连续型随机变量

1、退 出前一页后一页目 录 2.3 连续型连续型随机变量随机变量离散型随机变量只能取有限个有限个或可列无穷多个可列无穷多个数值，还有一类随机变量的取值却充满某个有限区间充满某个有限区间或无穷区间无穷区间.定义定义2.3.1退 出前一页后一页目 录则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的的概率密度概率密度. xF xf t dt 使得对任意实数使得对任意实数x , 有有设设F(x)是随机变量是随机变量 X的分布函数的分布函数 , 若存在非负函数若存在非负函数 f (x) , 引例引例1 1：一个靶子是半径为：一个靶子是半径为2 2米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘

2、，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离。试求表示弹着点与圆心的距离。试求X 的分布的分布函数。函数。解：由第一节可知，解：由第一节可知，X 的分布函数为的分布函数为Xx . 2, 1;20,4; 0, 0)(2xxxxxF考虑函数考虑函数 f ( x )= x/2 , 0 x 2;0, 其它其它退 出前一页后一页目 录f ( (x) )的变上限积分为的变上限积分为x1O2 )(xFF(x)1x1O2f (x)1退 出前一页后一页目 录. 2, 12, 20 ,42, 0, 0)(202

3、0 xdttxxdttxdttfxx退 出前一页后一页目 录 xF xf t dt P Xx概率密度所对应的平面曲线称为随机变量概率密度所对应的平面曲线称为随机变量X的的概率曲线，概率曲线，Oxf(x)x分布函数值分布函数值F(x)是概率曲线下从是概率曲线下从 到到x的一块面积。的一块面积。验证性质验证性质1和性质和性质2是判断一个函数是否为是判断一个函数是否为概率密度的方法。概率密度的方法。1.0)(xf2.1)(dxxfOf(x)x1退 出前一页后一页目 录概率密度的性质概率密度的性质：退 出前一页后一页目 录例例1：（密度函数的判定）（密度函数的判定）验证验证 是概率密度函数是概率密度函

4、数.0,0,00,)(ttetft解：对任意实数解：对任意实数t， f(t)非负，又非负，又则则 f(t)是连续型随机变量的概率密度是连续型随机变量的概率密度.dttf)(000dtedtt0te1退 出前一页后一页目 录例例2： 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求（求（1）系数）系数A;（2）X的分布函数的分布函数.)(,)(xAexfx解：dxxf)(1 )1 (00dxAedxAexxAAeAexx20021 A1,0,2( )1,0.2xxexf xex 0,0,)(xAexAexfxx参参 数数 的的 确确 定定1,02( )11,02xxexF xex 所求分布函数为

5、退 出前一页后一页目 录)2(xdttfxFx)()(0时，有当xxtedte2121xdttfxFx)()(0时，有当xttdtedte002121111112222xxee001122xttee 由密度函数求分布函数由密度函数求分布函数退 出前一页后一页目 录f(x)Oxx1x23.).()()(xfxFxxf处连续，则在点若4.21)()(21xxdxxfxXxP由性质4在f(x)的连续点x处有.)(lim)()(lim)()(00 xxxXxPxxFxxFxFxfxx 看出概率密度的定义与物理学中的线密度看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似的定义相类似, 这就是为什么称这就

6、是为什么称f(x)为概率为概率密度的原因密度的原因.退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页目 录5.连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在是一个在 上上的连续函数的连续函数.),(离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数F(x)是右连续的是右连续的连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)在整个数轴上在整个数轴上连续的连续的退 出前一页后一页目 录6.RxxXP00, 0注：注：1）设设X为连续型随机变量，则对任一指定实数为连续型随机变量，则对任一指定实数 ，有，有0 x21)()()()()(21212121xxdxxfxXxPxXxPxX

7、xPxXxP2）连续型随机变量连续型随机变量X取任意数值的概率均为取任意数值的概率均为0.概率为概率为0的事件的事件不一定不一定是不可能事件，是不可能事件，概率为概率为1的事件的事件不一定不一定是必然事件是必然事件.概率密度的性质概率密度的性质：1.0)(xf2.1)(dxxf3.21)()(21xxdxxfxXxP).()()(xfxFxxf处连续，则在点若4.5.连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在是一个在 上上的连续函数的连续函数.),(6.RxxXP00, 0设设X为连续型随机变量，则对任一指定实数为连续型随机变量，则对任一指定实数 ，有，有0 x退 出前一

8、页后一页目 录退 出前一页后一页目 录例例3：设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求（求（1） P-1X1;（2）PX=2解：02XP) 1 (11)(11dxxfXP10012121dxedxexx1111) 1(21)1 (21eee)(,21)(xexfx(2)因为因为X是连续型随机变量，所以是连续型随机变量，所以概概 率率 的的 计计 算算的分布函数为设连续型随机变量 X xxxFarctan121的密度函数试求 X解： ，则的密度函数为设xfX xFxfxx2111例例4 4退 出前一页后一页目 录由分布函数求密度函数由分布函数求密度函数退 出前一页后一页目 录例例5： 从

9、一批子弹中任意抽出从一批子弹中任意抽出5发试射，如果没有一发发试射，如果没有一发子弹落在靶心子弹落在靶心2cm以外，则整批子弹将被接受以外，则整批子弹将被接受.设弹着点与靶心的距离设弹着点与靶心的距离X(cm)的概率密度为的概率密度为求（求（1）系数）系数A;（2）该批子弹被接受的概率）该批子弹被接受的概率.其他,030 ,)(2xAxexfxdxxf)(1 ) 1 (302dxAxex)1 (29eA912eA解：)2(所以，该批子弹被接受的概率为设 表示第i发子弹合格的事件，则 相互独立，且 iB521,BBB20)(XPBPi209212dxxeex,1194ee5 , 2 , 1i)(

10、521BBBPp)()(51BPBP594)11(ee退 出前一页后一页目 录几种连续型分布几种连续型分布退 出前一页后一页目 录1.均匀分布均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度, 0;,1)(其它bxaabxf则称X在区间(a,b)上服从均匀分布均匀分布,记为 XU(a,b).均匀分布的密度函数f(x)的图形ab 1af(x)bOx退 出前一页后一页目 录均匀分布均匀分布常用来描述在某个区间内随机取值，常用来描述在某个区间内随机取值，在某段时间内随机到达，误差分布等。在某段时间内随机到达，误差分布等。若随机变量XU(a,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度依赖

11、于子区间的长度，而与子区间的位置与子区间的位置无关无关. lcXcPlccdxxf)(lccdxab1任给长度为l的子区间(c,c+l), acc+lb, 有均匀分布的特点均匀分布的特点：退 出前一页后一页目 录.abl 某观光电梯从上午8时起，每半小时运行一趟.某人在上午8点至9点之间到达，试求他等候时间少于5分钟的概率 600，UX退 出前一页后一页目 录例例5：设X表示某人到达的时间，则解：., 0,600,601)(其它xxf60553025XPXP60553025601601dxdx.61为了使等候时间少于5分钟，此人应在电梯运行前5分钟之内到达，所求概率为设随机变量Y服从(0,5)

12、上的均匀分布，求方程02442YxYx)5 , 0(UY退 出前一页后一页目 录例例6：有实根的概率.解：0, 有 PXt+s| X t=PX s，事实上,|tXPstXtXPtXstXP指数分布常用来描述处于稳定工作状态的元件寿命.退 出前一页目 录指数分布的特点指数分布的特点：无后效性（无记忆性）tXPstXP)(1)(1tFstFststeee)(.sXP0,e1)(ttFtXPt0,e)(1ttFtXPt后一页正态分布正态分布(GAUSS 分布分布) 设随机变量设随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为其中其中m m , , s s ( s s 0 0是常数，是常数，Rxj j(

13、x; m m, , s s2 2 ) = ,e( x m m 2 s s2 2221 s s则称随机变量则称随机变量X 服从参数为服从参数为m m，s s2 的的正态分布正态分布 或高斯分布或高斯分布 ，记为，记为X N(m m , , s s2 )。 特别地特别地, 当当m m 0, 0, s s 1 1时时, , 其概率密度函数为其概率密度函数为Rx ,j j( x ) = j j( x; 0, 1 ) = e x 2 221 则称随机变量则称随机变量X 服从服从标准正态分布标准正态分布, 即即X N( 0, 1 )退 出前一页后一页目 录1) 正态分布概率密度曲线的特征正态分布概率密度曲

14、线的特征(1) (1) j j( x; m m, , s s2 2 ) dx = 1即概率曲线下总面积为即概率曲线下总面积为1。 (2) (2)曲线关于直线曲线关于直线x = m m 对称对称, , 即对任意实数即对任意实数x 有有 j j(m m - x; m m, , s s2 2 ) = j j(m m + x; m m, , s s2 2 )曲线下直线两侧的面积各为曲线下直线两侧的面积各为1/2，并且，并且 P m m x X m m = P m m X m m + x )退 出前一页后一页目 录 (3) (3)曲线在曲线在x = m m 处取得最大值处取得最大值 , , 固定固定m

15、m , , s s2 2 越大，曲线越趋于平坦。越大，曲线越趋于平坦。21 s s退 出前一页后一页目 录2) 正态分布概率的计算正态分布概率的计算 若随机变量若随机变量X N( m m, , s s2 )，其分布函数为，其分布函数为RxF F( x; m m, , s s2 2 ) = ,e( x m m 2 s s2 2221 s s x dx 若随机变量若随机变量X 标准正态分布，其分布函数为标准正态分布，其分布函数为RxF F( x ) = ,ex 2221 x dx 由于由于F F( x )不能解析求出，为方便计算，人们编制不能解析求出，为方便计算，人们编制了了标准正态分布表标准正态

16、分布表(见见P289的附表的附表2)。由。由F F( x )的的对称性，有对称性，有 F F( - x ) = 1- F F( x )，故仅给出故仅给出x0的值。的值。退 出前一页后一页目 录 （1）若随机变量若随机变量X N( 0，1 )，则，则P a X a = 1 1 - F F( a )P X b = F F( b ) F F ( - x )= 1-F F ( x ) 若随机变量若随机变量X N( 0，1 )，则，则P a X b = F F( b ) - F F( a ) （2）若随机变量若随机变量X N( m m，s s2 2 )，则，则P x1 X x2 = F F ( ) -F

17、 F( )x2 m ms sx1 m ms s证明：证明：e( t m m 2 s s2 22F F( x; m m, , s s2 2 ) = 21 s s x dtey 2 221 dy x m ms st m ms sy = dt = s s d yF F( ) x m ms s=退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页目 录 （2）若随机变量若随机变量X N( m m，s s2 2 )，则，则)()(smFsmFabbXaP)(1smFaaXP)(smFbbXP例例8 8：已知随机变量：已知随机变量X N( m m, , s s 2 2 )，证明，证明 P| X - m m | x

18、= P m m - x X m m + x = xs s2 2F F( )- 1P m m - x X m m + x 证明证明: :=m m - x m ms sF F( )m m + x m ms sF F( )-=- xs sF F( )x s sF F( )-=x s sF F( )-xs sF F( )1 1 =x s sF F( )2 12 1退 出前一页后一页目 录 特别地，有特别地，有 P| X - m m | s s = 2F F 1 1 1 1 = 0.6826 P| X - m m | 2s s = 2F F 2 1 2 1 = 0.9544 P| X - m m | 3s s = 2F F 3 1 3 1 = 0.9974这说明这说明X 以很大的概率密集在以很大的概率密集在 x = m m 的附近。的附近。退 出前一页后一页目 录例例9: 公共汽车的车门是按男子与车门碰头的机会在公共汽车的车门是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计以下来设计的的.设男子身高设男子身高X服从参数为服从参数为=172cm =6 的正态分布的正态分布.即即XN(172,36).问车门的高度该如何设计问车门的高度该如何设计.解：设车门的高度为解：设车门的高度为h cm.按设计要求按设计要求P X h 0.01 或者或者 PXh 0.99因为因为 XN(17