专题15不等式选讲(解析版)

1、金信公北号:等m慧鬲事驰学1 .【2019年高考全国I卷理数】(ab)3(1)(1)专题15已知 a, b, c为正数,(b c)3 (ca)3 24 .见解析;因为a2ab bc(2)b2ca见解析.2ab,b2ab bcabcca2bc, c2不等式选讲且满足abc=1.证明:2a 2ac ,又 abc 1,故有1.c5(2)因为a, b, c为正数且abc 1,故有(a b)3 (b c)3 (c a)3 33 (a b)3(b c)3(a c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3 (2 . ab) (2 . bc) (20c)=24.所以(a b)3 (b c)3 (c a)3 24

2、.【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.2.【2019年高考全国n卷理数】已知 f(x) |x a| x |x 2 |(x a).(1)当a 1时，求不等式f (x) 0的解集；(2)若x (,1)时，f(x) 0,求a的取值范围.【答案】(1) (,1)； (2)1,)【解析】(1)当 a=1 时，f(x)=|x 1| x+|x 2|(x 1).2当 x 1 时，f(x) 2(x 1)0；当 x 1 时，f (x) 0.所以，不等式f (x) 0的解集为(，1).(2)因为 f(a

3、)=0，所以 a 1 .当 a 1, x (,1)时，f (x)=(a x) x+(2 x)(x a)=2(a x)(x 1)2 .1 ,、【答案】x|x或x 1.3一，一八，八八一1【解析】当x0时，原不等式可化为x 1 2x 2,解得x2,即x-时，原不等式可化为x+2x-12,解得x1.2.一 1 ,、综上，原不等式的解集为 x|x-或x 1.3【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.5 .【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数f(x) x 3 3x 3, g(x) 4x a 4x 2 .(1)解不等式f (x) 10；(2)若对于任

4、意为 R ,都存在x2R,使得f(X) g(x2)成立，试求实数a的取值范围.【答案】(1) x 4或x1； (2)4 a 0【解析】(1)不等式等价于x 31 x 3 x 3或或4x 6 102x 106 4x 10(2)对任意x1R ,都存在x2 R，使得f (x1)=g(x2)成立，即g(x)的值域包含f(x)的值域.4x 6,x 3f(x) x 3 3x 32x,1 x6 4,x1时，f (x)min2 ,所以f (x)的值域为2,).g(x) 4x a4x 2(4x a)(4x 2) a 2 ,当且仅当4x a与4x 2异号时取等号所以g(x)的值域为a 2,),由题2,) a 2,

5、)，所以a 2 2,解得4 a 0.【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题.6 .【山东省郛城一中等学校 2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数f (x) ax 2 ,不等式f (x) 4的解集为x| 2 x 6(1)求实数a的值;金信公北号:等m慧鬲事驰学2成立，求实数t的取值范围(2)设 g(x) f (x) f(x 3),若存在 x R ,使 g(x) tx1【答案】(1) 1; (2) t (, 1U,).2【解析】(1)由 ax 2 4得4Wax 2即2waxw6,、“26当a0时，一x 一,所以 aa62当a0时，一x 一,所以 aa所以

6、实数a的值为1.(2)由已知 g(x) f(x) f (x2a 6a6a2a3) = |x+ 1|+ |x-2| =2x 1 x3 1 x2x 1 x不等式g (x) txW2转化成g (x) &x + 2,由题意知函数g(x)的图象与直线y = tx + 2相交，作出对应图象,由图得，当t0时，t法BM,1又因为 kAM = - 1 , Kbm,2所以tw 1或t 12即 t C (一 00, - 1 U , 十 ).2【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题.7.【安徽省合肥市 2019届高三第一次教

7、学质量检测数学】设函数(1)若f(x)+2x2,求实数x的取值范围；f(x) |x 1| .1.(2)设 g(x) =f( x)+f( ax) ( a1),若 g(x)的最小值为一，求 a 的值.【答案】(1)1,3【解析】(1) f xx 1 0或x 12 2x实数x的取值范围是;(2) a 2.2x 2,即 x 1 2 2x 1 01x -x 1 2 2x 31一 , .3易知函数g x在a1, g x 1 a aa 11 、一，1,1单调递减，在 1 aa1 x 2, x , 1x, x1,-ax 2, x 一, a,单调递增，. 一_1 gx min g一a【点睛】本道题考查了含绝对值

8、不等式的解法,考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式,难度中等.8.【河南省中原名校(即豫南九校)2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数f( x) 2x a , g( x) x 1 .(1)若f(x) 2g(x)的最小值为1,求实数a的值;, ，1一 ，一一(2)若关于x的不等式f(x) g(x) 1的解集包含 1,1 ,求实数a的取值范围.23【答案】(1) a 8或4. (2) i,_2【解析】(1)当b 1时，3fx 2aaa1x 5| |x 1|x 2 x 11 12 小1因为1fx2g x的最小值为3,所以巴13,解得a2(2)当 b1 时，f xg x 1 即 2

9、x a x 1 1,1 一,1 时，2x a22x a 1 x 12x a x,即旦 x a,3因为不等式f x g x 1的解集包含 1,1 ，所以a 1且a 1 , 2323 3即1 a ,故实数a的取值范围是 1, 22【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力.9.【河南省顶级名校 2019届高三质量测评数学】已知函数f x x 1 2x 1(1)解不等式f x x 2；(2)若 g x 3x 2m 3x 1 ,对 x1 R, x2g x2成立，求实数m的取值范围.1 5【答案】(1) x|0 x 1 ； (2)1,4 4一一一 x 1,【解析】(1)不等式等

10、价于x 1 或3x x 2112或x 2x 2 3x x一 .11斛付x 或0 x 或一x 1 , 22所以不等式f(x) x 2的解集为x|0 x 1203x, x 1(2)由 f(x) x 2,1 ,x 知，当21,时，f(x)min21 f(2)3x, xg(x)3x2 m) (3x1)2m 1当且仅当(3x2m)(3x1)0时取等号,m的取值范围是所以2m 1【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力.10.【吉林省吉大附中 2018届高三第四次模拟考试数学(理)试卷】已知函数f(x) x a .(1)当a 2时，解不等式f(x) 16 2x1； 若关于x

11、的不等式f (x) 1的解集为0,2,求证：f(x) f (x 2) 2.17【答案】()x|x 或x 5 (2)见解析 3【解析】(1)当a2时，不等式为x 2 2x 1 16,当x2时，原不等式可化为x 2 2x 1 16,解得x ,31 .当2 x 时，原等式可化为 x 2 2x 1 16,解得x 13,不满足，舍去; 2.1当x 一时，原不等式可化为 x 2 2x 1 16,解得x 5；2不等式的解集为x|x5x5.3f (x) 1即x a 1,解得a 1 x而f (x) 1解集是0,2 ,所以解得a 1 ,从而f (x) x 1 .于是只需证明f (x) f(x 2) 2,因为 xl

12、xllx x11xx12所以x 1 x 12 ,证毕.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行 分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题.11.【河北衡水金卷 2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数 f(x) x 2 x a .(1)当a 1时，求不等式f(x)2的解集；(2)当 x, y R 时，2 f(y) f (x) 2 f (y),求 a 的取值范围.3【答案】(1) x|x - ; (2)3, 13, x当a=1时,f(x)1 2x,3, x可得f x2的解集为x|x(2)当 x, y R 时，2 f(y)f(x)2f(y)|

13、f(x) f(y) 2 f(x)由歆f(x)由,2,因为 | x 2 x a|x 2 x a a 2 ,所以a 2 a22.所以a 2 1,所以3 a 1 .所以a的取值范围是-3, T.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何 意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式 恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.12 .【河北省衡水中学 2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数f(x) x 2 .(1)求不等式f(x) x x 1的解集； 若函数f(x) log2 f

14、 x 3f(x) 2a的定义域为R ,求实数a的取值范围.【答案】(1)1,3(2)【解析】(1)由已知不等式fx x x1,得x2 x x1,当x 2时，绝对值不等式可化为 x 2 x x 1,解得x 3,所以x 2；11当1 x 2时，绝对值不等式可化为 2 x x x 1,解得x，所以x 2 ;33当x1时，由2 x x x 1得x 3,此时无解.1综上可得所求不等式的解集为1,3(2)要使函数y log 2 f x 3 f x 2a的定义域为R,只需g x f x 3f x 2a的最小值大于0即可.又gx x 1 x 2 2a x 1 x 2 2a 3 2a,当且仅当x1,2时取等号.

15、所以只需3 2a 0 ,即a 3. 2所以实数a的取值范围是，二2【点睛】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用 零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；f(x) 2x 1 x 1 .通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.13 .【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数(1)解不等式f(x) 3；(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c均为正实数，且a 2b 3c 2m,求a2 b2 c2的最小值.9【答案】(1) x x1或x 1 - (2) 一 .143x,x 1，1【解析】(1)由题意，f

16、(x) 2 x, 1 x 23x,x 1111 x -x -2或22x33x 32x 1所以f(x) 3等价于或3x 3解得x 1或x 1,所以不等式的解集为xx 1或x 1; 1 一 . .3(2)由(1)可知，当x 时，f(x)取得最小值一，223所以 m 一,即 a 2b 3c 3, 2由柯西不等式得(a2 b2 c2)(12 22 32) (a 2b 3c)2 9,整理得a2 b2 c2 ,14当且仅当 &时，即a 旦,b ,c2时等号成立.123141414所以a2 b2 c2的最小值为.14【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不a

17、0, b 0, c 0设函数等式即可，属于常考题型.14 .【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知f (x)x b x c a, x R .(1)若a b c 1,求不等式f(x) 5的解集；(2)若函数f(x)的最小值为1,证明：9 18(a b c) a b b c c a【答案】(1) ( 2,2) ; (2)详见解析.【解析】(1) a b c 1,不等式f(x) 5,即|x 1| |x 1| 4,当 x1 时，1x1x42 x 1,当 1x 1 时，1xx141x1,当 x 1时，x 1 x 1 41 x 2，解集为（2,2）; f(x)a (x c)(x b)a

18、a 0,b 0,f (x)min a9- (a bac)(ac)6)2b b c c a.c a218 18(a b c).【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难.15 .【四川省成都市第七中学 2019届高三一诊模拟考试数学】 已知函数(1)若c的最小值;(1)7 ; (2)见解析3（1）由柯西不等式得，a2b2（当且仅当ab c -时取等号）3所以b2c的最小值为-3(2)因为所以x a 2a 12a 1 1故结论成立.【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值,考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.16.【黑龙江省大庆市第一中学20

19、19届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数f x 2x a 5x,其中实数a 0.（1）当a 3时，求不等式f x 5x 1的解集；若不等式f x 0的解集为x|x 1,求a的值.【答案】（1）不等式f x 5x1的解集为x|x 1或x 2； (2) a 31,【解析】（1）当a 3时，f x 5x 1可化为2x由此可得x 1或x 2,故不等式f x 5x 1的解集为x|x 1或x 2;（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由 f x 0 ,得 2x a 5x,此不等式化等价于2x a 5x 02x a5x 0a a x x 解得 2或 2aax x 73因为a 0,所以不等式组的解集为 x | x -,3由题设可得 a 1,故a 3.3法二：（从等价转化角度考虑） 由f x 0 ,得2