值计算方法三次样条插值数值计算方法三次样条插值2,)1,(, 1,)(,.,1 , 0,2010111jxujxuxxxjxuxuxxxfxxxnjyxjjjjjj取若，则外插也选若，即取，若计算机上实现。上的现性插值函数表示用则判断）已知（第1页/共69页)/()()/()(,1111111111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxyxxyyxuyuxux这是因为则线性插值函数为一般的，第2页/共69页则如果做对于输入插值点做按输入算法：jiixumkniyxn1,2,.,j(2)u(1),.,2 , 1. 2),.,1 , 0(,. 1第3

2、页/共69页),()(.),()(),()()(,2)/()(11212101011110nnnjjjjjjxxxxIxxxxIxxxxIxIvuxxyyxuyv分段插值函数输出第4页/共69页)/()(11111111jjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxI其中n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在。足够小才能较好的逼近max11jjjnjxxhh第5页/共69页第6页/共69页2221112122111111131)()()()()(21 ()()(21 ()()()()()()(,jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhxuxuuBhx

3、uxuuBhxuhxuuAhxuhxuuAfxfxyxyxxHxxxHermite令时插值三次第7页/共69页。输出则计算如果做对于输入插值点计算插值）；（输入算法：vufBfBfAfAvBBAAxunjunjffxjjjjjjjj,. 3;,.,2 , 1)2(;) 1 (. 2,.,1 , 0,. 12112112121jjjjfBfByAyAv211211则第8页/共69页222122222110) 1)(2()2)(1() 1)(32() 1)(2(21 ()2)(12()2)(1(21 (112, 2, 11)2(1) 1 (3)2(2) 1 (xxBxxBxxxxAxxxxAhxx

4、Hermiteffff则解：插值多项式。求满足条件的，设例第9页/共69页5983) 1)(2()2)(1() 1)(32(3)2)(12(2)(2322223xxxxxxxxxxxxH所以得第10页/共69页的三次样条函数。对应于划分为区间则称有连续的二阶导数）上在开区间（三次多项式；是不超过上在每个小区间）（满足条件如果函数：上给出一个划分，在区间，上的二次连续可微函数是区间设函数定义,)(,)(,)3()(),.,2 , 1(,)2();,.2 , 1 , 0()()(1)(.,)(1110baxsxsbaxsnjxxnjxfxsxsbxxxxababaxfjjjjnn第11页/共69页

5、1,.,2 , 1)0()0()0()0()0()0() 1()2(,.,1 , 0)()(1.,.2 , 1),()()(,)(1231 njxsxsxsxsxsxsnnjxfxsdcbanjxxxdxcxbxaxsxsxxxsjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj条件：内节点处连续及光滑性）；（）（为：为待定常数，插值条件其中上有表达式在每个子区间设三次样条函数第12页/共69页nnnjjjjmxfxsmxfxsnnnjdcba)()()()(244,.2 , 1.,000已知两端点的一阶导数第一类以下三类：条件称为边界条件，有给出两个个，还缺两个，因此须而插值条件为个未知系数，即对于

6、待定系数第13页/共69页 )0()0()0()0()()(0)()()()(.0000000nnnnnnnxsxsxsxsxsxsMMMxfxsMxfxs第三类：周期边界条件时为自然边界条件当已知两端点二阶导数第二类：第14页/共69页,)(,)(,)(),.2 , 1 , 0()(!1111 iiiiiiiiiiiixxxxxMMxsxxxsxxxsniMxs项式，故有上是一次多在是三次多项式，所以上在。因为令条插值函数用三弯矩阵构造三次样第15页/共69页) 1 ()(6261()()(! 3)(! 2)()()( ! 3)(! 2)()(! 3)()(! 2)()()()(111121

7、121111311232iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijiiiiiiiiixxMMxxyyxsxxMMxxMxxxsyyxxxxxxMMxxMxxxsyxxxsxxxsxxxsxsxsTaylor 解得得令展示有于是由第16页/共69页iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhxxhxxMMxxyyxxMMxxyyxsxxMMxxyyxsxx111111111111111111)(6162()(6261(21)()2()(6162()(,记）即（）连续，所以（因为上讨论得同理在第17页/共69页),(6)(2),(6)

8、2()2)2(61,)2(61,1111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfMhMhhMhxxfxxfhMMhMMhMMxxfhMMxxf也就是（即则上式为第18页/共69页1,.2 , 1,62,62)(111111111111111nixxxfMMMxxxfMhhhMMhhhhhxxxxxxiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii即得得两边同除第19页/共69页,62)(6261()(0) 1 ()()()()(1001001010101000 xxxfMMxxMMxxyyxsixfxsxfxsnn既有得式中令第

9、一类边界条件：第20页/共69页,621,.,2 , 1,62,62,62)2(1111111001011nnnnniiiiiiiinnnnnxxxfMMnixxxfMMMxxxfMMxxxfMMni）（即有得式中令同理第21页/共69页2,.,3 , 2,62,62,62)()(,)()(11221111101210211 00 0 niMxxxfMMxxxfMMMMxxxfMMMxfxsMxfxsnnnnnnnniiiiiiiinnn同理可得第二类边界条件第22页/共69页1,.,3 , 2,62,62,2111111112101211nixxxfMMMxxxfMMMxxxfMMMnnnn

10、nnniiiiiiiin三弯方程周期函数边界条件下的第23页/共69页x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529。并计算函数三次样条)2 . 0(),(64879. 0)60. 0(, 0)0(sxsss第24页/共69页21,214 , 3 , 2 , 115. 01111iiiiiiiiiiihhhhhhixxh第25页/共69页01234215.866670.520.55.142600.520.53.367980.520.51.39740120.26880MMMMM 第26页/共69页08418. 0,43716. 0,13

11、031. 1,77757. 1,04462. 243210MMMMM第27页/共69页323232320.296721.022311,0,0.150.719181.212420.028510.99858,0.15,0.30( )0.770171.258310.042280.99720,0.30,0.450.579271.000590.073701.014610.45,0.60 xxxxxxxs xxxxxxxxx0.200.15,0.30由于 故 33(0.20)0.71918 0.21.21242 0.20.02851 0.2 0.998580.96154s第28页/共69页第29页/共69

12、页( ), ( ) , ,f x g xC a bbaxxgxfxgfd)()()(),()(),(xgxf)(x第30页/共69页,.2 , 1 , 0d)(2, 0)() 1 (ixxxxbabai存在，）（零点；并且最多只能有有限个上，在容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.第31页/共69页是等号成立。切当且仅当性质性质性质性质0, 0),(4);,(),(),(3;),(),(2);,(),(12121fffgfgfgffRgfgffggf第32页/共69页( ), ( ) , ,f x g xCab),(2fff第33页/共69页。性质性质；时有，当且仅当性质

13、22222223;20001gfgfRfffff第34页/共69页( ) , ,(0,1,2)kxC a bknk0011( )( )( )0nnxxx 成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.0( )nkx0( )nkx第35页/共69页0( )nkx00010101110101( ,) ( , )( ,)( ,) ( , )( ,)( , , ,)0( ,) ( , )( ,)nnnnnnnG 第36页/共69页( )(0,1,2, )kkxxkn0( )nkx01(,)0nG第37页/共69页( ) , f xC a b( ) , (0,1,2, )kxC a b kn01

14、,nSpan *0( )( )nkkksxx 22*2220infinf( ) ( )( )(4.5.5)nbkkasskfsfsxf xxdx 第38页/共69页*( )sx*0()()nkkksxx *01,n 02( ) ( )( )( )0(0,1,2, )nbkkjakxf xxx dxjn 第39页/共69页*( )( )f xsx2*22*20(,)(,)(,)( ,)(,)( ,)nkkkfsfsfsffs sf fsfff第40页/共69页( )(0,1,2, ),( )1, , 0,1kkxxknxa b001111121111(4.5.10)3221111221nnnnn

15、nn10( )(0,1,2, )kjx f x dxkn第41页/共69页( ),0,1,xf xex01( )s xx11000(,)1xfe dxe 11110(,)1xfxe dx 第42页/共69页11e10312121101*4100.873127313,6(3)1.69030903( )0.873127313 1.69030903ees xx第43页/共69页06277. 00039402234. 0)3(6) 1)(104(210211002222所以eeedxefx第44页/共69页第45页/共69页),.2 , 1 , 0(),(miyxii)(.)()()(*1*10*0*

16、xxxxsnn第46页/共69页0( )nkx0011( )( )( )( )(4.5.11)nns xxxx 记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即( )(0,1,2 , )iiis xyim01,n i第47页/共69页220120(,)()mniiiIx( ) 0 x达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有002()()()()0(0,1,2, )mnikkiijiikjIxxf xxjn 第48页/共69页0(,)(0,1,2, )njkkjkjn0000010111011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(

17、4.5.14)(,)(,)(,)nnnnnnnn 01,n第49页/共69页0(,)()()()mjkijikiixxx),.2 , 1 , 0()()()(),(0njxxfxfijmiiijj由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式 01,n01(,)0,nG 第50页/共69页*01,n*0011( )( )( )( ),nnsxxxx TmkkkkTmnkkknkkkxxxyyyffff)(),.,(),(,),.,(),(10100*220*2222这里第51页/共69页miniimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiimikkxyx

18、yyxxxxxxxxnkxxx0001002010010200001),.,2 , 1 , 0()(1)(最小二乘的法方程为时，当第52页/共69页01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718iixiy第53页/共69页08612. 5433. 6479.105664. 18 . 12 . 28 . 12 . 232 . 2362100121.006321428,0.862589295,0.84241070421.0063214280.8625892950.842410704yxx第54页/共69页01755.01007893.3242211002222所以f第55页/共69页7oC第56页/共69页年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.041970