图像处理(第5章)

1、第五章第五章 滤波和滤波器设计滤波和滤波器设计 本章要点： 线性系统理论 经典数字滤波方法 魏纳滤波器及其设计方法 MATLAB线性滤波器设计5.1 线性系统理论线性系统理论 5.1.1 线性系统理论 系统是指任何一个接收输入并产生相应输出的实体。输入和输出可以是一维、二维和更高维数的。 可以证明，线性函数表达式：dxtfty)(),()( 就足够说明任何线性系统的输入与输出之间的关系。5.1.2 一维卷积一维卷积 参见线性系统相关内容 P82 卷积定义：dxtgty)()()( 上式表明，线性移不变系统的输出可以通过输入信号与一个表征系统特性的函数卷积得到，这个表征函数叫做系统的冲激响应。

2、卷积离散形式为jjigjfigifih)()()(*)()( 其中，I=0，1，m；j=0，1，n。 矩阵形式如下：)(.)2()1()1(.)1()(.)3(.)1()2()2(.)()1(NfffgNgNgggggNggfGh5.1.3 二维卷积二维卷积 二维卷积的表达式如下： dudvvyuxgvufgfyxh),(),(),( 二维卷积的离散形式如下：1010),(),(),(MmNnnjmiGnmFjiH 卷积常用来实现对信号或图像进行线性运算（具体见第七章），在图像滤波、去卷积、去噪音和增强等方面用处较大。5.1.4 卷积定理和相关性定理卷积定理和相关性定理 卷积定理是线性系统分析

3、中最常用、最重要的定理之一，该定理指出了傅立叶变换的一个重要性质：时域中的卷积相当于频域中的相乘，即：)()()()(sgsFtgtfF)()()()(1tgtfsGsFF 相关性定理也是线性系统理论中比较重要的一个定理，该定理描述了函数自变量尺度变换对其傅立叶变换的影响： 减小自变量的尺度将会展宽函数的傅立叶变换频谱，而增大自变量的尺度则会压缩函数的傅立叶变换频谱。即：)(1)(asFaatfF5.1.5 滤波与滤波器设计滤波与滤波器设计 滤波是信号处理的一种最基本而又极为重要的技术，利用滤波技术可以从复杂的信号中提取出所需要的信号，抑制不需要的信号。 滤波器就是一种选频器件或结构，它对某一

4、频率的信号给予很小的衰减，使这部分信号能顺利通过，而对其他不需要的频率信号则进行大幅度衰减，尽可能阻止这些信号通过。 在图像处理中，滤波常常用来修改或增强图像，以提高图像的信息量。数字滤波器数字滤波器 若滤波器的输入、输出都是离散时间信号，那么该滤波器的冲激响应也必然是离散的，这样的滤波器称为数字滤波器。 按照滤波器的时域特性可以将数字滤波器分为无限冲激响应滤波器（IIR滤波器）和有限冲激响应滤波器（FIR滤波器）两种。 MATLAB所有滤波器设计函数都将返回一个FIR滤波器。 FIR滤波器是一个对单点或脉冲具有有限响应范围的滤波器，由于它具有描述方便（可以用系数矩阵表示）、可以有效防止图像失

5、真（相位呈线性）、设计可靠、容易实现、效果稳定等特征，所以成为MATLAB环境下最理想的滤波工具。数字滤波器数字滤波器 数字滤波器可分为两大类：经典滤波器和现代滤波器。 经典滤波器是假定输入信号中的有用频率成分和希望去除的频率成分各占有不同的频带。 经典滤波器又可以分为四种，即低通（LP）滤波器、高通（HP）滤波器、带通（BP）滤波器和带阻（BS）滤波器。 LP使截止频率以下的所以信号通过，截止频率以上的信号则给予很大的衰减，阻止其通过； HP使截止频率以上的信号通过，阻止截止频率以下的信号通过； BP使某一频带内的信号通过，而对于这个频带范围以外的信号则给予很大的衰减； BS抑制某一频带内的

6、信号，同时让这一频带以外的其他信号通过。 BP与BS中有两个截止频率，分别称为上截止频率和下截止频率。 如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么就需要使用现代滤波器。 现代滤波器主要研究如何从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。 通常估计信号的信噪比将会高于原始信号。 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如，自相关函数、功率谱等）导出一套最佳的估算法，然后予以实现。 魏纳（Wiener）滤波是一种最基本而常用的现代滤波方法，这种滤波器以最小均方误差作为最优标准，通过分析输入随机信号和噪声的自相关性，利用傅立叶变换得到原始信号的最优估计。5.2 经

7、典数字滤波方法经典数字滤波方法 5.2.1 LP滤波器 通常信号或图像的大部分能量都集中在其频谱的中、低频段，而在高频部分，图像中有用的信息常被噪声淹没，因此，可以用一个降低高频成分的滤波器来达到一种图像平滑效果。 最简单的LP滤波器有三种：矩形滤波器、三角形滤波器、高频截止滤波器。5.2.2 带通和带阻滤波器带通和带阻滤波器 理想带通滤波器： 一对矩形脉冲的冲激响应曲线 （参见MATLAB与科学计算） 1.矩形函数的傅立叶变换曲线 2.三角形函数的傅立叶变换曲线 3.一对矩形的傅立叶变换曲线 4.高斯函数的傅立叶变换曲线 5.各种函数的傅立叶变换曲线5.2.3 高通滤波器高通滤波器 高通滤波

8、器也称为高频增强滤波器，其传递函数在0频率处取值为单位1，随着频率的增长，传递函数的数值逐渐增加，当频率增加到一定数值后传递函数又取0值或降低某个大于1的增益。如果传递函数通过原点，那么称该滤波器为拉普拉斯滤波器。5.3 魏纳滤波器及其设计方法魏纳滤波器及其设计方法 5.3.1 随机变量 5.3.2魏纳滤波原理 5.3.3 魏纳滤波器设计方法 （参见线性系统相关内容）5.3.4 图像的魏纳滤波方法图像的魏纳滤波方法 对图像进行魏纳滤波主要是为了消除图像中存在的噪声。 可以利用MATLAB的winener2函数对一幅图像进行自适应魏纳滤波。 调用格式： J=winener2（I，M N，NOIS

9、E） 其中，I表示输入图像，M N表示卷积使用的邻域大小，缺省值为3 3，NOISE是噪声强度，如果不指定此参数，那么wiener2函数将返回一个估计的噪声强度。5.4 MATLAB线性滤波器设计线性滤波器设计 5.4.1 MATLAB线性滤波器设计 主要设计方法有三种： 频率变换方式 频率采样方式（根据所需频率响应创建滤波器） 窗口方式（将理想脉冲响应乘以窗口函数从而生成所需滤波器）5.4.2 频率变换方式频率变换方式 频率变换设计方法首先设计一个性能较好的一维FIR滤波器，然后将其变换为二维FIR滤波器。 函数ftrans2可以实现频率变换滤波器的设计。 调用格式： H=ftrans2（B

10、，T） 其中，B是一维FIR滤波器，T是将一维FIR滤波器变换为二维FIR滤波器H的频率变换矩阵，缺省值为1 2 1；2 4 2；1 2 1/8 利用函数ftrans2可以使用所有信号处理和滤波器设计工具箱中设计函数进行各种二维图像滤波器的设计。 例如：先调用函数butter进行一维LP、HP、BP、BS等的BUTTERWORTH滤波器的设计然后将其变换为二维的。 利用Help BUTTER在MATLAB命令窗口可得到相关信息。5.4.3 频率采样方法频率采样方法 频率采样方法是一种根据所需频率响应创建滤波器的方法。给出一个指定频率响应幅值的点阵，频率采样方法将创建一个相应的滤波器，该滤波器的

11、频率响应将经过所有给定点。频率采样对于给定点之间的频率响应行为不做任何限制，因而给定点之间的频率响应通常都是振动的。 MATLAB图像处理工具箱函数fsamp可以实现二维FIR滤波器的频率采样设计。 Fsamp2调用格式； H=fsamp2（F1，F2，HD，M N） 其中，返回的M*N维滤波器H的频率响应将与频率响应HD中每一个由F1和F2指定的点相匹配。参数F1、F2和M N都是可选参数，缺省情况下H将与HD具有相同的大小，其频率响应将匹配HD中的每一个点。 也可以使用freqspace函数创建一个符合要求的频率响应幅值矩阵，该函数对任意大小的响应都能返回均匀间隔的频率值。例P98 将所需

12、的频率响应离散化后调用函数fsamp2就可以实现任意所需的滤波器。 NOTE：当所需频率响应中存在尖锐跃迁的时候，真实的频率响应就会出现振动现象。5.4.4 窗口方法窗口方法 窗口方法是将理想的脉冲响应与窗口函数相乘来获得滤波器的方法。 和频率采样方法类似，窗口方法将产生一个频率响应近似于所需频率响应的滤波器，但是窗口方法得到的结果比频率采样方法要好。 MATLAB图像处理工具箱提供两个函数实现基于窗口的滤波设计： fwind1和fwind2。 fwind1函数根据由输入参数指定的一维窗口创建一个二维窗口，然后进行二维滤波器设计，fwind2函数则直接使用指定的二维窗口函数设计二维滤波器。 fwind1函数函数支持两种不同的二维窗口创建方法：一种方法是对一个单独的一维窗口进行变换，使用类似旋转的方法创建一个近似中心对称的二维窗口，其调用格式： H=fwind1（HD，WIN） 其中，HD是所需的频率响应，WIN是指定的一维窗口函数，如，oxcar、hamming、hanning、kaiser等。 Fwind1函数另一种创建二维窗口的方法是计算两个一维窗口的乘机，从而生成一个二维矩形可分窗口。 调用格式：H=f