[理学]第九章 球坐标系下的分离变量 球函数ppt课件

1、第九章 球坐标系下的分别变量 球函数本章内容概要：9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分别变量球坐标系下的亥姆霍兹方程的分别变量 给出该亥姆霍兹方程分别变量的解给出该亥姆霍兹方程分别变量的解9.2 9.3 (缔合缔合)勒让德函数、球函数的性质勒让德函数、球函数的性质母函数、递推公式、正交归一性关系、母函数、递推公式、正交归一性关系、前几阶的勒让德多项式前几阶的勒让德多项式 球坐标系下分别变量法的运用：见本章球坐标系下分别变量法的运用：见本章6 6道例题道例题令：令： , 代入得代入得:9.1 9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分别变量球坐标系下的亥姆霍兹方程的分别变量一.亥姆霍兹方程的引入20t

2、tuau ( , , , )( ) ( , , )u x y z tT t v x y z 20Tva Tv 2Tva Tv 200Ta Tvv 分别变量得分别变量得: 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程对三维动摇方程对三维动摇方程为使为使 t 时时, T(t) 有限有限, 取取20k Tips: k = 0时，取时，取T(t)Constant 位势方程位势方程二. 球坐标系下亥姆霍兹方程的分别变量22222222111()(sin)0sinsinvvvrk vrrrrr ( , ) 令令 , 代入代入Helmholhz方程：方程：( , , )( ) ( , )v rR r Y 22222222()(

3、sin)sinsinY ddRRYRYrk RYr drdrrr 方程两边同时乘以方程两边同时乘以 ，整理得，整理得:2rRY222222111()(sin)sinsinddRYYrk rR drdrYY (1)l l= 0即：即：222()(1)0dd Rrk rl lRdrdr 22211(sin)(1)0sinsinYYl lY 令令 , 代入角向方程：代入角向方程：( , )( ) ( )Y 222(sin)(1)0sinsindddl lddd 方程两边同时乘以方程两边同时乘以 ，整理得，整理得2sin 222sin1(sin)(1)sindddl lddd 2m 即：即：22sin

4、(sin) (1)sin0ddl lmdd 2220dmd ( ) 2220( )(2 )dmd 自然周期条件自然周期条件 本征值：本征值：本征函数：本征函数：0,1,2m ( )cossinmmAmBm 或或, , 本征值：本征值： 本征函数：本征函数：0, 1, 2m ( )ime 220,sin(sin) (1)sin0|ddl lmdd ( ) 有限值有限值自然边境条件自然边境条件令令 x = cosq，那么，那么 dx = - sinq dq 222(1) (1)01ddmxl ldxdxx 2(1)(1)0ddxl ldxdx 此即此即 l 阶勒让德方程阶勒让德方程, 满足满足 有

5、限的本征解为：有限的本征解为：1|x 本征值：本征值： 本征函数：本征函数： ( )lP x (1),0,1,2,l ll m = 0, 的方程变为：的方程变为：( ) 此时 为常数即，绕 z 轴对称( ) m 0 时时, 令令 , 方程变为：方程变为：22(1)( )mxy x 2(1) 2(1) (1)(1)0(*)xymxyl lm my 为求方程的解为求方程的解, 思索勒让德多项式满足的方程：思索勒让德多项式满足的方程：22( )(1)(1)0( )lllxPxxlxPxlP 对对 x 求求 m 次导：次导：2(2)(1)()(1)(1)( 2 )( 2)2mmmlllm mxPmx

6、PP (1)()()2(1)0mmmlllxPmPl lP 整理整理, 得：得：2()()()(1)2(1) (1)(1)0mmmlllxPmxPl lm mP 比较上式与比较上式与(*)式，知本征解为：式，知本征解为：记记 为缔合勒让德函数为缔合勒让德函数22()( )(1)( )mmmllPxxPx由勒让德函数的微分表达式由勒让德函数的微分表达式, 得：得：22()( )(1)( )mmmllPxxPx留意到留意到 为为 l 阶多项式阶多项式, 使使 , 那么那么( )lP xml 从从 的微分表达式，也可看出的微分表达式，也可看出( )mlPxlml 假设先选定假设先选定 m，那么，那么

7、,1,2,(0)lm mmm 假设先选定假设先选定 l ，那么，那么,0,1,2,ml 0, 1,ml或或,2221(1)(1)( 11)2 !ml mlll mdxxxldx ( )0mlPx 本征值：本征值： 本征函数：本征函数： (1),l ll22()(1)( )mmlxPx 112( )( )21lkklP x P x dxl 或者：或者：02(cos )(cos )sin21lkklPPdl 11()!2( )( )()! 21mmlklklmPx Px dxlml 0()!2(cos )(cos )sin()! 21mmlklklmPPdlml 附注：附注：(缔合缔合)勒让德函数

8、的正交归一关系：勒让德函数的正交归一关系：或者：或者：22(cos )21lPl 2()!2(cos )()! 21mllmPlml 范数范数:范数范数:详细证明见下节详细证明见下节( , )Y 22211(sin)(1)0sinsin( , )( ,2 )(0, ),( , )YYl lYYYYY 本征值：本征值：(1),0,1,2,l ll0,1,2ml 本征函数：本征函数：( , )(cos )(cossin)mmllmmYPAmBm 本征值：本征值：(1),0,1,2,l ll0, 1, 2,ml 或者：或者：( , )(cos )mmimllYPe 本征函数：本征函数：为有限值为有限

9、值(自然周期边境条件自然周期边境条件)(有界条件有界条件)例例: 量子力学中量子力学中, 定义角动量平方算符定义角动量平方算符 为为2L2222211(sin)sinsinL 那么：那么：22( , )(1)( , )L Yl lY 即：算符即：算符 有分立的本征值：有分立的本征值：2L2(1)l l ( , )mlY 称为球谐函数。球谐函数具有正交性。称为球谐函数。球谐函数具有正交性。,0( , , , )( , )( , )lml mllmlrtRr t Y 因此，函数因此，函数 ，可在球坐标系展开为：，可在球坐标系展开为：( , , , )rt k = 0 时，径向方程为欧拉方程时，径向

10、方程为欧拉方程:2 2(1)0r RrRl lR 令令 ，得其解为：，得其解为：tre (1)12( )llR rc rc r k 0 时，方程称为时，方程称为 l 阶球贝塞尔方程：阶球贝塞尔方程：此时此时, 令令12,( )( )( )22xkrR ry xxy xx 222()(1)0dd Rrk rl lRdrdr 径向方程：径向方程：根据前面的讨论，根据前面的讨论，l 为自然数，即为自然数，即0,1,2,l ( )R r此时此时Helmholhz方程方程变为变为Laplace方程方程 .根据对贝塞尔方程的讨论，方程通解为：根据对贝塞尔方程的讨论，方程通解为：112212( )( )(

11、)lly xc Jxc Nx通常令通常令1122( )( ),( )( )22llllj xJxn xNxxx 分别称为分别称为 l 阶球贝塞尔函数和阶球贝塞尔函数和 l 阶球诺依曼函数。阶球诺依曼函数。那么那么 l 阶球贝塞尔方程的通解为：阶球贝塞尔方程的通解为：12( )()()llR rc j krc n kr 方程化为：方程化为：2221 () 02x yxyxly l 为整数，那么方程为半奇数阶贝塞尔方程为整数，那么方程为半奇数阶贝塞尔方程 k = 0 时时, Helmholhz方程即为方程即为Laplace方程方程(位势方程位势方程) (1)00( )cossinlllmlllmm

12、lmvC rD rPxAmBm k 0 时时 00()()( )cossinlmlllllmmlmvC j krD n krPxAmBm 0( , , )()()( )lmimlllllmlmlv rC j krD n krPx A e 或者：或者： 假设讨论的问题具有旋转对称性，那么假设讨论的问题具有旋转对称性，那么 m = 0此时此时, k2(本征值本征值)可由径向可由径向(r)的边境条件给出的边境条件给出.(例例9.3)方程方程20vk v 0(0)vk 普通情形普通情形m0绕极轴绕极轴旋转对称旋转对称(m = 0)球对称球对称(m = 0且且 l = 0)()cos(cos )()si

13、nlmllj krmPn krm (1cos(cos )sinlmllrmPmr ()(cos )()lllj krPn kr (1)(cos )lllrPr 1020()()c j krc n kr 121ccr Helmholtz方程方程Laplace(位势位势)方程方程9.2 9.2 球函数球函数 9.3(9.3(缔合缔合) )勒让德多项式勒让德多项式一. 勒让德多项式的母函数(生成函数)在单位球的北极在单位球的北极, 置电荷量为置电荷量为 的正电荷的正电荷.04球内球内 M 点与点与 N 点间隔为：点间隔为：N0(4)212 cosdrr 那么那么, M 点电势为：点电势为：()211

14、/12 cosMudrr u(M) 也可由拉普拉斯方程经过分别变量法求出。也可由拉普拉斯方程经过分别变量法求出。 此问题关于此问题关于 z 轴对称轴对称; 且且 球内电势有限球内电势有限.0(4)令令 , 那么因那么因 , 有：有： 0 (1)1lP 01, (1)1lllArrr 又，又，01, (1)1llrrr 1,0,1,2,lAl()0(cos )lMllluAr P 由由9.1的讨论知，此问题通解为：的讨论知，此问题通解为：因此因此201(cos ) (cos1)12lllr Prrr 2112 cosrr 称为勒让德多项式的母函数称为勒让德多项式的母函数(1)201(cos )2

15、os(c11lllrPrrr 同理得：同理得：因此，勒让德函数是函数因此，勒让德函数是函数 在在 r = 0处的泰勒处的泰勒/洛朗展开的系数洛朗展开的系数.2112 cosrr 12201(cos ) ()2cosllllrPRRrRrrR 12201(cos )()2cosllllRPrRrRrrR 假设球的半径为假设球的半径为R R比较比较 r 的的 l 次幂的系数次幂的系数:二. 勒让德多项式的递推公式201( ) (1)12lllr P xrrxr 由母函数公式由母函数公式两边对两边对 r 求导，得求导，得23/2101(12)(22 )( )2lllrxrrxl rP x /2121

16、 20()(112)( )2lllxrrxrlrrrP xx 0210()(12)( )( )llllllxrrxrl rrxxPP 111( )( )(1)( )2( )(1)( )lllllxP xPxlPxxlP xlPx整理，得递推公式：整理，得递推公式：11(1)( )(21)( )( )0llllPxlx P xl Px 三. 勒让德多项式的正交归一关系(缔合缔合)勒让德方程是勒让德方程是Sturm-Liouville方程的一例方程的一例, 因此因此(缔合缔合)勒让德多项式在勒让德多项式在 -1, 1 上正交。上正交。112( )( )21lkklP x P x dxl 下面由勒让

17、德方程证明正交归一关系。下面由勒让德方程证明正交归一关系。或者：或者：02(cos )(cos )sin21lkklPPdl ( ) (1)( ) (2)klP xP x 式式式式，并在，并在-1, 1积分得积分得11111122( )( ) (1)(1)( )(1)( )(1)( )0lllkkkddxP xdxdxddxP xdxP xdxl lk kP x P x dxdxxPdx 作分部积分，作分部积分，相减结果为零相减结果为零又又 k l，故，故11( )( )0()lkP x P x dxkl 2(1)( )(1)( )0(1)llddxP xl lP xdxdx2(1)( )(1

18、)( )0(2)kkddxP xk kP xdxdx 1220(12)( ) (1)lllrxrr P xr 上式两边平方，并在上式两边平方，并在-1, 1积分积分11211001( )( )12lklklkdxr P xr P xdxrxr 12210. .( )lllR H SrP xdx 221(1)11. .lnln2(1)1rrL H Srrrr由正交性得：由正交性得：将方程左边也展开为将方程左边也展开为 r 的级数表达式：的级数表达式：20221llrl 比较比较 的系数得的系数得:lr1212( )21lP xdxl 母函数关系母函数关系:由勒让德多项式的正交归一关系由勒让德多项

19、式的正交归一关系, 可将在区间可将在区间-1, 1上的函数上的函数 f (x) 用勒让德多项式展开。用勒让德多项式展开。四. 缔合勒让德函数222(1) (1)01ddmxl ldxdxx 在在9.1讨论中讨论中, 经过对勒让德方程微分经过对勒让德方程微分 m 次，次，验证了缔合勒让德方程的解，即缔合勒让德函数。验证了缔合勒让德方程的解，即缔合勒让德函数。22()( )(1)( )mmmllPxxPx 2221(1)(1)2 !ml mlll mdxxldx 11(1)( )(21)( )()( )0mmmllllm PxlxPxlm Px 证明方法：由勒让德多项式的递推公式求证明方法：由勒让

20、德多项式的递推公式求m 次导，次导，并利用勒让德函数的母函数公式。并利用勒让德函数的母函数公式。 详见课本详见课本 Page 167-168 的证明。的证明。缔合勒让德函数有其他递推公式，可参考：缔合勒让德函数有其他递推公式，可参考：王竹溪王竹溪, 刘式达、刘式适刘式达、刘式适.同同 m , 不同不同 l 的递推公式：的递推公式：12121(1)()( )2(1)( )( )mmmllllmlm PxmxxPxPx 例如：同例如：同 l，不同，不同 m 的递推公式的递推公式11()!2( )( )()! 21mmlklklmPx Px dxlml 证明：令证明：令1,1( )( )mmml k

21、lkIPx Px dx 12()(),1(1)( )( )mmmml klkIxPx Px dx 12()(1)1(1)( ) ( )mmmlkxPx d Px 2()(1)11(1)( )( )mmmlkxPx Px 将将 代入，并分部积分代入，并分部积分22()( )(1)( )mmmllPxxPx1(1)(12)(1)( )( )mmmkldxPxPx (此项为此项为0)(分部积分分部积分)(作微分运算作微分运算)21()2(1)2(1)( )(1)( )mmmmlldxmxxPxxPx 121(12)1(1)mmkxPx 12111212(1)( )()( )mmlkmlmxxPPPx

22、xdxx 12121(1)()( )2(1)( )( )mmmllllmlm PxmxxPxPx 111,1(1)()( )mml kkmlIlmlmPx Pdx 1(1),1( )mml kkIPx 11222()2(1)2(1)( )(1)( )mmmmllmxxPxxPx dx 根据同根据同 l 不同不同 m 的递推公式的递推公式,1(1)()l kmlmlIm 将该式递推将该式递推 m 次：次：01,(1)()(1)( ) ()(1)mmll kl kkIlmlm IlmllmIl !()!()2!21k lllmlmll ()!2()! 21k llmlml 上式中用到上式中用到 勒

23、让德多项式正交归一关系勒让德多项式正交归一关系10,12( )( )21k llkk lIP x P x dxl 11()!2( )( )()! 21mmlklklmPx Px dxlml 得证！得证！( )(0)mlPxm 在亥姆霍兹方程方程的通解中，用到在亥姆霍兹方程方程的通解中，用到( , )( )mmimllYPx e 0, 1, 2,ml( ) (0)mlPxm 不能由不能由 定义定义22()( )(1)( )mmmllPxxPx思索利用微分表达式定义思索利用微分表达式定义 .2221( )(1)(1)2 !ml mmllll mdPxxxldx 那么那么 ：( )mlPx 2221

24、( )(1)(1)2 !mmmlmlllldPxxxldx 并且可证：并且可证：()!( )( 1)( )()!mmmlllmPxPxlm ( )mlPx 12121( )(1)sinPxx Eg. 前几阶的勒让德函数前几阶的勒让德函数121121(11)!1( )( 1)(1)sin(11)!2Pxx 121223( )3(1)sin22Pxxx 2223( )3(1)(1cos2 )2Pxx Question: l 阶缔合勒让德函数，阶缔合勒让德函数，x 的次数是多少？的次数是多少？ 12122333( )(1) (51)sin5sin328Pxxx 或者：或者： (复数方式复数方式) 是

25、是Helmholtz方程在自然周期条件方程在自然周期条件 + 边境值有限条件下的角向本征函数边境值有限条件下的角向本征函数.五. 球谐函数( , )mlY ( , )mlY 球谐函数满足的方程为：球谐函数满足的方程为：22211(sin)(1)sinsinYYl lY 0,1,2,0,1,2lml cos( , )(cos )sinmmllmYPm (0, 1, 2,)ml ( , )(cos )mmimllYPe 球谐函数为球谐函数为(实函数方式实函数方式)：l 阶独立的球函数阶独立的球函数共共 2l + 1 个个由缔合勒让德函数的正交归一关系：由缔合勒让德函数的正交归一关系：02()!(c

26、os )(cos )sin21 ()!mmlklklmPPdllm 以及以及j方向本征函数系方向本征函数系 的正交归一关系：的正交归一关系： i me 2i mi mmmeed 得复数方式球谐函数的正交归一关系：得复数方式球谐函数的正交归一关系：200sin( , )( , )4()!21 ()!mmllllmmYlmlYdlmd 其中其中 为为 的复数共轭，即：的复数共轭，即：( , )mlY ( , )mlY ( , )( , )*(cos )mmmi mlllYYPe 球谐函数的递推公式球谐函数的递推公式可由可由 递推公式推导递推公式推导 的递推公式的递推公式( , )mlY ( )ml

27、Px1111(1)(1)(1)(2)sin( , )(21)(21)(21)(23)immmllllmlmlmlmeYYYllll 1111()(1)(1)(2)sin( , )(21)(21)(21)(23)immmllllm lmlmlmeYYYllll 11(1)(1)()()cos( , )(21)(23)(21)(21)mmmllllmlmlm lmYYYllll 本节主要结论：本节主要结论：201( ) (1)12lllr P xrrxr 一一. 勒让德函数的母函数公式勒让德函数的母函数公式二二. 勒让德函数的递推公式勒让德函数的递推公式11(1)( )(21)( )( )0lll

28、lPxlx P xl Px 三三. 勒让德函数的正交归一关系勒让德函数的正交归一关系112( )( )21lkklP x P x dxl 2( )21lP xl 四四. 缔合勒让德函数缔合勒让德函数1. 定义：定义：22()( )(1)( )mmmllPxxPx 2221(1)(1)2 !ml mlll mdxxldx 2. 缔合勒让德函数的递推公式缔合勒让德函数的递推公式 (了解了解)11(1)( )(21)( )()( )0mmmllllm PxlxPxlm Px 同同 m , 不同不同 l 的递推公式：的递推公式：12121(1)()( )2(1)( )( )mmmllllmlm Pxm

29、xxPxPx 同同 l，不同，不同 m 的递推公式的递推公式3. 缔合勒让德函数的正交归一关系缔合勒让德函数的正交归一关系 (重要重要)11()!2( )( )()! 21mmlklklmPx Px dxlml ()!2( )()! 21mllmPxlml 4. 时的缔合勒让德函数时的缔合勒让德函数 (了解了解)( )0mlPxm ()!( 1)( )()!mmllmPxlm 2221( )(1)(1)2 !ml mmllll mdPxxxldx 或复数方式：或复数方式： 五五. . 球谐函数球谐函数( , )mlY 0,1,2,0,1,2lml cos( , )(cos )sinmmllmY

30、Pm (0,1,2,0, 1, 2,)lml ( , )(cos )mmimllYPe l 阶独立的阶独立的球函数共球函数共2l+1个个2004()!( , )( , )sin21 ()!mmllllmmlmYYd dllm 复数方式的球谐函数的正交归一关系：复数方式的球谐函数的正交归一关系： 球谐函数的递推公式球谐函数的递推公式 (了解了解)例例9.2 一半径为一半径为a 的空心球的空心球, 假设在其外表一半假设在其外表一半充电到电势充电到电势 u0, 另一半电势为另一半电势为0, 求球内外电势求球内外电势分布。分布。解：球内解：球内球外球外0(cos )lillluC r P (1)0(cos )lellluD rP 习题习题9.1 第第2题题 匀强电场中放置一接地导体球，球的半匀强电场中放置一接地导体球，球的半径为径为a，求球外的电势。，求球外的电势。例例9.3 均质球，半径为均质球，半径为r0,初始温度分布为初始温度分布为f (r),球外球外表温度坚持为表温度坚持为0，使它冷却。求温度分布，使它冷却。求温度分布. 解：球内，解：球内，0ru 有有限限值值0( )()R rc j kr 0()lrn kr 一. 亥姆霍兹方程的引入二. 球坐标系下亥姆霍兹方程的分别变量( ) ( ) (