概率论与数理统计习题答案修订版复旦大学

1、概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学概率论与数理统计习题及答案 习题 一1略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1） A发生，B，C都不发生；（2） A与B发生，C不发生；（3） A，B，C都发生；（4） A，B，C至少有一个发生；（5） A，B，C都不发生；（6） A，B，C不都发生；（7） A，B，C至多有2个发生；（8） A，B，C至少有2个发生.【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC（4） ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC (5) ABC=AUBUC (6) ABC (7) ABCAB

2、CABCABCABCABCABC=ABC=ABC(8) ABBCCA=ABCABCABCABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】 P（AB）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2） 当AB=时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/

3、4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)1=11113+-= 44312423.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 P(BAUB)=P(AB)PA(-)PAB() =P(AUB)P(A)+P(B)-P(AB)0.7-0.51= 0.7+0.6-0.54111，求将此密码破译出53433.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率.【解】 设Ai=第i人能破译（i=1,2,3），则P

4、(UAi)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3) i=13=1-423´´=0.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得P(A)=åP(A|Bi)P(Bi)i=03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×

5、;0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.458 .习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5P(X=3)=P(X=4)=1=0.1C353 =0.3C35C24P(X=5)=3=0.6C52故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的

6、次品个数，求： （1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图； (3)133PX£P1<X£P1£X£P1<X<2.222【解】X=0,1,2.3C1322P(X=0)=3=.C15352C1122C13P(X=1)=3=.C1535C11P(X=2)=13=.3C1535 （2） 当x&lt;0时，F（x）=P（Xx）=0当0x&lt;1时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)=22 35当1x&lt;2时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=当x2时，F（x）=P（Xx）=1 故X的分布函数34

7、 35x<0ì0,ï22ï,0£x<1ï35F(x)=íï34,1£x<2ï35ï1,x³2î(3)31122P(X£)=F()=,2235333434P(1<X£)=F()-F(1)=-=0223535 3312P(1£X£)=P(X=1)+P(1<X£)=2235341P(1<X<2)=F(2)-F(1)-P(X=2)=1-=0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中

8、率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.P(X=0)=(0.2)3=0.0082P(X=1)=C130.8(0.2)=0.096P(X=2)=C(0.8)0.2=0.384P(X=3)=(0.8)3=0.512232 x<0ì0,ï0.008,0£x<1ïïF(x)=í0.104,1£x<2ï0.488,2£x<3ïx³3ïî1,P(X&

9、#179;2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8964.（1） 设随机变量X的分布律为PX=k=alkk!，其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a.（2） 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N， k=1，2，N，试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知1=åP(X=k)=aåk=0k=0¥¥lkk!-l=agel 4故 a=e (2) 由分布律的性质知NN1=åP(X=k)=åk=1k=1a=a N即 a=1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比

10、乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1) P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)212=(0.4)3(0.3)3+C130.6(0.4)C30.7(0.3)+22 C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3+(0.6)3(0.7)3=0.32076(2) P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)23223=C130.6(0.4)(0.3)+C3(0.6)0.4

11、(0.3)+22(0.6)3(0.3)3+C3(0.6)20.4C130.7(0.3)+2322(0.6)3C130.7(0.3)+(0.6)C3(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有P(X>N)<0.01即利用泊松近似 k=N+1åC200k200(0.02

12、)k(0.98)200-k<0.01l=np=200´0.02=4.5e-44kP(X³N)gå<0.01 k!k=N+1¥查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段 p=1 34所以 P(X=4)=C5()134210=. 32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1） 设X表

13、示5次独立试验中A发生的次数，则X6（5，0.3）kP(X³3)=åC5(0.3)k(0.7)5-k=0.16308k=35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb（7，0.3）kP(Y³3)=åC7(0.3)k(0.7)7-k=0.35293k=3710.某公安局在长度为t的时间间隔 (2) P(X³1)=1-P(X=0)=1-e, k=0,1,2 -52 11.设PX=k=C2p(1-p)PY=m=C4p(1-p)mm4-m2-k, m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX1=5，试求PY1. 96【解】

14、因为P(X³1)=54，故P(X<1)=. 99而 P(X<1)=P(X=0)=(1-p)24, 91即 p=. 3故得 (1-p)=2从而 P(Y³1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)=465»0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,l=np=2000´0.001=2e-225=0.0018 得 P(X=5)»5!13.进行某种试验，成功的概率为31

15、，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X=1,2,L,k,L13P(X=k)=()k-1 44P(X=2)+P(X=4)+L+P(X=2k)+L131313=+()3+L+()2k-1+L 444444131= 41-(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年

16、”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则Xb(2500,0.002)，则所求概率为P(2000X>30000)=P(X>15)=1-P(X£14)由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有7e-55kP(X>15)»1-å»0.000069 k!14k=0(2) P(保险公司获利不少于10000)=P(30000-2000X³10000)=P(X£10) 10»åe-55k»0.986305k=0k!即保险

17、公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000）=P(30000-2000X³20000)=P(X£5)5»åe-55k k=0k!»0.615961即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -&lt;x&lt;+,求：（1）A值；（2）P0&lt;X&lt;1; (3) F(x).【解】（1） 由ò¥-¥f(x)dx=1得1=ò¥Ae-|x|dx=2ò

18、5;-¥0Ae-xdx=2A故 A=12. (2) p(0<X<1)=12ò10e-xdx=1-12(1-e)(3) 当x&lt;0时，F(x)=òx1-¥2exdx=12ex当x0时，F(x)=òx1-¥2e-|x|dx=ò01-¥2xdx+òx102e-xdx=1-1-x2eì1xx<0故 F(x)=ïïí2e, ï1-12e-xïîx³016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的

19、密度函数为ì100f(x)=ïíx2,x³100,ïî0,x<100.求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；8（3） F（x）.【解】1001dx=. ò100x2328p1=P(X>150)3=()3= 32741122(2) p2=C3()= 339（1） P(X£150)=150(3) 当x&lt;100时F（x）=0当x100时F(x)=òx-¥100f(t)dt f(t)dt+òx100ò

20、-¥xf(t)dt 100100t=1- ò100t2xì100,x³100ï1-故 F(x)=í xïx<0î0,17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，中任意小区间由题意知X0,a，密度函数为ì1ï,0£x£a f(x)=íaï其他î0,故当x&lt;0时F（x）=0当0xa时F(x)=当x&gt;a时，F（x）=1即分布函数 òx-¥f(t)dt=òf(

21、t)dt=ò0xx01xt= aaì0,ïxïF(x)=í,ïaïî1,x<00£x£a x>a18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即ì1ï,2£x£5 f(x)=í3ï其他î0,9P(X>3)=ò故所求概率为 5312dx= 3323202221p=C3()+C3()= 33332719.设顾客在某银行的窗口等待服务

22、的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】依题意知XE()，即其密度函数为xì1-5ïe,x>0 f(x)=í5ï0,x£0î1515该顾客未等到服务而离开的概率为x1-5P(X>10)=òedx=e-2 105¥Yb(5,e-2),即其分布律为kP(Y=k)=C5(e-2)k(1-e-2)5-k,k=0,1,2,3,4,5P(Y³1)=1-P(Y

23、=0)=1-(1-e)=0.5167-2520.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，XN（40，102），则æx-4060-40öP(X<60)=Pç<÷=F(2)=0.97727 10øè10若走第二条路，XN（50，42），则

24、30;X-5060-50öP(X<60)=Pç<÷=F(2.5)=0.9938+ 4øè4故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若XN（40，102），则æX-4045-40öP(X<45)=Pç<÷=F(0.5)=0.6915 1010èø若XN（50，42），则æX-5045-50öP(X<45)=Pç<÷=F(-1.25) 4øè410=1-F(1.25)=0.1056故走第一条路乘

25、上火车的把握大些.21.设XN（3，22），（1） 求P2&lt;X5，P-4&lt;X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） P(2<X£5)=Pçæ2-3X-35-3ö<£÷ 22øè2æ1öæ1ö=F(1)-Fç-÷=F(1)-1+Fç÷ è2øè2ø=0.8413-1+0.6915=0.5328æ-4-3X-310-3

26、46;P(-4<X£10)=Pç<£÷ 22øè2=Fçæ7öæ7ö-F÷ç-÷=0.9996 è2øè2øP(|X|>2)=P(X>2)+P(X<-2)æX-32-3öæX-3-2-3ö=Pç>+P<÷ç÷2222øèøèæ1ö

27、0;5öæ1öæ5ö =1-Fç-÷+Fç-÷=Fç÷+1-Fç÷ è2øè2øè2øè2ø=0.6915+1-0.9938=0.6977P(X>3)=P(X-33-3>)=1-F(0)=0.5 22(2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X-

28、10.05|>0.12)=PçæX-10.050.12ö>÷ 0.060.06èø=1-F(2)+F(-2)=21-F(2)=0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允许最大不超过多少？ 【解】P(120<X£200)=Pçæ120-160X-160200-160ö<£÷ sssèø11æ40öæ-40öæ40&#

29、246; =Fçès÷ø-Fçès÷ø=2Fçès÷ø-1³0.8故 s£401.29=31.2524.设随机变量X分布函数为F（x）=ìíA+Be-xt,x³0,î0,x<0.(l>0),（1） 求常数A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.ìlimF(x)=1【解】（1）由ïíx®+¥得ìïîxlim

30、®0+F(x)=íA=1xlim®0-F(x)îB=-1（2） P(X£2)=F(2)=1-e-2lP(X>3)=1-F(3)=1-(1-e-3l)=e-3l(3) f(x)=F¢(x)=ìíle-lx,x³0î0,x<025.设随机变量X的概率密度为ì0£x<1,f（x）=ïx,í2-x,1£x<2,ïî0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.【解】当x&lt;0时F（x）

31、=0当0x&lt;1时F(x)=òxx-¥f(t)dt=ò0-¥f(t)dt+ò0f(t)dtxx2=ò0tdt=2当1x&lt;2时F(x)=òx-¥f(t)dt=ò0f(t)dt=ò1x-¥0f(t)dt+ò1f(t)dt=ò10tdt+òx1(2-t)dt=1+2xx232-2-2-x2=2+2x-112当x2时F(x)=òx-¥f(t)dt=1x<00£x<1 ì0,ï2

32、ïx,ï2故 F(x)=í2ï-x+2x-1,ï2ïî1,1£x<2x³226.设随机变量X的密度函数为（1） f(x)=ae-l|x|,&gt;0;ìbx0<x<1,(2) f(x)=ï,í11£x<2, ïx2,î0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.【解】（1） 由ò¥¥ò¥-¥f(x)dx=1知1=òae-l|x|dx=2a

33、e-lxd2a-¥ x=l 故 a=l2 ì即密度函数为 f(x)=ïlïí2e-lx,x>0ïlïî2elxx£0当x0时F(x)=òx-¥f(x)dx=òxl-¥2lxdx=12elx 当x&gt;0时F(x)=òx-¥f(x)dx=ò0llx-¥2lxdx+òxl 2-dx=1-1-lx2e 故其分布函数ì1-1-lxF(x)=ïïí2e,x>01&#

34、239;2elxïî,x£0(2) 由1=ò¥-¥f(x)dx=ò1bxdx+21b0ò1x2dx=2+12得 b=1即X的密度函数为 130<x<1ìx,ï1ïf(x)=í2,1£x<2ïx其他ïî0,当x0时F（x）=0x0x当0&lt;x&lt;1时F(x)=ò-¥f(x)dx=ò-¥f(x)dx+ò0f(x)dx=òx0dx=x2x2当

35、1x&lt;2时F(x)=òx-¥f(x)dx=ò00dx+ò1xdx+x1-¥0ò1x2dx=32-1x当x2时F（x）=1故其分布函数为ìï0,x£0ïx2,0<x<1F(x)=ïí2ï3-1ï,1£x<2ï2xî1,x³227.求标准正态分布的上a分位点，（1）a=0.01，求za;（2）a=0.003，求za，za/2.【解】（1） P(X>za)=0.01即 1-F(za)=

36、0.01 即 F(za)=0.09 故 za=2.33（2） 由P(X>za)=0.003得1-F(za)=0.003即 F(za)=0.997 查表得 za=2.75 14由P(X>za/2)=0.0015得1-F(za/2)=0.0015即 F(za/2)=0.9985查表得 za/2=2.96求Y=X的分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9P(Y=0)=P(X=0)=15117+=61530 P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=1P(Y=4)=P(X=-2)=511P(Y=9)=P(X=3)=30故Y的分布律为29.设PX=k=(k), k=1,2,令 2ì

37、;1,当X取偶数时 Y=í-1,当X取奇数时.î求随机变量X的函数Y的分布律.【解】P(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)+L+P(X=2k)+L111=()2+()4+L+()2k+L222 111=()/(1-)=443P(Y=-1)=1-P(Y=1)=30.设XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.15 2 3【解】（1） 当y0时，FY(y)=P(Y£y)=0当y&gt;0时，FY(y)=P(Y£y)=P(ex£y)=P(X£lny)=ò

38、lny-¥fX(x)dx故fdFY(y)1-ln2y/Y(y)=dy=yf(lny)=2x,y>0(2)P(Y=2X2+1³1)=1当y1时FY(y)=P(Y£y)=0 当y&gt;1时FY(y)=P(Y£y)=P(2X2+1£y)=PçæX2£y-1ö=Pæè2÷øççX£è =fX(x)dx故fdY(y)=fædyFY(y)=X+fXççèùú

39、50;û =-(y-1)/4,y>1(3) P(Y³0)=1当y0时FY(y)=P(Y£y)=0 当y&gt;0时FY(y)=P(|X|£y)=P(-y£X£y) =òy-yfX(x)dx 故fdY(y)=dyFY(y)=fX(y)+fX(-y)=-y2/2,y>031.设随机变量XU（0,1），试求：（1） Y=eX的分布函数及密度函数；（2） Z=-2lnX的分布函数及密度函数.【解】（1） P(0<X<1)=1 16故 P(1<Y=eX<e=) 1当y£1时FY(y

40、)=P(Y£y)=0 当1&lt;y&lt;e时FY(y)=P(eX£y)=P(X£lny)=òlny0dx=lny当ye时FY(y)=P(eX£y)=1 即分布函数ì0,y£1FïY(y)=ílny,1<y<eïî1,y³e故Y的密度函数为ì1f(y)=ïíy,1<y<eYïî0,其他（2） 由P（0&lt;X&lt;1）=1知P(Z>0)=1当z0时，FZ(z)

41、=P(Z£z)=0 当z&gt;0时，FZ(z)=P(Z£z)=P(-2lnX£z) =P(lnX£-z)=P(X³e-z/22)=ò1e-z/2dx=1-e-z/2即分布函数F)=ìí0,z£0Z(zî1-e-z/2,z>0故Z的密度函数为ìf(z)=ï1í2e-z/2,z>0Zïî0,z£032.设随机变量X的密度函数为ìf(x)=ï2xí2,0<x<,ï

42、38;0,其他.17试求Y=sinX的密度函数.【解】P(0<Y<1)=1当y0时，FY(y)=P(Y£y)=0当0&lt;y&lt;1时，FY(y)=P(Y£y)=P(sinX£y)=P(0<X£arcsiny)+P(-arcsiny£X<)2x2xdx+ò02ò-arcsiny2dx1122=2arcsiny）+1-2-arcsiny） 2 =arcsiny =arcsiny当y1时，FY(y)=1故Y的密度函数为 ì20<y<1ïfY(y)=

43、37; ï0,其他î33.设随机变量X的分布函数如下：ì1,ïF(x)=í1+x2ïî(2),试填上(1),(2),(3)项.【解】由limF(x)=1知填1。 x®¥x<(1)x³, (3).F(x)=F(x0)=1知x0=0，故为0。 由右连续性lim+x®x0从而亦为0。即ì1,x<0ï F(x)=í1+x2ïx³0î1,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设Ai=第i

44、枚骰子出现6点。（i=1,2）,P(Ai)=抛掷出现6点。则 1.且A1与A2相互独立。再设C=每次6P(C)=P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)-P(A1)P(A2)18111111+-´= 66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。 36 =35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则Xb(n,0.1)0nP(X³1)=1-P(X=0)=1-C0n(0.1)(0.9)³0.9即 (0.9)n£0.1得 n22即随机数字序列至少要有22个数字。36.已知&#

45、236;ï0,ï1ïF（x）=íx+,2ïï1,ïîx<0,10£x<, 21x³.2则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.（A） 连续型； （B）离散型；（C） 非连续亦非离散型. 【解】因为F（x）在（-,+）上单调不减右连续，且limF(x)=0 x®-¥x®+¥limF(x)=1,所以F（x）是一个分布函数。但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间a,b上，随

46、机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间 a,b等于（ ）(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,【解】在0,上sinx0，且在0,上在-3. 22ò/20sinxdx=1.故f(x)是密度函数。 ò0sinxdx=2¹1.故f(x)不是密度函数。 ,0上sinx£0，故f(x)不是密度函数。 233在0,上，当<x£时，sinx&lt;0，f(x)也不是密度函数。 22故选（A）。1938.设随机变量XN（0，2），问：当取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？【解

47、】因为XN(0,s),P(1<X<3)=P(21s3<Xs<3s) =F()-F()令g(s) 1ss利用微积分中求极值的方法，有g¢(s)=(-3s311¢¢)F()+F() 22sss=-9/2s22-1/2s22=-1/2s-8/2s1-3e=0令 得s0=24,则s0= ln3又 g¢¢(s0)<0故s0<X落入区间（1，3）的概率最大。 故当s=39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（），每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这

48、种物品的人数Y的分布律. e-llm,m=0,1,2,L 【解】P(X=m)=m!设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Yb(m,p)，即km-kP(Y=k|X=m)=Ck,k=0,1,L,m mp(1-p)由全概率公式有P(Y=k)=åP(X=m)P(Y=k|X=m)m=k¥20e-llmkk=ågCmp(1-p)m-km!m=k¥=e=e-lm=k-låk!(m-k)!p(lp)kk!¥¥lmk(1-p)m-k l(1-p)m-kå(m-k)!m=k(lp)k-ll(1-p)=eek!(lp

49、)k-lp=e,k=0,1,2,Lk!此题说明：进入商店的人数服从参数为的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为p.40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布.【证】X的密度函数为ì2e-2x,x>0 fX(x)=íx£0î0,由于P（X&gt;0）=1，故0&lt;1-e-2X&lt;1，即P（0&lt;Y&lt;1）=1当y0时，FY（y）=0当y1时，FY（y）=1当0&lt;y&lt;1时，FY(y)=P(Y

50、3;y)=P(e-2x³1-y)1=P(X£-ln(1-y)2=ò即Y的密度函数为 1-ln(1-y)202e-2xdx=yì1,0<y<1 fY(y)=íî0,其他即YU（0，1）41.设随机变量X的密度函数为ì1ï3,0£x£1,ïï2f(x)=í,3£x£6,ï9其他.ï0,ïî若k使得PXk=2/3，求k的取值范围. (2000研考)【解】由P（Xk）=21知P（X&lt;k）=

51、 33若k&lt;0,P(X&lt;k)=0211k1dx=ò033£31 当k=1时P（X&lt;k）= 311k1若1k3时P（X&lt;k）=òdx+ò0dx= 031311k2211若3&lt;k6，则P（X&lt;k）=òdx+òdx=k-¹ 0339933若0k1,P(X&lt;k)=k若k&gt;6,则P（X&lt;k）=1故只有当1k3时满足P（Xk）=42.设随机变量X的分布函数为 2. 3x<-1,ì0,ï0

52、.4,-1£x<1,ïF(x)=íï0.8,1£x<3,ïx³3.î1,求X的概率分布. （1991研考）【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则 Xb(3,p)由P（X1）=故p=198知P（X=0）=（1-p）3= 27271 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=

53、0有实根的概率是多少？【解】ì1ï,1<x<6 f(x)=í5ïî0,其他P(X2-4³0)=P(X³2)+P(X£-2)=P(X³2)=45.若随机变量XN（2，2），且P2&lt;X&lt;4=0.3，则PX. 【解】0.3=P(2<X<4)=P(4 52-2s<X-2s<4-2s)22=F()-F(0)=F()-0.5 ss22故 F(2s)=0.8X-2因此 P(X<0)=P(s2<0-2s)=F(-2s) =1-F()=0.2 s4

54、6.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（1） 全部能出厂的概率；（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率.【解】设A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则A=能直接出厂，AB=经调试后能出厂由题意知B=AAB，且P(A)=0.3,P(B|A)=0.8P(AB)=P(A)P(B|A)=0.3´0.8=0.24P(B)=P(A)+P(AB)=0.7+0.24=0.94令X为新生产的n台仪

55、器中能出厂的台数，则X6（n，0.94）,故a=P(X=n)=(0.94)nn-2b=P(X=n-2)=C2(0.06)2 n(0.94)q=P(X£n-2)=1-P(X=n-1)-P(X=n)=1-n(0.94)n-10.06-(0.94)n47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则XN（72，2）24æX-7296-72ö0.023=P(X³96)=Pç³=1-F() 

56、7;sssèø故 F(查表知从而XN（72，12）故 P(60£X£84)=Pç224s)=0.977 24s=2,即=12 æ60-72X-7284-72ö££÷ 1212øè1223=F(1)-F(-1)=2F(1)-1=0.68248.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252）.试求：（1） 该电子元件损坏的概率;(2) 该电子元件损坏时，电源

57、电压在200240V的概率【解】设A1=电压不超过200V，A2=电压在200240V，A3=电压超过240V，B=元件损坏。由XN（220，252）知P(A1)=P(X£200)æX-220200-220ö=Pç£÷ 25è25ø=F(-0.8)=1-F(0.8)=0.212P(A2)=P(200£X£240)æ200-220X-220240-220ö=P磣÷ 252525èø=F(0.8)-F(-0.8)=0

58、.576P(A3)=P(X>240)=1-0.212-0.576=0.212由全概率公式有a=P(B)=åP(Ai)P(B|Ai)=0.0642i=13由贝叶斯公式有b=P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)»0.009 P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】fX(x)=íì1,1<x<2 î0,其他因为P（1&lt;X&lt;2）=1,故P（e2&lt;Y&lt;e4）=1当ye2时FY（y）=P(Yy)=0.当e2&am

59、p;lt;y&lt;e4时，FY(y)=P(Y£y)=P(e=P(1<X£1-lny212X£y) 1lny) 2 =òdx=1lny-1 224当ye4时，FY(y)=P(Y£y)=1ì0,y£e2ïï1即 F=í24Y(y)2lny-1,e<y<eïïî1,y³e4ì故 fï1,e2<y<e4Y(y)=í2yïî0,其他50.设随机变量X的密度函数为f(x)=

60、36;íe-x,x³0,X0,x<0.î求随机变量Y=eX的密度函数fY(y).【解】P（Y1）=1当y1时，FY(y)=P(Y£y)=0 当y&gt;1时，FY(y)=P(Y£y)=P(eX£y)=P(X£lny) =òlnyx0e-dx=1-1yì即 Fï1-1y,y&gt;1Y(y)=íïî0,y£1ì1故 f)=ïíy2,y&gt;1Y(yïî0,y£151.

61、设随机变量X的密度函数为f1X(x)=(1+x2),求Y=1-x的密度函数fY(y).【解】FY(y)=P(Y£y)=P(1y)=P(X³(1-y)3) (1995研考)25=ò11dx=x(1-y)3(1+x2)¥¥(1-y)3=1é3ù-arctg(1-y)úêë2û3(1-y)2故 fY(y)= 1+(1-y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间 FT(t)=í t<0î0,即间隔时间T服从参数为的指数分布。e-16l-8l（2） Q=P(T>

62、16|T>8)=P(T>16)/P(T>8)=-8l=e e53.设随机变量X的绝对值不大于1，PX=-1=1/8，PX=1=1/4.在事件-1&lt;X&lt;1出现的条件下，X在-1，1 (1997研考)【解】显然当x&lt;-1时F（x）=0；而x1时F（x）=1 由题知P(-1<X<1)=1-115-= 848x+1 2当-1&lt;x&lt;1时，P(X£x|-1<X<1)=此时F(x)=P(X£x)=P(X£,-1<X<1)+P(X£x,X=-1)+

63、P(X£x,X=1)=P(X£x,-1<X<1)+P(X£x,x=-1)=P(X£x|-1<X<1)P(-1<X<1)+P(X=-1)=x+15151+=(x+1)+2881681 8当x=-1时，F(x)=P(X£x)=P(X=-1)=故X的分布函数26x<-1ì0,ï51ïF(x)=í(x+1)+,-1£x&lt;18ï16x³1ïî1,54. 设随机变量X服从正态分N（1,12),Y服从正态分布N(2

64、,22)，且P|X-1|&lt;1&gt;P|Y-2|&lt;1，试比较1与2的大小. (2006研考) 解： 依题意X-m1s1gN(0,1)，Y-m2s2gN(0,1)，则PX-m1<1=PX-m1s1Y-m2<1s11，PY-m2<1=P因为PX-m1<1>PY-m2<1，即s2<s2.PX-m1s11<1s1>PY-m1s2<1s2，所以有s1>1s2，即s1<s2.习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y

65、的联合分布律. 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 27 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为ìïsinxsiny,0£x£,0£y£F（x，y）=í22ï其他.î0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域í0<x£【解】如图P0<X£ìî,<y£46üý内的概率. 3þ,<Y£公式

66、(3.2) 463F(,)-F(,)-F(0,)+F(0,) 434636 =singsin-singsin-sin0gsin+sin0gsin434636 =1).题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度ìAe-(3x+4y),x>0,y>0,f（x，y）=í 其他.î0,求：（1） 常数A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P0X&lt;1，0Y&lt;2.28【解】（1） 由ò+¥+¥-¥ò-¥f(x,y)dxdy=

67、2;+¥0ò+¥0Ae-(3x+4y)dxdy=A12=1 得 A=12（2） 由定义，有F(x,y)=òyòx-¥-¥f(u,v)dudvìyy-(3u+4v)dudvì(1-e-3x=ïíò0ò012e=í)(1-e-4y)y>0,x>0,ïî0,î0,其他(3) P0£X<1,0£Y<2=P0<X£1,0<Y£2 =ò1)0ò

68、2(3x+4y012e-dxdy=(1-e-3)(1-e-8)»0.9499.5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=íìk(6-x-y),0<x<2,2<y<4,î0,其他.（1） 确定常数k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX&lt;1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性质有ò+¥+¥4-¥ò-¥f(x,y)dxdy=ò20ò2k(6-x-y)dydx=8k=1, 故 R=18（2） PX<1,Y<3=ò1ò3-&