大学物理：第四章 机械振动

1、1tx第四章第四章 机械振动机械振动前言前言4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征4-2 4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成 * *振动的频谱分析振动的频谱分析4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振2 1 1、什么是振动：、什么是振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义地，凡是描述物质运动状态的广义地，凡是描述物质运动状态的物理量物理量，在某一固定，在某一固定 值附近作周期性变化，都可称该

2、物理量作振动。值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。振动的概念振动的概念任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, ,都会发生振动。都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。2 2、振动的特征、振动的特征( (在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。34-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。简谐振动是最简单最基本的线性振动。简谐振动是最简单最

3、基本的线性振动。 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动4一、弹簧振子模一、弹簧振子模型型弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置，并以该平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置，并以该点为坐标原点建立坐标系。点为坐标原点建立坐标系。弹性力为振动的回复力弹性力为振动的回复力物体可看作质点物体可看作质点 ；轻弹簧质量忽略不计，形变满轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律；忽略各种摩擦（对振动的阻尼）。足胡克定律；忽略各种摩擦（对振动的阻尼）。X0 xFK振动模振动模型型kxF 22dtxdmkx 0222 xdtx

4、d mk 2 令令51、单摆、单摆gm二、微振动近似处理二、微振动近似处理摆球在重力作用下，绕固定点作摆球在重力作用下，绕固定点作小角度小角度摆动摆动lO T所谓小角度，指摆角所谓小角度，指摆角5 满足小角条件时满足小角条件时 sin sinmglM 摆球对摆球对O点的力矩点的力矩 mglM 222dtdmlmgl 0222 dtdlg /2 令令62、复、复 摆摆 chmg绕不过质心的水平固定轴转动的刚体称为复摆。绕不过质心的水平固定轴转动的刚体称为复摆。0222 dtd sin当当 时时22dtdJmgh Jmgh 2 令令7三、简谐振动的定义三、简谐振动的定义某力学系统的动力学方程可归结

5、为如下形式，且参量某力学系统的动力学方程可归结为如下形式，且参量仅决定于系统本身的性质，则该系统的运动为仅决定于系统本身的性质，则该系统的运动为简谐简谐振动振动。0222 xdtxd 一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x （或角位移（或角位移 ）随时间）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振按余弦（或正弦）规律变化的振动动, ,称为称为简谐振动简谐振动。0cos() xAt振动方程振动方程或或动力学方程动力学方程运动方程运动方程8例例4.14.1一质量为一质量为m的物体悬挂于轻的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在弹簧下端，不计空

6、气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动平衡位置附近的振动是简谐振动. .证：以平衡位置为原点，向下为证：以平衡位置为原点，向下为x轴轴正向，设某一瞬时振子的坐标为正向，设某一瞬时振子的坐标为x，则物体在振动过程中的运动方程为则物体在振动过程中的运动方程为x-k(l+x)mg)(22lxkmgdtxdm 0222 xdtxd klmg 其中，其中，kxdtxdm 22带入得：带入得：mk 2 令令9一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程0222 xdtxd 该方程的通解为该方程的通解为 0cos tAx即为谐振动的即为谐振动的运动学方程运动学方程式中式中A和和 0为由初始条件所决

7、定的两个积分常数。为由初始条件所决定的两个积分常数。4-2 4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学对运动微分方程对运动微分方程10二、描述简谐振动的三个重要参二、描述简谐振动的三个重要参量量1 1、振幅、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。振幅给出了质点运动的最大范围。的绝对值。振幅给出了质点运动的最大范围。（1 1）周期）周期T：完成一次完全振动所需的时间完成一次完全振动所需的时间2 2、周期、频率、圆频率、周期、频率、圆频率)cos(0 tAx 0)(cos TtA 2 T 2 T11(2)(2)频率频率 ：单位时间

8、内所完成的完全振动的次数单位时间内所完成的完全振动的次数T1 2 (3)(3)圆频率圆频率 ： 秒内完成的秒内完成的完全振动的次数完全振动的次数 2 弹簧振子弹簧振子mk kmT 2 mk 21 对单摆对单摆lg glT 2 lg 21 12 3 3、位相和初位相、位相和初位相位相位相，决定谐振动物体的运，决定谐振动物体的运动状态。动状态。0 t)cos(0 tAx对于运动方程为对于运动方程为 的简谐振动的简谐振动 0是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相（02）)sin(0 tAv)cos(02 tAa)cos(0 tAx13由初始条件可求初位相和振幅由初始条件可求初位相和振幅00co

9、s Ax 00sin Av 000tanxv 设设t=0时质点的位置和速度分别为时质点的位置和速度分别为x0和和v0，2020 vxA对给定振动系统，周期由系统本身性质决对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。定，振幅和初相由初始条件决定。14* *用分析法确定特殊情况下的位相用分析法确定特殊情况下的位相0sincos0000AvAAx00X0 x0=Av t=0 时，时，x0=A, v0=0. 0sin0cos0000AvAx20X0v t=0时时, x0=0, v00 0sin2cos0000 AvAAx30 X0 A2v t=0时时, x0=A/2, v002)

10、32cos(4 x 373532或或可取可取 3 （可否取（可否取 ？）？）再由再由 可知，可知，0)32sin(4 v 3532 即即由此得到振动方由此得到振动方程程cmtx )32cos(4 28课堂练习课堂练习1 1一质点在一质点在X X轴上作简谐振动，振幅轴上作简谐振动，振幅A=4cmA=4cm。周期。周期T=2sT=2s。其平衡位置取作坐标原点。若其平衡位置取作坐标原点。若t=0t=0时刻质点第一次通过时刻质点第一次通过X= X= -2cm-2cm处，且向处，且向X X轴负方向运动，则质点第二次通过轴负方向运动，则质点第二次通过X= -X= -2cm2cm处的时刻为（处的时刻为（ ）

11、。）。2 2一质点沿一质点沿X X轴作简谐振动，振动范围的中心点为轴作简谐振动，振动范围的中心点为X X轴的原轴的原点，已知周期点，已知周期T T，振幅为，振幅为A A。若。若t=0t=0时质点过时质点过x=0 x=0处且朝处且朝X X轴正轴正方向运动，则振动方程方向运动，则振动方程x=x= 。若若t=0t=0时质点处于时质点处于x=A/2x=A/2处且向处且向X X轴负方向运动，则振动方程轴负方向运动，则振动方程x=x= 。A. 1s B. 2/3s C. 4/3s D. 2s29以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量= =系统的动能系统的动能E Ek k+ +系统的势

12、能系统的势能E Ep p某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为，位移为x)tsin(Av0 )tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量30动动能能221mvEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221 0min kE2411kAdtETETttkk 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒0min p

13、E2411kAdtETETttpp 2max21kAEp 31)tcos(Ax0 xt221kA_kpEE )(sin21022 tkAEk)(cos21022 tkAEpEt由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE T2T32实际振动系统（了解）实际振动系统（了解）系统沿系统沿x轴振动，势能函数为轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开）附近将势能函数作级数展开 20220)(21)()0()(xdxEdxdxdEExExp

14、xppp微振动系统一般可以当作谐振动处理微振动系统一般可以当作谐振动处理00 dxdExpdxxdEFp)( 202221)0()(xdxEdExExppp kxxdxEdxp 02233例例4.44.4光滑水平面上的弹簧振子由质量为光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木块和的木块和劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧构成的轻弹簧构成. .现有一个质量为现有一个质量为m，速度为，速度为u0的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态由状态.(1).(1)试写出该谐振子的振动方程；试写出该谐振子的振动方程；(2)(2)求出求出x=A/2处系统的动能和

15、势能处系统的动能和势能. .Mkmu0解解(1)(1)子弹射入木块过程中，水平子弹射入木块过程中，水平方向动量守恒方向动量守恒. .设子弹陷入木块后两设子弹陷入木块后两者的共同速度为者的共同速度为V0，则有，则有00)(VMmmu 00uMmmV x以弹簧自然伸长时，物体所在位置为坐标原点，建立以弹簧自然伸长时，物体所在位置为坐标原点，建立如图坐标系如图坐标系34Mmk 初始条件为：初始条件为：0cos00 Ax00sin Av 子弹射入木块后振动系统的圆频率为子弹射入木块后振动系统的圆频率为00 V联立解得联立解得 230 00sin VA )(0Mmkmu 因此振动方程为因此振动方程为 2

16、3cos)(0tMmkMmkmux35 ( (2) xA/2时谐振系统的势能和动能分别为时谐振系统的势能和动能分别为MmumkAkxEp 20222818121MmumkAkAEEEpk 2022283812136一、同方向同频率谐振动的合成一、同方向同频率谐振动的合成x1 = A1cos ( t+ 10)4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成 * *振动的频谱分析振动的频谱分析x2 = A2 cos ( t+ 2)x=x1+x2=?371 1、 计算法计算法)cos()cos(20210121 tAtAxxx202202101101sinsincoscos sinsincoscos t

17、AtAtAtA)sinsin(sin )coscos(cos202101202101 AAtAAt 00sinsincoscos tAtA )cos(0 tAx02021010202101sinsinsincoscoscos AAAAAA 令令38两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动。同频率的谐振动。合振幅合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相初位相 coscossinsin20210120210110AAAAtg392 2、旋转矢量合成法、旋转矢量合成法xy0A110A220A0两振动频率相同，则它们的旋转矢

18、量以相同的角速度两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度 旋转，故形成稳定的平形四边形。旋转，故形成稳定的平形四边形。利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋转矢量为利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋转矢量为A A )cos(21020212221 AAAAA coscossinsin20210120210110 AAAAtg 403 3、位相差对合振幅的影响、位相差对合振幅的影响（1 1）若两分振动同相）若两分振动同相（2 2）若两分振动反相）若两分振动反相,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA 如如 A1=A2 , , 则则 A=0,k)k(2101

19、21020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA )cos(21020212221 AAAAA41合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 随随t t 缓变缓变随随t t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成)cos(11 tAx)cos(22 tAx)2cos()2cos(21212 ttAxttAx_cos)( 当当 2 2 1 1时时, ,即即1212 42因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差因此，当两个振动频率接近时，

20、合成中由于周期的微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为减弱的现象称为拍拍。合振动在单位时间内加强合振动在单位时间内加强( (或减弱或减弱) )的次数称为的次数称为拍频。拍频。12 拍拍212vvv 拍拍拍拍4344一、阻尼振动一、阻尼振动dtdxvfr 以弹簧振子为例，其运动微分方程为以弹簧振子为例，其运动微分方程为kxdtdxdtxdm 22令令 ，为系统固有角频率为系统固有角频率; ; mk 20 在低速情况下，介质对物体的阻力正比于速度的一次在低速情况下，介质对物体的阻力正比于速度的一次方方弱介质阻力弱介质

21、阻力4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振（共振（了解了解）m2 为阻尼系数为阻尼系数451 1、弱阻尼、弱阻尼 振幅按指数规律衰减，准周期比固有周期长，阻尼振幅按指数规律衰减，准周期比固有周期长，阻尼越小，越接近系统固有周期。越小，越接近系统固有周期。10 462 2、临界阻尼、临界阻尼 系统不作往复运动，而是较快系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置，并停下来。地回到平衡位置，并停下来。常用于灵敏仪器的回零装置。常用于灵敏仪器的回零装置。不作往复运动，须无限长的不作往复运动，须无限长的时间才能回零。时间才能回零。3 3、过阻尼、过阻尼 220 202 47振动系统在周期

22、性外力作用下的振动称为振动系统在周期性外力作用下的振动称为受迫振动受迫振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程ptFtddxkxtdxdmcos022 tpfxtddxtdxdcos202022 令令mk 0 周期性外力周期性外力策动力策动力ptFFcos0 mFfm00,2, 二、受迫振二、受迫振动动48稳定解稳定解)ptcos(Ax 特点特点: :稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化)ptcos(A)t(coseAxt 00阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动49三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下, , 受迫振动的振幅或速度达到极大