第二章 机械手的运动

1、第二章 机械手的运动运动是机械手的基本要求，运动学是机械手的基本内容。首先介绍机械手的结构结构；处理其运动时的物理量运动时的物理量-自由度自由度。其次，随同坐标变换说明手爪位置与关节变量的明手爪位置与关节变量的关系关系，以及手爪速度与关节速度的关系手爪速度与关节速度的关系，雅可比矩阵的表示法，并说明手爪力与关节驱动力的关明手爪力与关节驱动力的关系系。最后利用关节驱动力表示机械手的运动方程和表关节驱动力表示机械手的运动方程和表示运动质量特性的惯性矩示运动质量特性的惯性矩。2.1 机械手运动的表示方法2.1.1机械手的结构机械手（Manipulator):有时也称机器人手臂，或操作手机械手的组成：

2、连杆，关节，基座，作业对象，手爪（末端执行器），传感器，驱动器（电机），减速器等机械手的自由度：独立运动位置变量数，通常与关节（驱动器）的数目有关。图2.1的自由度为二。操作手臂的座标形式（结构形式)操作手臂的座标形式（结构形式)直角坐标式：三个关节分别沿 X,Y,Z运动圆柱坐标式：三个关节的主要运动为zPxPz球坐标式：三个关节的主要运动为zxPr多关节式：三个关节的主要运动为zxxSCALAR：三个关节的主要运动为Pzzz并联机器人2.1.2 机械手的机构和运动学关节：回转关节、移动关节（棱柱形），用关节变量来表示12机械手的机构:去掉减速器、执行器等，只保留与运动有关的连杆和关节。用一个

3、运动简图来表示。2.1.2 机械手的机构和运动学手爪的位置（姿势），是我们感兴趣的。这种研究手爪的姿势与关节变量之间的关系叫运动学。运动学。图2.2中，手爪的位置r与关节变量可表示为:21,yxr2.1.2 机械手的机构和运动学2.1 coscos21211LLx 2.2 sinsin21211LLy 2.3 fr 手爪的位置和各关节变量的关系可表示为：已知1 2求r称为运动学正解运动学正解（正运动学）2.1.2 机械手的机构和运动学 2.7 1rf已知r求12称为运动学逆解运动学逆解（逆运动学）如图2.3，解析式如下：对该式进行求导可得到速度、加速度的方程2.1.2 机械手的机构和运动学2.

4、4 22.5 cossintantan22122111LLLxy2.6 2cos212221221LLLLyx 1 2 的解析式为：因有两个解， 12 也有两个解，一般逆运动学都有多解问题。2.1.3 机械手运动学、静力学、动力学的关系静力学静力学：在静止状态下研究手爪力F与关节驱动力之间的关系动力学动力学：研究关节驱动力手爪力F作用下各关节产生的关节位置速度加速度之间的关系2.1.3 机械手运动学、静力学、动力学的关系r,r, r”,”F动力学运动学静力学动力学图2.6 运动学动力学静力学的关系2.2 手爪位置和关节变量的关系2.2.1 手爪位置和姿态的表示方法 定义以下坐标系：B：基准坐标

5、系（OB-XBYBZB,固定在基座上）E：手爪坐标系（OE-XEYEZE,固定在手爪上）手爪到基座的变换除了旋转变换外还有平移变换。下面讨论手爪坐标系中任意一矢量到基座坐标系的变换。2.17 EBPEEBPBEBEBPPRPRP已知则有，若2.2.1 手爪位置和姿态的表示方法列数。数表示矩阵（向量）的行标系，右上角左上角字母表示描述坐姿态变换矩阵，看从的位置矢量指向由EBEBEBEBRRooRP:33132.8 zByBxBEBeeeR 2.2.2 姿态变换矩阵为了说明方便，在二维坐标系用右图的A 和B来说明 ,yBxBByAxAAppPppP2.9 PepATxAxB2.10 PepATyA

6、yB2.11 PRPAABB2.2.2 姿态变换矩阵A 到B进行向量变换的矩阵称为姿态变换矩阵（又称旋转矩阵）2.12 TyATxAABeeRcos( )sin( )sin( )cos( )cos( )sin( )sin( )cos( )BAABRR考虑机器人坐标系中 定义时的方向则2.2.2 姿态变换矩阵姿态变换矩阵是一个正交矩阵M-1=MT单位矩阵1001yATyAxATyAyATxAxATxAyAxATyATxATABABeeeeeeeeeeeeRR13. 2RRTAB-1AB 2.14 PRPRPTBAB-1BABA 2.15 PRPBBAA 2.16 RBAyAxATABeeR姿态变

7、换矩阵BAABxAyAyByAxAxByBxBByAxAARRppppppppppppppPppP定义相反。用的是的定义与机器人的这里的方向一定注意）,)cos()sin()sin()cos()sin()cos(cos()sin()sin()cos()sin()sin()cos(sin()sin()cos()cos()cos( ,2.2.3 齐次变换矩阵手爪到基座的变换除了旋转变换外还有平移变换。下面讨论手爪坐标系中任意一矢量到基座坐标系的变换。2.17 EBPEEBPBEBEBPPRPRP已知则有，若2.2.3 齐次变换矩阵式2.19就是一个齐次变换矩阵，只用一个矩阵就可表示其间的变换关系，

8、三维情况一样2.18 11PEEBPBPTP 2.19 1033RPRTTEBEBEB写成矩阵形式:2.2.3 齐次变换矩阵右图所示机器人的齐次变换矩阵：2.20 10 ,11TEBEBEBPEEBPBPRTPTP2.21 10 ,1111111TBBBPBPBPRTPTP 2,22 10 ,112121212211TPPPRTPTP 2.23 10 ,1122222TEEEPEEPPRTPTP2.24 2211EBEBTTTT 2.2.3 齐次变换矩阵根据定义可得到各矩阵的表达式：.sin,cos,2.25 R ,00111, 111111B1分别表示式中SCCSSCPB 222222222

9、1121sin,cosSC,2.26 R ,0分别表示式中CSSCLP 2.27 1001R ,0222EELP 2.28 1000011111CSSCTB 2.29 10002222221CSLSCT 2.2.3 齐次变换矩阵2.30 1000100112LTE211221121221112121221112121121212212121211121212212121212221221111sinS ,cos2.31 10010010001001100010000CSLSLCSCLCLSCSLSCCSLCCSSSCCSCLSSCCLCSSCSSCCLCSLSCCSSCTEB式中：一般情况下的

10、三维坐标系建立一般情况下的三维坐标系建立标准的三维基本坐标变换 111111111111111sinS ,cos1000100010001001000000110000CpppPCSSCRCSSCRCSSCRzyxEByxz式中：),(),(),(),(11iiiiiiiixRotaxTransdzTranszRot相邻两坐标系的矩阵变换坐标系后置的两构件坐标系前置的两构件前置的传递函数后置的传递函数10000)()()()(1111111111,1, 11, 11iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiicdccssssdsccscascTzRotdzTransaxTrans

11、xRotT10000),(),(),(),(1111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiidcssascccscasscscTxRotaxTransdzTranszRotT注意的问题的变量变换到坐标系矩阵中的参数一定是把一定为：的变换到坐标系顺序一致矩阵的乘积一定与变换变换一定注意顺序，112231111.nnnnnnnAATTTTTAA2.2.3 齐次变换矩阵用齐次变换矩阵表示机械手爪与基座的关系步骤如下： 1.定义各个关节的连杆坐标系，用连杆长度，关节变量，（扭角，截矩）表示相邻坐标系的姿态和位置关系。 2.写出相邻坐标系的齐次变换矩阵。 3.通过相邻关节齐次变换的连乘

12、积得到手爪的齐次变换矩阵。一般情况下，机器人的变换矩阵求解过程与此相同，不过维数和参量稍有不同，三维用Denavit-Hartenberg表示。机器人的其他位置量工作空间 机械手正常运行时，手腕机械接口坐标系的原点能在空间活动的最大范围。或者说原点可达点占有的空间体积。工作空间内的点的灵活性和灵活度的度量 在工作空间内的某一点所具有的姿态数的多少机器人位置分析的逆解问题。机器人的路径规划：根据作业要求，确定机器人末端执行器在工作流程中位置变化的路径，取向以及速度、加速度的变化情况（两点之间的规划，连续路径规划等）2.3 雅克比矩阵2.3.1雅克比矩阵的定义 一般情况下的手爪和关节变量运动学方程

13、为: 2.32 fr 121121,nnmTmRRrrrr2.33 m,1,2j ,21nijfr在nm的情况下，手爪的位置有无穷多个解，这时的机器人为冗余机器人。冗余机器人。一般情况n=m=3,62.3.1雅克比矩阵的定义2.34 Jr 2.35 1111nmnmmnTRfffffJ2.36 Jddr 对位置方程进行求微分得：J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系，称之为雅克比矩雅克比矩阵阵。两边乘以t，可得到微小位移之间的关系式2.3.1雅克比矩阵的定义例2.1：求图2.2所示机械手的雅克比矩阵。解：（1）建立坐标系，写出位移方程2112211211111221112211sinS ,co

14、sC ,sinS ,cos2.38 Ly2.37 CSLSCLCLx式中：2.39 x ,1222122111SLSLSLx2.40 y ,1222122111CLCLCLy2.41 1221221112212211CLCLCLSLSLSLJ注意雅克比矩阵是位置的函数 （2）对位移方程求导求雅克比矩阵2.3.2 关节速度和手爪速度之间的关系2.44 2.43 J ,2.42 J ,221112212221221112211112i21JJrCLSLCLCLSLSLJRJJJ 用例2.1说明雅克比矩阵的物理意义:根据关节变量把J写成如下形式。则J1、J2分别为单位关节速度在手爪位置产生的速度分量

15、。即由图中的PE,1,PE,2反时针转动90度而成2.3.2 关节速度和手爪速度之间的关系证明如下：2.45 01102cos2sin2sin2cos1122111221112211122111 ,JCLCLSLSLSLSLCLCLPE2.46 01102cos2sin2sin2cos21221221221222,JCLSLSLCLPE2.4 手爪力与关节驱动力的关系2.4.1虚功原理 一个受理想约束的力学系统实现平衡的充分必要条件是对结构上允许的任意虚位移外力所作的功之和为零。例2.2 图示杠杠，FA已知求FB2.4.1虚功原理解：由虚功原理FA FB作的虚功为：2.47 0BBAAxFxF

16、2.48 x,BBAALLx2.49 0BBAALFLF2.50 0ABABBBAAFLLFLFLF2.4.2 机械手静力学关系的推导虚功原理非常适合系统外力之间的关系推导，这里虚功原理推导机械手静力学关系，假定：关节驱动力手爪力关节的虚位移，手爪的虚位移， R, R, F , ,1nT11mT1111, 1nmnTmTmffRRrrr2.4.2 机械手静力学关系的推导2.52 0rFTT2.53 Jr 2.54 0JFTT2.55 FJ 0TJFTT2.51 rFWTT2.4.2 机械手静力学关系的推导例2.3 在 FA FB 分别作用下的驱动力A B解：radrad2 ,021TyTxAf

17、fF0F 0B0LL-L-1221221221112212211CLCLCLSLSLSLJxxAfLfL22x212ATL-0f0LL- FJ0Lf00LL- FJ1y212BTyBfL2.5 机械手运动方程的求解2.5.1 惯性矩通过把质点的平移运动改作回转运动来了解惯性矩的物理意义。2.56 Fxm 2.57 rx2.58 rNF 2.59 2Nmr 2.60 NI 2.61 2mrI 2.5.1 惯性矩I 相当于作平移运动时的质量，称为惯性矩，惯性矩，其计算如下：2.62 dVdm2.63 22dVrdmrdI2.64 2dVrdII2.5.1 惯性矩（转动惯量）例2.4 求图示均质杆绕

18、一端的惯性矩解：LM dxdm 2.65 3132030222MLxLMdxxIdxxdmxdILL2.66 1213222203220MLxLMdxxILLc例2.5 绕质心的惯性矩一般情况下的转动惯量zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIIII刚体饶任意点的转动可以分解为过该点的三个坐标轴的转动，其转动惯量可表示为：一般情况下的转动惯量其中dmxyIdmzxIdmzyIzzyyxx)()()(222222轴转动惯量xzdmIIyzdmIIxydmIIzxxzyzzyyxxy惯性积一般情况下的转动惯量惯性主轴 由矩阵理论可知，当I是3X3实对称时，总存在一个正交变换R,使I在S坐

19、标系中成为右示的形式。我们知道Ixx ,Iyy ,Izz （其中至少有两个互不相等）是该矩阵的特征根。由此可以求出与之相对应的三个互相垂直的特征向量I,j,k为坐标轴就构成了坐标系S,其三个主轴成为惯性主轴。一般来说，过质心的三个互相垂直的主轴就是惯性主轴zzyyxxIIII000000一般情况下的转动惯量例：求图示六面体在所建坐标系中的转动惯量。解：令dxdydzdm)(3)()(3)()(3)33()()()(222222222230 0 03220 0 02222wlMdmxyIhwMdmzxIhlMlwhwhldxdydzzydmzydmzyIzzyyh l wh l wxx同理轴转动

20、惯量hlw均值矩形体yxz一般情况下的转动惯量hlMIhwMIwlMdxdydzxyxydmIyzxzh l wxy4440 0 0同理惯量积)(3444)(3444)(3222222wlMhlMhwMhlMhwMwlMhwMwlMhlMIIIIIIIIIIzzzyzxyzyyyxxzxyxx2.5.2 牛顿、欧拉方程单一的刚体运动方程可用下式表示（牛顿方程和欧拉方程）：2.68 2.67 NIIFmCCCC绕刚体任意点的转动上式仍成立2.5.2 牛顿、欧拉方程利用欧拉方程建立图示机械手的运动方程2.69 0000000I ,00 III2.70 cos00CmgLN2.71 cosCmgLI 2.72 2CCmLII2.68 NIICC2.5.3拉格朗日运动方程式q为广义位移，为广义力，L为拉格朗日算子，K系统动能，P系统势能。对于单自由度机械手，若为广义坐标则：2.73 qLqLdtd2.74 PKL2.75 coscos,sin21,sinP ,2122CCCCmgLImgLLILmgLILmgLIK 拉格朗日方程可表示为：2.5.3拉格朗日运动方程式对图示的两自由度机械手，写出其运动方程:解：取12为广义坐标，则12为对应的广义力2.76 21212111111CCTCIPPmK2.77 1111SgLmPC2.78 212122122222CCTCIPPmK向量。个连