理论力学运动学

1、理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院2 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫置的方法叫自然法自然法。 一、弧坐标一、弧坐标, ,自然轴系自然轴系1、弧坐标、弧坐标5-3 5-3 自然法自然法 设动点设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，为参考点，并设点并设点O的某一侧为正向，动点的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧

2、在轨迹上的位置由弧长长s确定，视弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点为代数量，称它为动点M在轨迹上的在轨迹上的弧坐标弧坐标。当动点。当动点M运动时，运动时，s随着时间变化，它是时间的随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即单值连续函数，即 s=f (t) MsAB(+)(- -)O理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3二、点的速度二、点的速度0000limlim()ddlimlimddddttttststsststssvt rrvrr三、点的加速度三、点的加速度22dddddd()ddddddvsvvvtttttt va式中式中v 称为速度矢量在切线上的投影。称为速度矢量

3、在切线上的投影。AMBOr(t)r(t+ t)Mv rOs(+)(- -)理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42t2ddddvstta切向加速度切向加速度 _ 表示速度大小的变化表示速度大小的变化t a2nddddddsvvvtstan法向加速度法向加速度 _表示速度方向的变化表示速度方向的变化na2tnddvvtaaan22ttnn| arctanaaaaa，atvM anaatvM ana理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6例例 是指刚体的平行是指刚体的平行 移动和定轴转动移动和定轴转动刚

4、体的运动刚体的运动平行移动、定轴转动平行移动、定轴转动平面运动、定点运动、一般运动平面运动、定点运动、一般运动简单运动简单运动理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7OB作定轴转动作定轴转动CD作平移作平移AB、凸轮均作平移、凸轮均作平移理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8一、刚体平移的定义一、刚体平移的定义 平行移动（平移）：刚体在运动中，其上任意两点连线平行移动（平移）：刚体在运动中，其上任意两点连线方向始终保持不变方向始终保持不变。6-1 6-1 刚体的平行移动刚体的平行移动BA在运动中方向和大小始在运动中方向和大小始终不变终不变它的轨迹它的轨迹可

5、以是直线可以是直线可以是曲线可以是曲线直线平移、曲线平移直线平移、曲线平移yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O( )( )AABB tt，rrrrABB Arrr理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9得出结论得出结论:即即二、刚体平移的特点二、刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状，速度和加速度都一样。轨迹形状，速度和加速度都一样。 即即: :平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。dddd()(0)ddddABBAABBABttttrrrvrrv222222ddd:()dddAB

6、ABBABtttrrarra同同理理A2B2A1B1OBrArAvBvAaBaBA理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院10一、刚体定轴转动一、刚体定轴转动 定轴转动定轴转动: :刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。通过两点的直线称为转轴通过两点的直线称为转轴, ,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。平面内做圆周运动。二、转角和转动方程二、转角和转动方程 _转角转角, ,单位弧度单位弧度( (rad) ) =f (t)_ 为转动方程为转动方程 方向规定方向规定: : 从从z z

7、轴正向看去轴正向看去, ,6-2 6-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院11三、定轴转动的角速度和角加速度三、定轴转动的角速度和角加速度0d lim dttt 定义定义代数量代数量1、角速度、角速度( )f t单位单位 rad/s若已知转动方程若已知转动方程( )f t2、角加速度、角加速度 设当设当t 时刻为时刻为 , , t +t 时刻为时刻为 + 220ddlim( )ddtftttt 单位：单位：rad/s2 (代数量代数量)角加角加速度速度 t O t理论力学理论力学中南大学土木工程学院

8、中南大学土木工程学院12如果如果 与与 同号，则转动是同号，则转动是加速加速的；如果的；如果 与与 异号，则转动是异号，则转动是减速减速的。的。 与与 同号同号, ,转动加速转动加速 与与 异号异号, ,转动减速转动减速O O O O 机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。转动的机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。转动的快慢用快慢用转速转速n表示，其单位为转表示，其单位为转/分分(r / min=rpm)。则则n与与的关系为的关系为:2(rad/s)6030nn理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院136-3 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度

9、转动刚体内各点的速度和加速度 刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作平面内作圆周运动圆周运动，圆心在轴线，圆心在轴线O上，半径上，半径R等于点到转轴等于点到转轴的距离。的距离。设刚体以设刚体以 从定平面从定平面A绕定轴转动到绕定轴转动到B处；转角为处；转角为 。定轴转动刚体上任一点做圆周运动定轴转动刚体上任一点做圆周运动 刚体上一点从刚体上一点从M0转到转到M，取取M0为弧坐标原点。为弧坐标原点。方向方向: : 沿圆周的切线沿圆周的切线, ,指向与转动方向指向与转动方向一致一致速度速度: :dd()ddddsRvRRtttBAO

10、(+)Rv点的弧坐标点的弧坐标: :Rs 一、角速度一、角速度 与与v 的关系的关系MM0理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院14二、角加速度二、角加速度与与an ，at的关系的关系BAO(+)RvMM0设角加速度如图所示设角加速度如图所示tddd()dddvaRRRttt切向加速度切向加速度ta即：即：转动刚体内任一点的切向加速度转动刚体内任一点的切向加速度( (又称转动加速度又称转动加速度) )的大小，等于刚的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符，它的方向由角加速度的符号决定，当号决定，当 是正

11、值时，它沿圆周的切线，指向角是正值时，它沿圆周的切线，指向角 的正向；否则相反。的正向；否则相反。即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。 Ov理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院15即：即：转动刚体内任一点的法向加速度转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与

12、速度垂直并指向轴线。离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。BAO(+)RvMM0tana点的全加速度为点的全加速度为：（一般情况下不合成）：（一般情况下不合成）2224ttn2ntanaaaaRa， 法向加速度法向加速度222n()vRaRR在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度 的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间与半径间 的夹角的夹角 都有相同的值。都有相同的值。 O a理论力学理论力学中南大学土木工程学院中

13、南大学土木工程学院16如果如果与与同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度动，这时点的切向加速度at与速度与速度v的指向相同；如果的指向相同；如果与与异号，刚体作减速转动，异号，刚体作减速转动， at与与v的指向相反。这两种情况的指向相反。这两种情况如图所示。如图所示。O vatanMO vatanM理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院17例例试画出图中刚体上试画出图中刚体上D，E两点在图示位置时的速度和加速度。两点在图示位置时的速度和加速度。 (O1A=O2B，O1O2=AB)A O1O2BDEE OD vDvEa

14、DaEvDvEaDnaDtaEtaEn理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院18理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院19定系：地面为参考系定系：地面为参考系动系：相对于地面运动系：相对于地面运动物体上的参考系动物体上的参考系工程实际中两类问题工程实际中两类问题不同参考系上观察物体不同参考系上观察物体的运动会有不同的结果的运动会有不同的结果同一点对两个不同同一点对两个不同参考系的运动以及参考系的运动以及动系对定系的运动动系对定系的运动之间的关系，由点之间的关系，由点的合成运动解决！的合成运动解决！机构运动机构运动点的运动点的运动螺旋桨叶片端点的运动螺旋桨叶片

15、端点的运动重物在起吊过程中的运动重物在起吊过程中的运动机构运动通过选择合适的动点、动系转变机构运动通过选择合适的动点、动系转变为点的合成运动，来解决机构传递问题！为点的合成运动，来解决机构传递问题！理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院20理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院21对心尖顶对心尖顶直动推杆直动推杆凸轮机构凸轮机构对心平底对心平底直动推杆直动推杆凸轮机构凸轮机构偏心平底偏心平底直动推杆直动推杆凸轮机构凸轮机构摆动推杆摆动推杆凸轮机构凸轮机构曲柄摇曲柄摇杆机构杆机构推杆摇推杆摇杆机构杆机构正弦机构正弦机构牛头刨床牛头刨床移动凸移动凸轮机构轮机构理

16、论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院227-1 7-1 点的合成运动概念点的合成运动概念动动 点点定定 系系动动 系系绝对运动绝对运动相对运动相对运动绝对速度绝对速度 绝对加速度绝对加速度avaa相对速度相对速度 相对加速度相对加速度rvra点的运动点的运动固结于地面上的坐标系固结于地面上的坐标系固结于相对于地面固结于相对于地面运动物体上的坐标系运动物体上的坐标系绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹牵连运动牵连运动动系相对于定系的运动动系相对于定系的运动刚体运动刚体运动理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23动动 点点动动 系系不同瞬时，动点在不同瞬时，动点在

17、动系中的位置不同。动系中的位置不同。牵连点牵连点设想该瞬时将该动点固定在动系上，而随着动系一起设想该瞬时将该动点固定在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体的的牵连牵连或或拖带拖带而产生的速度和加速。而产生的速度和加速。相对运动相对运动牵连点是牵连点是动系上的点，动系上的点，不同瞬时牵连点不同！不同瞬时牵连点不同！在某瞬时，动系中在某瞬时，动系中与动点相重合的点。与动点相重合的点。牵连点对牵连点对定系定系的速度和加速度分别称为的速度和加速度分别称为 的的牵连速度牵连速度 与与牵连加速度牵连加速度 evea动点动点理论力

18、学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院24理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院25理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院26理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院27动点：动点： AB杆上杆上A点点动系：固结于凸轮上动系：固结于凸轮上定系：固结在地面上定系：固结在地面上凸轮顶杆机构凸轮顶杆机构理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28绝对运动：铅直绝对运动：铅直运动运动相对运动：相对运动：圆周运动圆周运动牵连运动：凸轮牵连运动：凸轮直线平移直线平移理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院29绝

19、对速度：绝对速度：va，相对速度：相对速度：vr，牵连速度：，牵连速度：ve理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院30绝对加速度：绝对加速度：aa相对加速度：相对加速度：ar牵连加速度：牵连加速度：ae理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31动点：动点：AB杆上的杆上的A点点 动系：偏心轮动系：偏心轮绝对运动：直线运动绝对运动：直线运动相对运动：圆周运动相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动牵

20、连运动：定轴转动圆轮摇杆机构圆轮摇杆机构动点：圆盘上的动点：圆盘上的A点点动系：动系：OA摆杆摆杆理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33摇杆滑道机构摇杆滑道机构绝对运动：水平直线运动；绝对运动：水平直线运动；相对运动：沿相对运动：沿OB轴线的直线运动；轴线的直线运动；牵连运动：牵连运动： OB杆的定轴转动。杆的定轴转动。动点：动点： CD杆上的杆上的A点；动系：固结于点；动系：固结于OB上。上。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34曲柄滑块机构曲柄滑块机构动点：动点：O1A上上A点点; 动系：固结于动系：固结于BCD上。上。绝对运动：圆周运动绝对运动

21、：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：牵连运动： BCD平移平移动点：动点：BCD上的套筒上的套筒F点点; 动系：固结于动系：固结于O2E上。上。绝对运动：直线运动；绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。牵连运动：定轴转动。再选再选理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院36理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院37理论力学理论力学中南大学

22、土木工程学院中南大学土木工程学院38建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。11MMMMM M 将上式除以将上式除以 t后，取后，取 t0时的极限，得时的极限，得11000limlimlimtttMMM MMMttt 7-2 7-2 点的速度合成定理点的速度合成定理一、证明一、证明ABABM1MM2M由各速度的定义：由各速度的定义：0limtMMt a v10limtMMt e v1200limlimttM MMMtt r vavevrv理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院39说明：说明：va动点的绝对速度；动点的

23、绝对速度； vr动点的相对速度；动点的相对速度； ve动点的牵连速度，是动系上一点动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点牵连点)对地的速度。对地的速度。 动系作平移时，牵连速度等于动系上各点的速度；动系作平移时，牵连速度等于动系上各点的速度； 动系动系作定轴转动时，牵连速度垂直于动点与转轴的作定轴转动时，牵连速度垂直于动点与转轴的 连线，大小为该连线与动系转动的角速度的乘积连线，大小为该连线与动系转动的角速度的乘积。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合成定理。aer vv

24、v理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院40由速度合成定理由速度合成定理 va= ve + vr ，作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。解：动点取直杆上解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘。点，动系固结于圆盘。 绝对速度绝对速度 va = ? 待求，待求，方向方向/AB 相对速度相对速度 vr = ? 未知，未知，方向方向 CA 牵连速度牵连速度 ve =OA = 2e ， 方向方向 OA0ae2 3tan30 3vve例例圆盘凸轮机构，已知圆盘凸轮机构，已知OC=e， ，凸轮角速度，凸轮角速度 。图示瞬时图示瞬时OC CA， 且且 O、A、B三点共线。求从

25、动杆三点共线。求从动杆AB的速度。的速度。eR3ReCO ABvevrva a2 3( )3ABvve 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院41例例刨床的急回机构如图所示。曲柄刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为的角速度为 ，通过套筒，通过套筒A带动带动摇杆摇杆O1B摆动。已知摆动。已知OA=r，OO1=l，求当，求当OA水平时水平时O1B的角速度的角速度 1。 AO1O B2ea2222e111sinsin()()rvvrlrvO Alr2122rlrvave 1 1解：解：取套筒铰接点取套筒铰接点即即OA杆上的杆上的A点点为动点为动点， 穿过套筒的穿过套筒的摆摆杆

26、杆O1B为动系为动系。 绝对速度绝对速度 va = r ，方向，方向 OA 相对速度相对速度 vr = ? ，方向方向/O1B 牵连速度牵连速度 ve = ? ，方向方向 O1Bvr 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42解：取套筒与解：取套筒与AB杆的铰接点杆的铰接点A为动点，为动点， 动系与动系与OC固连，分析固连，分析A点速度，有点速度，有easinsinvvvesinOCvvOAasinCOCabvOCvaaervvv 例例 P355、例、例14-4求图示机构中求图示机构中OC杆端点杆端点C的速度。其中的速度。其中v与与 已知，已知，且设且设OA=a, , AC=

27、b。vA BCOvC OCvavevr理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院43解：以小环解：以小环M为动点，动系取在为动点，动系取在AB杆上，杆上， 动点的速度合成矢量图如图。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：由图可得：easinsinvuveasinvv 例例 水平直杆水平直杆AB在半径为在半径为r的固定圆环上以匀速的固定圆环上以匀速u竖直下落。竖直下落。求套在该直杆和圆环交点处的小环求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。的速度。uABOMr vrvave理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院44 分析：分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变

28、化，因此两物体的相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以发现，凸轮上需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以发现，凸轮上C的轨迹的轨迹是直线，若选是直线，若选OA为动系，其相对轨迹也容易确定是直线。为动系，其相对轨迹也容易确定是直线。例例已知凸轮半径已知凸轮半径r ，图示位置时向右的速度为，图示位置时向右的速度为v， =300。 杆杆OA靠在凸轮上，求此瞬时杆靠在凸轮上，求此瞬时杆OA的角速度。的角速度。

29、OAC v解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于OA杆上。杆上。 绝对运动：直线运动；绝对速度：绝对运动：直线运动；绝对速度：va=v，方向向右。，方向向右。相对运动：直线运动；相对速度：相对运动：直线运动；相对速度：vr未知，方向平行未知，方向平行OA。牵连运动：定轴转动；牵连速度：牵连运动：定轴转动；牵连速度：ve待求，方向垂直待求，方向垂直OC。由速度合成定理作出作出速度平行四边形由速度合成定理作出作出速度平行四边形vevr=vaea3tan3vvve2 sinrvOCre133 2236vvvrrr（ ）理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学

30、院45解解：先选先选O1A上上A点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于BCD上。上。 2例例曲柄滑块机构曲柄滑块机构O1A= r，角速度为角速度为 1 , ,图示瞬时图示瞬时O1A/ O2E， 及及h已知已知 。求该瞬时求该瞬时O2E杆的角速度杆的角速度 2。 AO2 C 1BO1DFEh 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。ea1sinsinvvr再选再选BCD上上F点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于O2E上。上。 由由 vFa=vFe+vFr 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。2ea11sinsinsinsinFFvvrr3e122sinF

31、vrO Fh（ ）vFevFrvFaF vrveva 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院46va解解 取取M为动点，为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取取M为动点，为动点，CD为动坐标系，相对为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。速度、牵连速度如图。ae1r1vvvae2r2vvv由上面两式可得：由上面两式可得：e1r1e2r2vvvv其中其中e11e22，vvvv例例P194、7-13AB杆以速度杆以速度v1向上作平移，向上作平移，CD杆斜向上以速度杆斜向上以速度v2作平移，作平移，两条杆的夹角为两条杆的夹角为 ，求套在两

32、杆上的小环，求套在两杆上的小环M的速度。的速度。MBCD Av2v1ve1vr1vr2ve2r212(cos )/sinvvv将等式两边同时向铅直轴投影得将等式两边同时向铅直轴投影得12r2cossinvvv则动点则动点M的绝对速度为：的绝对速度为：222212ae2r2222121 2cos()sin12cossinvvvvvvvvvv=理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院47由上述例题可看出，求解合成运动速度问题的一般步骤为：由上述例题可看出，求解合成运动速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和定系选取动点，动系和定系（工程问题选地面作定系）（工程问题选地面作定系）；三种

33、运动的分析，确定点运动的轨迹来判断各速度的方向；三种运动的分析，确定点运动的轨迹来判断各速度的方向；根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形矢量图，作出速度平行四边形矢量图， 由速度平行四边形，求出未知量。由速度平行四边形，求出未知量。aervvv恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键！恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键！动点、动系的选择原则动点、动系的选择原则动点和动系必须分别属于两个不同的物体动点和动系必须分别属于两个不同的物体，否则绝对、相对，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能构成合成运动；和牵连运动中就缺少一种运动，不能构成合成运动；动点相对动系

34、的相对运动轨迹要易于直观判断动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院48机构机构传动问题传动问题中动点、动系的选取中动点、动系的选取物体物体尖点尖点和物体和物体表面表面接触接触的问题：的问题：选物体的选物体的 尖点尖点为动点，被接触的另一物体为动系；为动点，被接触的另一物体为动系；ReCO AB 两物体两物体面面和和面面接触的问题：选一物体上到另一物体接触的问题：选一物体上到另一物体 距离不变的点为动点，距离不变的点为动点，被接触的另一物体

35、为动系被接触的另一物体为动系。ReCO AB套筒和穿过套筒的杆的运动问题：选套筒的套筒和穿过套筒的杆的运动问题：选套筒的 铰接点为动点，穿过套筒的杆为动系；铰接点为动点，穿过套筒的杆为动系；vA BCO 滑块导槽及滑块导槽及销钉滑道机构问题：选销钉滑道机构问题：选滑块的铰接点滑块的铰接点 或或销钉为动点，具有导槽或滑道的构件为动系。销钉为动点，具有导槽或滑道的构件为动系。ABCO 1 1 2 2理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院497-3 7-3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理即当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加即当牵连运

36、动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。速度与相对加速度的矢量和。tn aaatntntnaaeerraaaaaa一般式可写为：一般式可写为：理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院50解：取杆上的解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。点为动点，动系与凸轮固连。例例已知半径为已知半径为R的凸轮，其速度和加速度分别为的凸轮，其速度和加速度分别为v0和和a0。求。求 =600时时，顶杆顶杆AB的加速度。的加速度。ABCv0a0 绝对速度绝对速度va = ?，方向，方向/AB；绝对加速度；绝对加速度aa=?，方向，方向/AB相对速度相对速度vr = ?，方向

37、，方向 AC；相对加速度相对加速度art =? 方向方向 AC arn =vr2/R ，方向沿方向沿AC指向指向C牵连速度牵连速度ve=v0，方向方向水平；牵连加速度水平；牵连加速度 ae=a0 ，方向方向水平水平理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院51由速度合成定理由速度合成定理aervvv作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。e0r002sinsin 603vvvvABCv0a0 vavevr 因牵连运动为平移，故有因牵连运动为平移，故有tnaerraaaa2n220rr042/() /33vavRvRR其中其中作作加速度矢量图加速度矢量图如图示。如图

38、示。aaaearnart 将矢量方程将矢量方程 投影到投影到x x轴上，得轴上，得tnaerraaaax xnaersincosaaa2n000aer04(cos)/sin(cos60)/sin603vaaaaR理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院52整理得整理得20a038()33ABvaaaRABCv0a0 aaaearnart x x 3 3个矢量个矢量组成的方程，通常可用组成的方程，通常可用几何法几何法求解求解！例如！例如3个力的平衡，画个力的平衡，画力三角形求解，速度合成定理力三角形求解，速度合成定理3个速个速度矢量，可用三角形求解！度矢量，可用三角形求解！3 3

39、个以上个以上的矢量的矢量组成的方程，通常用组成的方程，通常用解析法解析法求解，即采用求解，即采用投影的方法投影的方法求解。求解。左边各矢量在某轴上投影的代数和左边各矢量在某轴上投影的代数和=右边各矢量在同一轴上投影的代数和右边各矢量在同一轴上投影的代数和机构传动问题，求加速度的投影轴通常机构传动问题，求加速度的投影轴通常在垂直于相对轨迹的方向！在垂直于相对轨迹的方向！因为速度合成定理可求得动点的相对速度，但因为速度合成定理可求得动点的相对速度，但相对速度往往是某瞬相对速度往往是某瞬时的特殊值时的特殊值，不能通过求导得出相对切向加速度！，不能通过求导得出相对切向加速度！理论力学理论力学中南大学土

40、木工程学院中南大学土木工程学院53例例曲柄滑杆机构；曲柄滑杆机构；曲柄曲柄OA=l，其角速度，其角速度 和角加速度和角加速度 已知已知，求求 =450时小车的速时小车的速度与加速度。度与加速度。AO C B解：动点为曲柄上解：动点为曲柄上 A点；动系固结在滑杆点；动系固结在滑杆BC上。上。 根据速度合成定理根据速度合成定理 va=ve+vr 作出速度作出速度平行四边形，如图示。平行四边形，如图示。vrvevaea2coscos452vvll小车的速度小车的速度：e2=()2lvv根据牵连运动为平移的加速度合成定理根据牵连运动为平移的加速度合成定理tnaaeraaaa作出加速度矢量图如图示作出加

41、速度矢量图如图示。在水平方向投影：在水平方向投影：tnaaecossinaaa22e2cos45sin45()2laall 方向如图示方向如图示小车的加速度小车的加速度： aeaatAar aan理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院54解：取滑块解：取滑块A为动点，动系与滑道为动点，动系与滑道BCD固连。作速度平行四边形。固连。作速度平行四边形。曲柄曲柄OA的角速度为的角速度为 4 rad/s30n era125.6cm/sBCDvvvv例例图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R=OA=10cm，已知曲柄绕轴，已知曲柄绕轴O以转速以转速n=120

42、rpm转动，求当转动，求当=300时滑道时滑道BCD的速度和加速度。的速度和加速度。 ROO1BnCAD vrve600va600 由速度合成定理由速度合成定理 va=ve+vr 求得求得a125.6 cm/svOA由加速度合成定理由加速度合成定理 作加速度矢量图作加速度矢量图 tnaerraaaa300h hAaeaaarnart30022n2rr125.61579 cm/s10vaRn222aa10 (4 )1579 cm/saaOA将加速度向将加速度向h h轴上投影有：轴上投影有：naercos60cos30aaan2arecos6027.4 m/s ()cos30aaa理论力学理论力学

43、中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院55BACDEO300600 O例例图示平面机构，已知：图示平面机构，已知：OA=r， O为常数，为常数，BC=DE，BD=CE=l，求图示位置，杆求图示位置，杆BD的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 P181例例7-9解：动点：解：动点：A点点(OA杆杆)， 动系：动系：BC杆杆vavrveaervvveraOvvvr由几何关系得由几何关系得eOBBDvrvlll BD根据牵连运动为平移的加速度合成定理根据牵连运动为平移的加速度合成定理ntnaaeera = aaa +aneaarteaaaA300300300在铅直轴上投影得在铅直轴上投影得0t

44、0n0aeesin 30cos30sin 30aaa n02taee0()sin303()cos303Oaar lral BDt2te23()3OBBDar lralll600600理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院56解解用运动方程求解。因推杆作平移，其上用运动方程求解。因推杆作平移，其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点凸轮的接触点M分析，建立图示坐标：分析，建立图示坐标：2sinddcoscosdddddcossindddcossinyReyveettvaeetttee例例平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆平底顶杆凸

45、轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心凸轮可沿导轨上下移动，偏心凸轮 绕轴绕轴O转动，轴转动，轴O位于顶杆轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表位于顶杆轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表 面。该凸轮半径为面。该凸轮半径为R，偏心距，偏心距OC = e，凸轮绕轴，凸轮绕轴O转动的角速度为转动的角速度为 ， 角加速度为角加速度为 。求。求OC与水平线成夹角与水平线成夹角时顶杆的速度和加速度。时顶杆的速度和加速度。BCO AxyM理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院57BCO A解解取圆盘的中心取圆盘的中心C为动点，动系与平底推杆为动点，动系与平底推杆AB固连。分析动

46、点的速度和加速度如图所示。固连。分析动点的速度和加速度如图所示。aveeacoscosABvvvetn2aaaeae， tnaaeraaaatneaa2cossincossinABaaaaee可求得：可求得：向向y轴投影：轴投影：tnaaecossina- aavevavr naataaearaC 或者或者2eedd(cos )cossinddveaeett理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院58点的加速度合成定理：动系转动时，动点在某瞬时的绝对点的加速度合成定理：动系转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加加速度等于该瞬时它的牵连加速度

47、、相对加速度与科氏加速度的矢量和。速度的矢量和。aerer2aaavCer2av令,称为科氏加速度，于是有aerCaa+ aa法国科里奥利。法国科里奥利。1792-18437-4 7-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院59牵连运动为转动时，加速度合成定理为一般式为牵连运动为转动时，加速度合成定理为一般式为tntntnaaeerrCaaaaaaa动系动系作定轴转动时，牵连切向加速度垂直于动点与转轴的作定轴转动时，牵连切向加速度垂直于动点与转轴的 连线，大小为该连线与动系转动的角加速度的乘积连线，大小为该

48、连线与动系转动的角加速度的乘积。动系动系作定轴转动时，牵连法向加速度沿动点与转轴的连线作定轴转动时，牵连法向加速度沿动点与转轴的连线 指向转轴，大小为该连线与动系转动的角速度平方的乘积指向转轴，大小为该连线与动系转动的角速度平方的乘积。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院60工程中常见的工程中常见的平面机构平面机构中中 e和和vr是垂直的，此时是垂直的，此时aC=2 evr；且真实的；且真实的vr顺顺 e实际转向（逆时针或顺时针）实际转向（逆时针或顺时针）转转900就是就是aC的方向。的方向。900 evraC e 一般情况下科氏加速度一般情况下科氏加速度aC的计算可以用矢

49、积表示的计算可以用矢积表示Cer2avCrr2sin()av v ，方向：按右手法则确定。方向：按右手法则确定。rC0 180 ( / )0va或，rCr90 ()2vav，大小：大小： evraC 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院61解：顶杆上解：顶杆上A为动点，动系固结于凸轮上为动点，动系固结于凸轮上 根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形作出速度平行四边形aervvv求得求得aeertantan( )coscosABvvvrvrv 由牵连运动为转动时的加速度合成定理由牵连运动为转动时的加速度合成定理tnaerrCaaaaa例例已知凸轮机构以匀角速度已

50、知凸轮机构以匀角速度 绕绕O轴转动，图示瞬时轴转动，图示瞬时OA= r，A点的曲率点的曲率半径半径 ， 已知。求该瞬时顶杆已知。求该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。的速度和加速度。ABO n vavevr 绝对加速度绝对加速度aa=?。方向平行。方向平行ABtn2eee 0 aaar，牵连加速度牵连加速度A指向指向On2222rr/cosavr相对加速度相对加速度方向沿方向沿ntr? a 方向垂直方向垂直n理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院62ABO n 2Cr=22/cosavr科氏加速度科氏加速度科氏加速度的方向为科氏加速度的方向为vr顺顺 的转向转的转向转900的方向

51、的方向。aC22222asec(cos2sec )cosABrrraa322sec(12sec)rr aaaearnart将方程将方程 向向 aC方向投影：方向投影：tnaerrCaaaaanaerCcoscosaaaa 得得vr加速度问题，加速度问题，往往超过三个矢量，一般采用解析往往超过三个矢量，一般采用解析(投影投影)法求法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定，大多解，投影轴的选取依解题简便的要求而定，大多在相对轨迹在相对轨迹的法向投影的法向投影(科氏加速度方位科氏加速度方位)。投影为矢量两边在投影轴上投影为矢量两边在投影轴上的代数和相等！的代数和相等！理论力学理论力学中南大学土木工程

52、学院中南大学土木工程学院63解：小环解：小环M为动点，动系固结在曲杆为动点，动系固结在曲杆 OBC上绕上绕O轴转动。轴转动。e10 0.510cm/scos600.5OBvOM例例 P197、7-26图示曲杆图示曲杆OBC绕绕O轴转动，使套在其上的小环轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆沿固定直杆OA滑动。已知滑动。已知曲曲杆杆OB=10cm，其，其以匀角速度以匀角速度=0.5rad/s转动，转动，OB与与BC垂直，求当垂直，求当 =600时小环时小环M的速度和加速度。的速度和加速度。BACOM 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。vavrve 由三角关系求得小环的绝对速度

53、和相对速度分别为：由三角关系求得小环的绝对速度和相对速度分别为：aeretan10317.3cm/s220 cm/svvvv，aerCaaaa由加速度合成定理由加速度合成定理作加速度矢量如图所示。作加速度矢量如图所示。araeaaM向向aC方向投影方向投影, ,有有aeCcoscosaaa aC 2aeC/cos5 2 2035cm/saaa 解得解得2Cr220 cm/sav理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院64解解：动点为动点为CD上的固定点上的固定点 A，动系固结于，动系固结于OB上。上。earacoscossinsinvvvvvv，2ecos/cos/() cos

54、hvOAvvh（）（）例例摇杆滑道机构摇杆滑道机构已知已知CD移动的速度移动的速度v和加速度和加速度a，求图示，求图示 角时角时OA杆杆 的角速度和角加速度的角速度和角加速度 。vCABOa hD 根据速度合成定理根据速度合成定理 va=ve+vr 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。vevrvaA 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院65aen投影至投影至aC反方向反方向：taeCcosaaa22teCa2cossincoscosvaaaah223n22e222Crcoscos()coscos2cossin22sinhvvaOAhhvvavvhht22

55、2e2cossin 2cosavaODhh（） aetaraCvC ABOa hDaaAvr 根据牵连运动为转动的加速度合成定理根据牵连运动为转动的加速度合成定理tnaeerCaaaaa作加速度矢量图作加速度矢量图 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院66ve解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于BA杆上。杆上。 aa vv aa，例例图示图示凸轮机构凸轮机构凸轮半径为凸轮半径为R，图示，图示 角时角时B、C在一条铅直线上在一条铅直线上。已知已知凸轮移动的速度凸轮移动的速度v和加速度和加速度a ，求该瞬时求该瞬时BA杆的角速度和角加速度。杆的角速

56、度和角加速度。aB ACRv 根据根据va=ve+vr 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。vaCear0vvv v ，e sin/sinvvvBCRR( ) 根据根据tnaeerCaaaaa作出加速度矢量图作出加速度矢量图aaCaetaenar 2n2esinvaBCRCr20avx x 投影至投影至x x 轴：轴：tnaeecoscossinaaat222e2sin/sinsin/sinaavRavBCRRR 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院67600aC300600 AO RO1C例例图示偏心轮摇杆机构中，摇杆图示偏心轮摇杆机构中，摇杆O1A借

57、助弹簧压在半径为借助弹簧压在半径为R的偏心轮的偏心轮C上。上。偏心轮偏心轮C绕轴绕轴O以匀角速以匀角速 转动带动摇杆绕轴转动带动摇杆绕轴O1转动。图示瞬时转动。图示瞬时OCOO1， =600。求该瞬时摇杆。求该瞬时摇杆O1A的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。P196 、7-20600解解: 取轮上取轮上C点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于O1A杆上。杆上。 根据根据va=ve+vr 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。va600veeravvvR由速度矢量图可知由速度矢量图可知vr600摇杆摇杆O1A的角速度为的角速度为e1122vROCR 1根据根据tnaeerCaaaaa作出加速度矢量图作出加速度矢量图aetaen300ar300aaC投影至投影至aC方向方向0t0n0aeeCcos60cos30cos60aaaa 化简得化简得n222tCae1 r11e22 2