力学基本定律

1、伽利略伽利略牛顿牛顿 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考，被选作参考的物体称为物体作为参考，被选作参考的物体称为参考系参考系。同一物体的运动，选择不同的参同一物体的运动，选择不同的参考系，对其运动的描述就会不同考系，对其运动的描述就会不同参考系不一定是静止的参考系不一定是静止的一、参考系一、参考系1-1 参考系参考系 坐标系坐标系 物理模型物理模型研究地球上物体的运动，通常选地球为参考系。研究地球上物体的运动，通常选地球为参考系。二、坐标系二、坐标系 为了定量地描述物体相对于参考系的运动，为了定量地描述物体相对于参考系的运动，就必须在参考系

2、上建立适当的坐标系就必须在参考系上建立适当的坐标系 常用的有直角坐标系。此外，还有自然坐常用的有直角坐标系。此外，还有自然坐标系、平面极坐标系和球坐标系等。标系、平面极坐标系和球坐标系等。 当参考系选定后，无论选择何种坐标系，物当参考系选定后，无论选择何种坐标系，物体的运动性质都不会改变。然而，坐标系选择体的运动性质都不会改变。然而，坐标系选择恰当，可使计算简化恰当，可使计算简化 三、物理模型三、物理模型质点质点没有大小和形状，只具有全部质量没有大小和形状，只具有全部质量的一点。的一点。可以将物体简化为质点的两种情况可以将物体简化为质点的两种情况物体不变形物体不变形,不作转动不作转动(此时物体

3、上各点的速度及加此时物体上各点的速度及加速度都相同速度都相同,物体上任一点可以代表所有点的运动物体上任一点可以代表所有点的运动)物体本身线度和它活动范围相比小得很多物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物此时物体的变形及转动显得并不重要体的变形及转动显得并不重要)。选择合适的参考系，选择合适的参考系， 以方便确定物体的运动性质；以方便确定物体的运动性质；建立恰当的坐标系，建立恰当的坐标系， 以定量描述物体的运动；以定量描述物体的运动；提出准确的物理模型，提出准确的物理模型， 以突出问题中最基本的运动规律。以突出问题中最基本的运动规律。一一、位置矢量位置矢量 运动方程运动方程位置矢量（位矢）

4、：位置矢量（位矢）：rOP P(x,y,z)P(x,y,z)xyzO OXYZijk rkzj yixr 位矢位矢 方向方向r 位矢位矢 大小大小 r222zyxrr rx cosry cosrz cos直角坐标系中直角坐标系中1-2 1-2 运动的描述运动的描述运动方程：运动方程：)(trr ktzjtyitx)()()( )()()(tzztyytxx 分分量量式式质点运动的空间轨迹成为轨道质点运动的空间轨迹成为轨道.轨道方程轨道方程:0),( zyxFP(x,y,z)P(x,y,z)xyzO OXYZijk r轨道轨道二二、位移位移)()(1212ttrrrrrs rAr1r 2 OBk

5、zj yi xr kzj yi xkzzjyyixxr )()()(121212直角坐标系中直角坐标系中位移矢量位移矢量:在在 t时间间隔内位矢的增量时间间隔内位矢的增量位移位移大小大小222zyxr 位移位移方向方向.BA指指向向由由r2r1rx y z B AoS r 与与 的区别的区别r rr s 与与 的区别的区别r rs 路程路程 s 为为质点运动的质点运动的轨道轨道长度长度0t dsrd 元位移的大小元位移的大小元路程元路程a ) 为标量，为标量， 为矢量为矢量r r 12rrr 12rrr b )r2r1 orrABCtrv 平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度dtrdtrttrtt

6、rvtt 00lim)()(lim三三、速度速度速度是位矢对时间的一阶导数速度是位矢对时间的一阶导数速度方向：速度方向：沿运动轨迹在该点的切线方向沿运动轨迹在该点的切线方向 P Q Orrr )(tvr vkvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdvzyx 速度大小速度大小222zyxvvvvv kvjvivktzjtyitxtrvzyx 直角坐标系中直角坐标系中瞬时速度瞬时速度平均速度平均速度平均速率平均速率tsv瞬时速率瞬时速率 dtdstsvt0lim P Q Orrr )(tvr v注意注意:速度是矢量，速率是标量。速度是矢量，速率是标量。一般情况一般情况)(rs vv 单向直

7、线运动情况单向直线运动情况)(rs vv vdtrddtdsv dsrd 瞬时速率等于瞬时速度的大小瞬时速率等于瞬时速度的大小加速度是速度对时间的一阶导数加速度是速度对时间的一阶导数 或位矢对时间的二阶导数或位矢对时间的二阶导数四、加速度四、加速度平均加速度平均加速度1212)()(tttvtvtva 瞬时加速度瞬时加速度220lim)(dtrddtvdtvtatvv1v2B A ov1v21r2r加速度大小加速度大小222zyxaaaaa 直角坐标系中直角坐标系中加速度加速度kdtdvjdtdvidtdvdtvdazyxkdtzdjdtydidtxddtrd22222222kajaiazyx

8、矢量性：矢量性： 四个量都是矢量，有大小和方向四个量都是矢量，有大小和方向加减运算遵循平行四边形法则加减运算遵循平行四边形法则r arv某一时刻的瞬时量某一时刻的瞬时量不同时刻不同不同时刻不同过程量过程量瞬时性：瞬时性：相对性：相对性： 不同参照系中，同一质点运动描述不不同参照系中，同一质点运动描述不同；不同坐标系中，具体表达形式不同同；不同坐标系中，具体表达形式不同加速度加速度a位矢位矢r位移位移r 速度速度vvr、描述质点描述质点运动状态运动状态的物理量的物理量描述质点描述质点运动状态变化运动状态变化的物理量的物理量ar 、例例一质点在平面上运动，运动方程为一质点在平面上运动，运动方程为x

9、=3t+5,y x=3t+5,y =t=t2 2/2+3t-4./2+3t-4.式中式中t t以以 s s计，计，x,yx,y以以m m计计(1)(1)以时间为以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)(2)求出求出=1 s =1 s 时刻和时刻和=2s =2s 时刻的位置矢量，计算这时刻的位置矢量，计算这1 1秒内质点的位秒内质点的位移；移；(3)(3)计算计算t=0 st=0 s时刻到时刻到t=4st=4s时刻内的平均速度；时刻内的平均速度；(4)(4)求出质点速度矢量表示式，计算求出质点速度矢量表示式，计算t=4 s t=4 s 时质点的时质点的速度；

10、速度；(5)(5)计算计算t=0s t=0s 到到t=4s t=4s 内质点的平均加速度；内质点的平均加速度；(6)(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算求出质点加速度矢量的表示式，计算t=4s t=4s 时质时质点的加速度点的加速度( (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式系中的矢量式) )解：（1）mjttitr)4321()53(2(2)将t=1s,t=2s,代入上式即有jir5 . 081jir4112jirrr5 . 4312(3)jirjjr1617,

11、4540104sm534201204jijirrtrv(4)1sm)3(3ddjtitrvjiv734(5)jivjiv73,3340204sm1444jvvtva(6)2sm1ddjtva求：船的速率求：船的速率解：解：22hls hs0v例例l cos0022vvslhldtdlldtdsv0vdtdl hsl 0v0vv0vv cos0vv cos0vv0vv? 五、圆周运动五、圆周运动OXR1v2vs ABt Att B角位移角位移沿逆时针转动，角位移取正值沿逆时针转动，角位移取正值沿顺时针转动，角位移取负值沿顺时针转动，角位移取负值角位置角位置极坐标系中极坐标系中角速度角速度角加速度

12、角加速度 dtdtt 0lim单位：单位：rad/s220limdtddtdtt单位：单位：rad/s2匀速圆周运动匀速圆周运动 是恒量是恒量dtd tdtd00 t 0匀角加速圆周运动匀角加速圆周运动是恒量是恒量t 020021tt tdtd00 tdt00 一般圆周运动一般圆周运动)(20202线量线量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度角量与线量之间的关角量与线量之间的关系系RSRdtdRtRtsvttlimlim00 加速度可分为切向加速度和法向加速度（或向心加速度可分为切向加速度和法向加速度（或向心加速度），切向加速度和法向加速度的大小分别为加速度），切向

13、加速度和法向加速度的大小分别为 RdtdRdtdva22RRvan 说明：切向加速度沿着轨道切向的方向，表说明：切向加速度沿着轨道切向的方向，表示质点速率变化的快慢；法向加速度垂直于圆周示质点速率变化的快慢；法向加速度垂直于圆周的切向方向指向圆心，表示质点速度方向的改变的切向方向指向圆心，表示质点速度方向的改变而引起的速度的变化率而引起的速度的变化率 角速度也可表示为矢量角速度也可表示为矢量 规定角速度矢量的方向垂规定角速度矢量的方向垂直质点运动的平面，指向直质点运动的平面，指向由右手螺旋法则确定，即由右手螺旋法则确定，即当四指沿质点运动方向弯当四指沿质点运动方向弯曲时，大拇指的指向就是曲时，

14、大拇指的指向就是角速度的方向角速度的方向 加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反一、一、牛顿牛顿运动定律的表述运动定律的表述牛顿牛顿第一定律第一定律（Newton first law)( (惯性定律惯性定律) ) 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。包含两个重要概念：惯性和力包含两个重要概念：惯性和力 1-3 牛顿运动规律牛顿运动规律固有特性固有特性牛顿牛顿第二定律第二定律（Newton second law） 在受到外力作用时，物体所获得的加速

15、度的大在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。方向与外力的矢量和的方向相同。amF特点特点： 瞬时性；迭加性；矢量性瞬时性；迭加性；矢量性 任一时刻物体动量的变化率总是等于物体任一时刻物体动量的变化率总是等于物体所受的合外力。所受的合外力。amdtvdmF 或或mFai 牛顿第二定律的另一种形式牛顿第二定律的另一种形式（牛顿当年发表形式）（牛顿当年发表形式）iFFdtpddtvmd)(第三定律第三定律（Newton third law） 两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等

16、两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，而且指向相反的方向。的，而且指向相反的方向。21FF作用力与反作用力：作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。它们之间一一对应。、它们总是成对出现。它们之间一一对应。2、它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。、它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。3、它们一定是属于同一性质的力。、它们一定是属于同一性质的力。力学的力学的基本量基本量 19841984年年2 2月月2727日，我国国务院颁布实行以国际日，我国国务院颁布实行以国际单位制（单位制（SISI）为基础的法定单位制）为基础的法定单位制 . .物理量物理量单位名称单位名称符号符号长度长度米米质

17、量质量千克千克时间时间秒秒mkgs二、国际单位和量纲二、国际单位和量纲 SI SI的的7 7个基本量为长度、质量、时间、电流、个基本量为长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度温度、物质的量和发光强度 速率速率ts d/dvm/1s1sm1-1导出量导出量amF-2smkg1N1力力rFWddm1NJ1功功 通过物理量的定义或物理定律就可导出其他通过物理量的定义或物理定律就可导出其他物理量的单位。从基本量导出的量称为导出量物理量的单位。从基本量导出的量称为导出量 定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形成的式子成的式子 . 量纲作用量纲作用1

18、 1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系可定出同一物理量不同单位间的换算关系 . .3 3）从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位 . .2 2）量纲可检验文字结果的正误量纲可检验文字结果的正误 . .221rmmGF 212mmFrG 213TMLG量量 纲纲某一物理量某一物理量 的量纲的量纲sqpQTMLQ问问题题a=0时时 小球的状态符合牛顿定律小球的状态符合牛顿定律结论结论：凡牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系。相凡牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而

19、相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。a0时时 小球的状态为什麽不符合牛顿定律？小球的状态为什麽不符合牛顿定律？三、惯性系与非惯性系三、惯性系与非惯性系 cosrF （1) 功的定义功的定义力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。 rF rFW /F F rF F 1-4 1-4 功和能功和能 机械能守恒定律机械能守恒定律一一 、功和功率、功和功率 bardFdWW（2) 2) 变力的功变力的功 bardF cosrFW rdFdW dr b F F a 功功力的空间积累力的空间积累外力作功是外界对系统

20、过程的一个作用量外力作功是外界对系统过程的一个作用量kFjFiFFzyx kdzjdyidxrd 直角坐标系中直角坐标系中 xxzzzyyyxzdFydFdxF000 bazyxdzFdyFdxFW例例 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(21mx 处运动到处运动到)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：1. 质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx42 2. 质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xyXYO23125. 2yx42 64 xy做做功功与与路路径径有有关关)(42Nji yF Jdydxxdyy

21、dxdyFdxFWyyxxyxyxyx8 .104242)(491322,121212211 XYO23125. 2yx42 64 xyJdydxxdyydxdyFdxFWyyxxyxyxyx25.214)6(2142)(49132,221212211 bazyxBAdzFdyFdxFrdFW（3） 功率功率 力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功平均功率：平均功率：瞬时功率：瞬时功率：瞬时功率等与力与物体速度的标积瞬时功率等与力与物体速度的标积rdFdW vFdtrdFP tWP dtdWtWPt lim0二二、动能和动能和动能定理动能定理（2 2）动能定理）动能定理221mvEk （

22、1） 动能动能 2222121)21( abbabababamvmvmvdvdvmrddtvdmrdFWkkakbabEEEmvmvW222121 作用于质点的合外力对质点所作的功等于质作用于质点的合外力对质点所作的功等于质点动能的增量，这一结论称为质点的动能定理点动能的增量，这一结论称为质点的动能定理 功是质点动能变化的量度功是质点动能变化的量度过程量过程量状态量状态量物体受外力作用物体受外力作用运动状态变化运动状态变化动能变化动能变化外力外力做正功做正功等于相应动能的等于相应动能的增加增加；外力外力做负功做负功等于相应动能的等于相应动能的减少减少。例例 一质量为一质量为m=2kg的物体的物

23、体从静止开始从静止开始，沿四分，沿四分之一的园弧从之一的园弧从A滑到滑到B。测得物体在。测得物体在B处的速度处的速度v=6m/s,已知园弧的半径为已知园弧的半径为R=4m。问：物体在下滑过程中。问：物体在下滑过程中摩擦力做的功摩擦力做的功是多少？是多少？解：解： 物体在物体在下滑过程中有下滑过程中有摩擦力摩擦力和重力做功和重力做功，改变物体的动能。，改变物体的动能。根据根据动能定理有：动能定理有：kAkBGfEEWW mgRRdmgrdgmWWmvWGGf 202cos 021 而而即：即：)(4 .42)48 . 926221 2JWf 负号负号表示摩擦力做负功。表示摩擦力做负功。三、保守力

24、三、保守力 非保守力非保守力 势能势能1 1、保守力、保守力 非保守力非保守力某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关，某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。而与路径无关。这种力称为保守力。典型的保守力：典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是耗散力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：典型的耗散力： 摩擦力、粘滞阻力摩擦力、粘滞阻力0 LrdFW2 2、势能势能 在受保守力的作用下，质点在受保守力的作用下，质点从从A-B，所做的功与路径无关，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引而只与这两点的位置有关。可

25、引入一个只与位置有关的函数，入一个只与位置有关的函数，A点点的函数值减去的函数值减去B点的函数值点的函数值，定义，定义为从为从A -B保守力所做的功保守力所做的功，该函，该函数就是势能函数。数就是势能函数。AB定义了势能差定义了势能差)()(bEaEWPPab 选参考点（势能零点），设选参考点（势能零点），设0)( bEP)(aEWPab baPPrdFbEaE保保)()(质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。rdFaEarp 零零势势能能点点保保)(重

26、力势能重力势能（以地面为零势能点）（以地面为零势能点）mgyymgmgdyEyP )0(0引力势能引力势能（以无穷远为零势能点）（以无穷远为零势能点）rGMmdrrMmGErP12弹性势能弹性势能（以弹簧原长为零势能点）（以弹簧原长为零势能点）22021210kxkxdxkxExp )(势势能能只只具具有有相相对对意意义义注意：注意：（1）计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，）计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。其量值与零势能点的选取有关。（2）势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应）势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于于 一种保守力的函

27、数就可以引进一种相关的势能函数。一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。（3）势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所）势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共共 有的。有的。 （4）一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，）一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时， 系统势能增加。系统势能增加。四、功能原理四、功能原理 初初末末内内外外kkEEWW 质点系的动能定理质点系的动能定理:所有外力对系统所作的功和系统内力对系统各所有外力对系统所作的功和系统内力对系统各质点所作的功之和等于系

28、统总动能的增量。质点所作的功之和等于系统总动能的增量。 iiiikikvmEE221ni, 2 , 1 质点系统的动能质点系统的动能因为一对内力因为一对内力 做功之和不一定为零做功之和不一定为零所以所以0KKEEWWW 保保守守内内力力非非保保守守内内力力外外质点系的动能定理质点系的动能定理PPPEEEW )(0保保守守内内力力)()(00PPKKEEEEWW 非非保保守守内内力力外外0EEWW 非非保保守守内内力力外外质点系在运动过程中，它所受质点系在运动过程中，它所受外力的功外力的功与与系统内非保系统内非保守力的功守力的功的总和等于其的总和等于其机械能的增量机械能的增量。称为功能原理称为功

29、能原理系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变在在只有保守内力做功只有保守内力做功的情况下，的情况下，质点系的质点系的机械能保持不变机械能保持不变。五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律0 非非保保守守内内力力外外WW00 非非保保守守内内力力外外和和或或WW 例例 设地球半径为设地球半径为R 。一质量为。一质量为m的的物体，从静止开始在物体，从静止开始在距地面距地面 R 处自由下落处自由下落。求：它到达地球表面时的速度。求：它到达地球表面时的速度。由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：GM=vRGMmGMmR2221=+R0+mvMRRmab地球地球解：解：系统系统只有保守内力做功，所以机械能守

30、恒只有保守内力做功，所以机械能守恒（选选地地心心为为零零势势点点） 02 RGMmEa 212mvRGMmEb 例例 一链条，总长为一链条，总长为l ，放在，放在光滑光滑的桌的桌面上，其中一端下垂，长度为面上，其中一端下垂，长度为a，如图所示。，如图所示。假定开始时链条静止。求链条假定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边刚刚离开桌边时的速度时的速度。 ala解：解：选桌面为零势能点。选桌面为零势能点。ala 地球和物体组成的系统除受地球和物体组成的系统除受重力外所受合外力为零。因此，重力外所受合外力为零。因此，系统机械能守恒。系统机械能守恒。20aaglmE 开始时机械能：开始时机械能：2212

31、mvlmgEt 终了时机械能：终了时机械能：)(2122 02tEEmvlmgaaglm )(22allgv 则得：则得：1-5 动量动量 冲量冲量 动量守恒定律动量守恒定律二、质点的动量定理二、质点的动量定理dtpddtvmdF )(pddtF 动量定理的微分形式动量定理的微分形式dtFId pdId 元冲量元冲量一一、动量动量 （描述质点运动状态，矢量）（描述质点运动状态，矢量）质点系的动量质点系的动量 iiivmppvmp 质点的动量质点的动量 212112ppttpppddtF12ppI 作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量质点的动量

32、定理质点的动量定理pddtF 动量定理的微分形动量定理的微分形式式 21ttdtFI其中令其中令称为称为力的冲量力的冲量.动量定理的积分形式动量定理的积分形式xxttxxmvmvdtFI1221 yyttyymvmvdtFI1221 zzttzzmvmvdtFI1221 分量表示式分量表示式 212112ppttpppddtF三三、质点系的动量定理质点系的动量定理设有两个质点系设有两个质点系m1、m21F2F受外力：受外力：f受内力：受内力：对质点对质点“1”对质点对质点“2”fFdtpd 11fFdtpd 22f m1m21F2Fff 2121)(FFdtppdff 2121)(FFdtpp

33、d nnFFFpppdtd 2121)(一般言之：设有一般言之：设有N个质点，则：个质点，则：FdtPd 动量定理动量定理的微分形式的微分形式.令令:PddtF 或或:npppp 21nFFFF 21则有则有:nnFFFpppdtd 2121)( 2121)(21PPttnPddtFFF121PPInii 质点系的动量定理质点系的动量定理. iiiiPPttiippPddtF122121外外121PPInii 质点系的动量定理质点系的动量定理:质点系所受外力的总冲量等于质质点系所受外力的总冲量等于质点系的总动量的增量点系的总动量的增量注意注意:只有质点系的外力才能改变质点系的总动量只有质点系的

34、外力才能改变质点系的总动量.内内力虽能改变质点系个别质点的动量，但不能改变质力虽能改变质点系个别质点的动量，但不能改变质点系的总动量。点系的总动量。四四、质点系的动量守恒定理质点系的动量守恒定理FdtPd 若质点系所受合外力为零，若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量保持不变。则质点系的总动量保持不变。cvmpniii 1 0外外iFF如果如果注意注意(1)使用时要注意定理的条件使用时要注意定理的条件：惯性系惯性系(2)常用分量式常用分量式： 恒量恒量ixivm 恒量恒量iyivm 恒量恒量izivm这说明哪个方向所受的合力为零，这说明哪个方向所受的合力为零，则哪个方向的动量守恒。则哪个方向

35、的动量守恒。0 iixF0 iiyF0 iizF 0外外iFxvo l0vumM例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、l0v人逆车运动方向从车头经人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。到达车尾。求：求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程；车的运动路程； 3、若人以变速率运动，若人以变速率运动， 上述结论如何？上述结论如何？ 解：以人和车为研究解：以人和车为研究系统，取地面为参照系统，取地面为参照系。水平方向系统动系。水平方向系统动量守恒。量守恒。)()(0vumvMvmM )()(0vumM

36、vvmM vo l0vumMxtlmMmvumMmvv 001、2、lmMmtvttlmMmvvts 00)(3、umMmvv 0lmMmtvdtmMmuvvdtstt 0000)(五五、碰撞碰撞物体在短时间内发生相互作用的过程。物体在短时间内发生相互作用的过程。碰撞过程的特点碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量守恒。系统的总动量守恒。弹性碰撞弹性碰撞： Ek=0碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。非弹性碰撞：非弹性碰撞： Ek0碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。碰撞过程中两球的机械

37、能（动能）要损失一部分。完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞： Ek=M+mmtgarctgu1-6 刚体的定轴转动在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。受外力时都保持不变。实际的物体运动不总是可以看成质点的运动实际的物体运动不总是可以看成质点的运动 mi mjcrji何谓刚体何谓刚体?平动：用质心运动讨论平动：用质心运动讨论AA A BB B 刚体运动的两种基本形式刚体运动的两种基本形式平动平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平刚体运动时，刚体内任一直线恒保

38、持平行的运动行的运动转动转动：对：对点点、对、对轴轴定轴转动定轴转动：各质元均作圆周：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。不动的直线（转轴）上。O转轴转轴OO刚体的一般运动刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为一个随质心的平动加上绕质心的转动。一个随质心的平动加上绕质心的转动。转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PX各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）

39、都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。一、刚体定轴转动的运动描述一、刚体定轴转动的运动描述QP XXQP XX角速度方向规定为沿轴方向，角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。指向用右手螺旋法则确定。rv vr加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反dtd 22dtddtddtd比较比较：221 mvEk 二二 、刚体的转动动能、刚体的转动动能 转动惯量转动惯量222ki2121E iiiirmvm 221 JEk 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转

40、动惯量与角速度平方乘积的一半。惯量与角速度平方乘积的一半。2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 刚体对给定轴的转动惯量刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia) iiirmJ)(2 Mimr对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成其中其中r是质量元到转轴的距离。是质量元到转轴的距离。刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。*刚体的质量刚体的质量*质量的分布质量的分布*转轴的位置转轴的位置与转

41、动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：对于离散型分布的刚体，其转动惯量为对于离散型分布的刚体，其转动惯量为 iiirmJ)(2 dmrrmJVniiin212limMimrdldmdsdmdVdm质量为质量为线分布线分布质量为质量为面分布面分布质量为质量为体分布体分布其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量 dmrJ2例例1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯

42、的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：细圆环解：细圆环dldmRdlLCdlRdmRJ222222mRRRdlRL又解又解:222mRdmRdmRJ J J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。例例2 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见，转动惯量与可见，

43、转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。2221mRJlRm lrdr 2ZOrdr例例3、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标122222/mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA xdxdm= dx dmrJ2FrMz Z2frPO转动平面转动平面1fF sinrFMz 作用在刚体上的轴的力矩作用在刚体上的轴的力矩三、转动定律三、转动定律iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin2sinsi

44、niiiiiiiirmrfrFiiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,变换得变换得irJJM iiirmJ)(2 JM转动定律转动定律刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的平动惯性反映质点的平动惯性, J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性.JM 与与地位相当地位相当amF JMJM（矢量形式）（矢量形

45、式）转动定律应用举例转动定律应用举例例例4 一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定滑的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为挂一质量为m的物体而下垂。忽略的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体轴处摩擦，求物体m由静止下落高由静止下落高度度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。mgMmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解：RamaTmgm :对221 MRJJTRMM：对例例5、一个飞轮的质量为、一个飞轮的质量为69kg，半

46、径为，半径为0.25m,正在以每分正在以每分1000转的转速转动。现转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求。求闸瓦对轮子的压力闸瓦对轮子的压力N为多大？为多大？F0解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度t020rad/s9 .20s5 0 rad/s7 .104min/ r1000t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。2mRJNRRfMr2mRNR mRN 0Nfr 例例、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端有的均

47、匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角角时的角加速度和角速度。加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。 棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，该质量元的重力对轴该质量元的重力对轴的元力矩为的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2cos

48、331cos212 LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgL cos21 0021dJdmgL cos22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 四、四、 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 21 MdW力矩做功是力做功的角量表达式力矩做功是力做功的角量表达式.FrPOdrd Z力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 MdtdWp rdFW对比：对比：1、力矩的功、力矩的功MdrdFsdFdW2、动能定理、动能

49、定理ddJdtdddJJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量的功等于刚体转动动能的增量。21222121JJW21222121mvmvW对比：对比： iiiiphmgghmE 刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和势能之和.mhmmgEiip CpmghE mhmhiicCChim POihh结论结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能零点的：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能零点的高度，与刚体的方位无关。即

50、计算刚体的重力势能只高度，与刚体的方位无关。即计算刚体的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心处，当一个质点处理要把刚体的质量全部集中于质心处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）即可（无论平动或转动）3、刚体的重力势能、刚体的重力势能若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功,其他非保守内其他非保守内力不做功力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒则刚体在重力场中机械能守恒.常常量量 CmghJE221 即如果合外力不做功，非保守内力也不做功，即如果合外力不做功，非保守内力也不做功，或二者的功的代数和为零，机械能守恒定律或二者的功的代数和为零，机械能守恒定律.4 4、定轴转动

51、的功能原理和机械能守恒定律、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：W外外+ W内非内非=（Ek2+Ep2） （Ek1+ Ep1）若若W外外+ W内非内非=0， 则则Ek +Ep =常量。常量。即刚体的重力势能和刚体的转动动能相互转化、总即刚体的重力势能和刚体的转动动能相互转化、总和不变。和不变。五、刚体的角动量定理和角动量守恒定律五、刚体的角动量定理和角动量守恒定律 1、质点的角动量、质点的角动量 L mv O r 质点的角动量质点的角动量vmrprL角动量的大小为角动量的大小为sinsinmrvrpL方向满足右手螺旋法则方向满足右手螺旋法则

52、 单位是千克平方米每秒单位是千克平方米每秒(kgm2/s) 2 2、 刚体的角动量刚体的角动量以角速度以角速度 绕绕OZOZ轴旋转的刚轴旋转的刚体，现将刚体分割成许多质体，现将刚体分割成许多质元元nimmmm21,im对对Z Z轴的角动量轴的角动量iiiivrmL质点的角动量质点的角动量prLiv iriL的大小的大小iiiivrmL方向沿方向沿Z Z轴轴M Mimr ri iZ ZiiniizvrmL1L刚体总角动量刚体总角动量 大小：大小：MimriZ)(2iiizzrmLL刚体对刚体对Z Z轴的角动量轴的角动量JLz刚体对刚体对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量2iirmJ类比质点的动量类比

53、质点的动量m vp=3 3、角动量定理、角动量定理dtdJJMZ) 1 (JddtMZ设设 时间内，刚体角时间内，刚体角速度由速度由21tt 211221JJdtMttZ对对(1)式两边积分得定轴转动的角动量定理式两边积分得定轴转动的角动量定理(积分形式积分形式)FZMZ而把而把(1)式称为定轴转动的角动量定理的微分形式式称为定轴转动的角动量定理的微分形式角动量的增量角动量的增量讨论：讨论：(1) (1) 角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩定理。它与质点的动量定理存在类比关系：定理。它与质点的动量定理存在类比关系：1221vmvmdtFtt定轴转动的角动量

54、定理：定轴转动的角动量定理：定轴转动的刚体对轴定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一转轴合力矩的角冲量的角动量的增量等于对同一转轴合力矩的角冲量1221JJdtMttz角冲量角冲量(2(2）定理说明了对定轴转动，角动量的改变要）定理说明了对定轴转动，角动量的改变要靠施以角冲量。靠施以角冲量。对角动量大的物体则要施以大的角冲量，如是对角动量大的物体则要施以大的角冲量，如是人们对不同的转动物体，持有不同的态度。人们对不同的转动物体，持有不同的态度。4、角动量守恒定律、角动量守恒定律1221JJdtMttZ动量矩定理动量矩定理定轴转动的角动量守恒定理定轴转动的角动量守恒定理：若定轴转动的刚体若定

55、轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体对该轴的所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。角动量保持不变。)0(ZZZMcJ若：若：0ZiM21JJ则则:类比：cvmii) 0(iF讨论：讨论：(1)(1)角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立。刚体也成立。一般有三种情况：一般有三种情况：A A：J J不变，不变， 也不变，保持匀速也不变，保持匀速转动。（常平架上的回转仪）。转动。（常平架上的回转仪）。B B：J J发生变化，但发生变化，但J J 不变，则不变，则 要发生改要发生改变。在体育运动常见。变。在体育运动常见。FFI.

56、 I. 演示实验演示实验D:D:实际中的一些现象实际中的一些现象艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合高！高！高！高！II、芭蕾舞演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作III.当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳落地。体平稳落地。C C：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。必引起另一部分朝另一反方向旋转。直升飞机后面的螺旋浆直升飞机后面的螺旋浆例例1 1）质量为）质量为M M、半径为、半径为R R的转台，可绕通过中心的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为的竖直轴转动。质量为m m的人站在边沿上，人和转的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对台原来都