由一道解析几何高考题引发的几点思考.docx

1、由一道解析几何高考题引发的几点思考谢承缺。徐正2东省珠海市第三中学S1900D；2J”东省珠海市教研中心51900D）摘要圆锥曲线的定值问题L向是高考的热门问题，一般以开放型或证明题出现，主要考查学生圆锥曲线的基本知识、基本运算能力、字母运算能力及探充探索能力这类问题往往有一定的难度所以教师在日常教学应当注重引导学生思考不只是就题论题还要依题论道就题论法多角度发散性的思考从而使学生数学素养得以提升.关键词杷考核心素养皿）年高考收稿日期aim1-11作者简介醐承斌大学本利，学士学位，中学高级教师_圆锥曲线的定值问题，-向是高考的热门问题，如直线过定点、斜率之积之和为定值还有长度、面积一定等等H般

2、以开放型或证明题出现,主要考查学生圆锥曲线的基本知识、基本运算能力、字母运算能力及探究探索能力这类问题往往有一定的难度所以教师在口常教学应当注重引导学生思考不只是就题论题还要依题论道就题论法，多角度发散性的思考从而使学生数学素养得以提升正如新课标立）17年版）所强调的：对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题.对于较复杂的数学问题能够通过构建过渡性命题，探索论证的途径解决问题并会用严谨的数学语言表达论证过程1NBD年高考题呈现题目1年全国I卷文21.题，理多题）已知A，B分别为椭圆E+y=l61）的左、右顶点G为E的上顶点，忌圣=8,P为直线x=6上的动点，PA与E的另

3、一交点为C,FB与E的另一交点为D.（I）求E的方程：II正明：直线CD过定点.解析（I注/=1解法略）.解法1（II）设P&t）,又AG,（）,则直线APy=+3）,由g重V=gR+3）,xo-9得9+&X+3=1整理得fr好-si=o,由韦达定理得x+xetrAc_.7tr-no，则x=217-27c-+3=，ir-bO将Xc代入直线方程v=E&+3）得所以点C同理可设直线BPy=-k-3,与椭圆方程客叶=i联立可得x+x=3+x_rnnotr+1xD33ar3-黄即DC,工)，所以kco=.，直线V+lt+19-2tCD方程为y+y-tr-4-l0-3717-+-1._a_=XXl12.

4、又C，D两点均在椭圆E上，所以9X7X；?乂由)式有或=y气+3一)35.代入式，可得15交+x)IZ即直线8过定点寻0)务，_茶霍x一坦=电即直线8恒过点夸Q)x=解法2设Ci，yQ，D、)，由题设可得综上所述，直线8恒过定点尊Q).直线AP方程为广当33)，直线BP方程.为：因直线AP与直线BP交于点PMP在直线x=6上，则由方程组尸岩2X=5，可得茅鬲Xo3m线CD垂直于x轴f有=一*此时直线8过定点芦Q)_当直线烫快直于x轴时直线CD方程为y-yyQx).Xox(猜想直线8也过点？Q)，下面给出证明.当v=()时，必有x-在直线CD方程中令v-O得yyz、-ViX-X1)-XXi结合Q

5、)式可得2关于定点的思考如果改变题设中的部分条件，定点会不会存在？如果存在，定点会有什么样的变化？定点与长轴长、短轴长、焦距及定直线有何关联？基于以上几点，笔者有以下几点思考与探索.思考1如果改变椭圆长轴长轴长不变)，定点有何变化？椭圆方程为E么1)，a点尸在定直线X=%61)上运动,PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D,直线8是否过定点？参考题目1中解法可得直线PA方程为y=V，a),直线P8方程为y=Za),i2Si联立x=虽,可得Xix-a当8垂直于x抽时，直线8过定点昌Q).2当直线CD不垂直于X轴时，可得&X：耳1的左、右顶点，动点P在定直线1）上运动,PA与E的另一交点为

6、C，PB与E的另一交点为D，直线8恒过定点显Q）_同理，当直线:,恒过定点Ix=-Z时直线CD2思考2如果同时改变椭圆怆轴与短轴线淀点有何变化？当椭圆方程为Escbrdl寸即氏半轴长为a短半轴长不一定是l%b）时，动点P在直线X=Z上运动，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，此时直线CD是否也过定点？首先考虑胃殊情况挡CD垂直于x轴时，可知且线码蕊靠直于x轴时，同样在直线y（）CD方程vx-xt中令V=O可得以x（）=-X（-5又飞匚*x,-naXoaV1=ty-溪），2g七一a（fy=b1oSL可得,、人、4kx=b.xi+-G）角）G）巨Q）联立可得xc卸直线CD过定c-结论2

7、己知AQ分别为桶圆$+、厂=1scbr幺to）的左、右顶点，动喜P在定直线x=z上运动直线CD恒过定点2O_同理，当直线X=虫时，直线CD恒过定点（rQ）_不难发现,椭圆的短轴长与直线I过定点无关.思考3如果椭圆方程仍然为一般方程，而直线方程变化，直线CD是曾气舟？（己知AB分别为椭圆ETabatO）的左、右顶点，点P在直线x=maO）Gi为常数）上运动,FA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D那么直线CD是否也过某个定点？设C父y）,D父y），由题设可得直线AP1122方程为v=x、e&+a）,直线BP方程为v=以一-a）,因直线AP与直线BP交于点P,且XCO上则由方程组y=xax=

8、ma，可得IT=布一眼0）当直线段垂而有Xl=x2y.:一y，由0）解得X=X=全，此时宜线8过定点212m当直线CD不垂直于*轴时，直线CD方程为y_yyy=x-X!Xi此时可令y=O,考查x=是否恒成立.m令v=o,得联立（7）式可得2_,寮2W将变形为6n-ly7_6ily过某个定点.联立上式化筒可得Nnxx=a6i”十1)i+x)Mm-&)联立&如可a*夫ix)攻a&珠a&正苗十成2而1X蓦XSim可知，直线CD恒过定点目Q）_m结论3已知A，B分别为椭圆巳+、厂=1ertr6bO）的左、右顶点，点P在直线x=ma&iO）上运动,PA与E的另一交点为C，FB与E的另一交点为D，那么直线

9、8恒过定点昌Q）Gi为m常数）同理，当直线x=-ra时，直线8恒过定点Q）.m特别地，当m=l时，直线的方程为x=a,这时直线I与椭圆E相切,有一个公共点，直线CD过定点幺Q）_思考4在结论3中，当椭圆变成圆时，即a=b时，定点有何变化？经过论证，有结论4.结论4已知A旧分别为圆与x轴的左、右交点，动点F*在定直线x=ma&iO上运动,PA与E的另一交点为C，FB与E的另一交点为D，宜线8过定点目Q）Gi为常数）.m思考5在结论3中将椭圆左、右顶点改为上、下顶点其它条件不变直线8是否还过某个定点呢？这里可利用几何画板容易得知直线CD并不过某个定点L般情况也容易证明读者不妨一试.思考6在结论3中

10、，将椭圆左、右顶点改为左、右焦点，其他条件不变段椭圆E每心STkxO）的左、右焦点分别是F!，F2，P为直线XOn为常数）上的动点,PF|与E的另一交点为C,PF.与E的另一交点为D么直线8是否也过某个定点？利用几何画板，作动态图何以跟踪轨迹），如图2、图3所示，当点P在I上运动时，易知直线CD不思考7如果将椭圆改变为双曲线，即双曲线ek_y=io）,bo）的左、右顶点分别为A，B，P为直线x=maO）上的动点，PA与E的另一交点为C，FB与E的另一交点为DJJK么直线CD是否也过一个定点？重复思考3的解析过程可以得出直线CD过定点目Q）.特殊情况是当PA或田与其中一条m渐近线平行时直线CD不

11、存在也就无所谓定点如图4、图5所示，当P点在直线X=5上运动时，直线8与横轴的交点坐标Xr=O7B始终不变.图4图5结论5己知A旧分别为双曲线E?-2=af1（）bO）的左、右顶点点P在直线x=ma61O）上运动,PA与E的另一交点为C，FB与E的另一交点为D,那么直线8恒过定点目Q）Gim为常数）.同理，当直线x=g时，直线8恒过定思考8在结论3中，只改变直线I的方程，其他条件不变，足否有类似的结论？已知A旧分别为椭圆E-=1bo）的左、右顶点，点P在aj7b7直线y=ma61O）上运动,PA与E的另一交点为CFB与E的另一交点为D，那么直线8是否恒过定点呢？这里可由几何画板作动态分析，如图

12、6、图7所示，当点P在直线y=5上运动时，直线CD与坐标轴的交点都不是定值直线CD方程处于变化中，即不过定点_图7思考9前面8点思考变换中，点P都是在某一条定直线上运动，如果点P不是在定直线上运动，而是平面直角坐标系中除原点外的任意一点，情形又如何呢？醴*考成瞑B魏骚备麋竺：=lOtoO）的左、右顶点，过点P的直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D，那么直线8恒过点目，O），当m为非零m常数时，&Q）为定点.m结论7己知A，B分别为椭圆Esctr*（）的左、右顶点，过点P如;t）的直线PA与E的另一交点为C，直线R与E的另一交点为D，那么直线8恒过点目,O）,当m为非零常数m时

13、，目Q）为定点.m结论8在平面直角坐标系中己知抛物线E：y自0）的顶点为。，过。任意作一直线交E于点Cy,另外一点D&工，”）在6上，过D作一条平行于x轴的直线交直线OC于P点,设则直线8过点GsQ）_下面给出结论3的证明:解析由题意可得xTs,yT，直线CD方程为St/、y-=t=xx）_XiXz当8垂直于X轴，即时,y】=t，有SXi即直线8过点（SQ）当CD不垂直于x轴时,在直线CD方程中令y=O,则X,X）芝x=十Xn=+XnSX|七*A寸一yXjS*即直线8过点当s为定值时，直线8过定点GsQ）_题目2正是这结论的体现.题目2S年全国高考旧课程卷19题）设抛物线5=中0）的焦点为F,

14、经过F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，且BC介轴，证明直线AD必过原点。_以上9点思考，从不同角度来理解猝D年这道关于圆锥曲线中的定值问题试图变换定点、变换定直线,变换曲线类型从这些变换中找到一般性的结论,有的成功了有的不成功，但.我们从中更加深刻理解解析几何的本质,更加深刻休会到在寻找中的乐趣,从高考题看本质为今后的学习提供了很好的参考.3关于解题方法的思考解题方法的多样性是拓展思维的一个很好的途径对于高考解析几何试题而言其解法一定是多样的但讲究通性通法是最根本的，当然也要注重多入口、多思路这样既能考查基础知识，也能考查基榔僦幽g曲啪排霸醐虹因为就计算的通性通法而言，数学计算的规

15、律是相当明显的，特别是可以供计算机使用的那些方法”七注意到题目1解法1思路简单用直线方程与曲线方程联立，分别求出C，D两点的坐标佥参数燃后由两点式求出直线CD方程，变形后得到直线过定点字母运算较多运算能力差或者头脑不清晰的学生,难以掌控解法2则利用两条动直线PA与PB交于定直线，而点P的横坐标一定，找到C，D两点坐标间的关系式，首先考虑特殊情况，找到定点然后猜想出一般情况再给出证明，其中充分运用设而不求、密体代换的思想,使得运算变得简便易行，不易出错.无独有偶，题目1与NDQ年江苏高考第13题，都是考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，并旦考查运算求解能力和探究问题的能力特别第

16、3问的问题与解法与题目1第2问的问题与解法十分类似.题目3）1（）年高考江苏卷第题）在平面直角坐标系xOy中，如图3已知顺网3,NL*），其中mOy.O,火=求点P的轨迹；。=2,=,；设KX，3求点丁的坐标3设求证：直线MN必过x轴上的一定点英坐标与m无关）_解析点P的轨迹为直线x=_2点丁的坐标为0,里）.点丁的坐标为Gm）_直线MTA方程为VOx+39mO9+3即V=R+3）直线NTB方程为yQx3m-O9-3即=也么一3）_6xV分别与椭乳+匚=1联立方程组，I司时考虑954m、到x=-3x3解得M布i&r帚，衫e”一N）am）方法1当XiHXz时，直线MN方程为点，并求出此定点坐标_

17、一-m令y=O,解得x=l,此时必过点D).当Xi=Xo时，直线MN方程为X=1，与X轴交点为DQQ)_所以直线MN必过x轴上的一定点DQ).方法2若XiD则由20-311_破一OD如E%挝*修用方#Q，此时直线MN的方程为若X炎-3n，_D-m，直线ND的斜率23imN_IQn:孙一OO-m-1得Xmd=Rnd，所以直线MN过D点.因此，直线MN必过x轴上的点DQ).此题正好也验证了结论3或结论7.题目4设A，B分别是直线y=rx和、=2孕fLx上的两个动点，并且|AB|=G,动点P满足fX=51CP=CACB_。求动点F的轨迹方程；S记动点P的轨迹为E，己知点Q是直线X=4上异于点40的任

18、意一点点A,A2是曲线E与x轴的两个交点，直线与曲线E的另一个交点分别为RS衣证：直线FS与x轴交于定引起学生的注意如果大家在教学中注意到这个问题或者说对题目3有所反思，那么题目1就会容易解答，二者儿乎是同一道题.只有在教学中不断反思才能做到举一反三才能使数学核心素养得到提高.4对于教学的思考数学是思维的艺术，突出理性思维在新的课程标准白317年版)中，强调六核心”和四基”四能”，其中逻辑推理是核繁琐心素奔之一，包括两类:-是从特殊到-般的推理，主要是归纳、类比；一是从一般到特殊的推理在数学教学中，要善于引导学生去思考从小处着眼，无论例题还是习题笔者在讲解高中数学疑修5G教A版)第31页粮坐标与参数方程”习题2时，曾引导学生多方面思考，并提炼成文，起到很好的教学效果山，所以不要怕怨多了”，对于数学问题，如果真想多了”，