第八章 数值积分与微分

1、第8章返回前进第8章目录返回前进第8章目录返回前进序(1)baxxf d)(baaFbFdxxfI )()()(返回前进序(2)等321,ln1,sin,sin)(2xxxexxxfx返回前进1 数值积分的基本概念 )()()( fabdxxfIba)(xfy )(f返回前进构造数值求积公式的基本思想（续）中矩形公式取梯形公式 2)()( ,2 )()(2)( bafabdxxfIbabfafabdxxfIbaba1)-(7 )()(0 nnkkkbaIxfAdxxfI返回前进构造数值求积公式的基本思想nkkkxMaxnbaxxfdxxfIknk00 )(lim)(0或nkkknkkkbaxf

2、AxxfdxxfI00 )()()(nkkkbannxfAdxxfIIRfR0 )()()(返回前进1.2 代数精度 返回前进代数精度(续1）.,1.,),(2),(31d,)( .2)(2),(21d,)(.,) 11 (2d1,1)(, 22233 222222 一次梯形公式的代数精度为知故由定理不精确成立即公式对右端左端此时右端左端时当公式也精确成立右端左端时当此时公式精确成立右端左端时当对于梯形公式解xbaababxxxxfabbaababxxxxfabababxxfbababa返回前进代数精度（续2）2)-(7 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabA

3、AAnnnnnnnnnn返回前进 ) 37 ()() 0 ()()(101 hfAfAhfAdxxfIhh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh)47()(3)0(34)(3)( hfhfhhfhdxxfba返回前进bahfhfhhfhdxxffR )(3)0(34)(3()()( 检查（检查（7-4）对）对 m = 3 是否成立，为此，令是否成立，为此，令 f(x)=x3 代入（代入（7-4），此时左边），此时左边 。 ,3)(333右边hhhh),(3)(344hhhh 右边左边再检查（再检查（7-4）对）对m=4是否成立，令是否成立，令f(x)=

4、x4代入（代入（7-），），此时此时:因此近似式（因此近似式（7-4）的代数精度为）的代数精度为m=3.返回前进)()()(gRfRgfR00000)()()() 1 ()(332210332210 xRaxRaxRaRaxaxaxaaR因此：返回前进待定系数法注释返回前进1.3 插值型求积公式 nkkknxlxfxL0)()()( nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI0 0 )(d)(d)()(d )(d )(5)-(7 ), 1 , 0( d)( nkxxlAbakknknkkbaIxfAxxfI0 )(d)(返回前进插值型求积公式（续）6)-(7 d )(

5、)!1()(d )()( 0) 1( bankknbannnxxxnfxxLxfIIR返回前进插值型求积公式代数精度定理是插值型的。所以，求积公式故：所以：满足：由于) 17(), 1 , 0( d)()()( 0)( 1)()()(d)( 0 0niAxxlAxlAikikxlxlxlAxxlibainkikikkiibankkiki返回前进返回前进插值型求积公式举例)1 ()0(2) 1(21)(11fffdxxf次代数精度。所以此求积公式具有一右边左边时当右边左边时当右边公式左边时检查当解：1) 1021 (2132d ,)(0) 1021(210d ,)(2) 121 (212d ,1

6、)( 1 1 221 1 1 1 xxxxfxxxxfxxf返回前进2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式 nnknkbabankjjjkjkknktjtknknabtjkjthAthaxnkxxxxxxxlA 0 0 nkj0jnkj0j 0), 1 , 0( d)()!( !) 1(d:), 1 , 0( dd)(则有引入变换返回前进牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续）)(nkC7)-(7 ), 1 , 0( d)()!( !) 1( 0 nkj0j)(nktjtknnkCnknnk 于是得求积公式则,)()(nkkCabA8)-(7 )()(0)(nkknknxf

7、CabI返回前进989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891/283508751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 7511/172807 41 216 27 272 27 216 411/8406 19 75 50 50 75 191/2885 7 32 12 32 71/904 1 3 3 11/83 1 4 11/62 1 11/21), 1 , 0( )(nkBACknk返回前进牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续1） 21 21) 1(! 1! 0111 0 )1(11 0 )1(0tdtCdttC

8、9)-(7 )()(2)()(10) 1(1TbfafabxfCabIkkk2 0 1)2(22 0 1)2(12 0 2)2(021061)2(! 1! 12) 1(64)2(! 1! 12) 1(61)2)(1(! 2! 02) 1(: )77(,2,2dtttCdtttCdtttCbxbaxaxn按公式相应的节点时当10)-(7 )(24)(62SbfbafafabI 返回前进牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式4 0 0) 4(44 0 1) 4(34 0 2) 4(24 0 3) 4(14 0 4) 4(0907) 3)(2)(1(! 0! 44) 1(9032) 4)(2)

9、(1(! 1! 34) 1(9012) 4)(3)(1(! 2! 24) 1(9032) 4)(3)(2(! 3! 14) 1(907) 4)(3)(2)(1(! 4! 04) 1(dtttttCdtttttCdtttttCdtttttCdtttttC，11)-(7 )(7)(32)(12)(32)(7 9043210 xfxfxfxfxfabC4 ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( abhkkhaxk其中返回前进柯特斯系数的性质10)(nknkC)()(nknnkCC)( 0 )( 0 0 )( 0 )()() 11)() 1(!)!() 1()() 1)(1() 1() 1()!(

10、!) 1()() 1)(1() 1)()!( !) 1() 1()() 1)(1() 1()!( !) 1(nknnknnnnknnknnknknnkCdunuknuknuuukknndunukunkunuuknnkduukunkunununknnkCtnudtntktktttknnkC，则：令由：返回前进返回前进N为偶时的牛柯公式的代数精度证明 nnnnnnnnnnnjnnnnbajnbanjjnnnnnnnnndxntttthadxnttttntnthadxjnthaPRthnhaxdxxxadxxxnPPRnaxaxaxaxP 222222212 2212 202212122 2n0j1

11、2 20) 12(121220122121212)()2)(1()() 1() 1() 1)()()(:)()()!12()()() 67(,12,)(:代入上式得令由式次多项式为设证明0)(122nnPR为奇为偶公式的代数精度实际上是说定理nnnnmCN , 13返回前进N-C公式应用举例)()2(4)(6bfbafafabS4)(24)(61)2(4(6)()2(4)(6 4)(4432244333 443ababbabaaabbbaaabbfbafafabSabdxxdxxfIbaba而返回前进2449787. 011179 . 011328 . 011127 . 011326 . 01

12、17906 . 0122222CI24497866. 0d1116 . 01 6 . 0 2arctgxxxI1 6 . 0 2d11xxI2449546. 01118 . 01146 . 01166 . 01222SI2470588. 01116 . 01126 . 0122TI返回前进2.2 几种低价N-C求积公式的余项 xbxaxfTIRbaTd)(!2)( 12)-(7 ,)(12)(d )(2)(3 baabfxbxaxfRbaT 返回前进辛卜生公式误差估计式的 推导bababHbaHaHabdxxHdxxf )()2()(6)()(xbxbaxaxfSIRbaSd)()2)(! 4

13、)(2 )4()2()2(),()(),2()2(),()(bafbaHbfbHbafbaHafaH),(),()2)(! 4)()()()(2)4(babxbaxaxfxHxfxR返回前进13)-(7 ),( )()2(180d )()2)(! 4)() 4(4 2) 4(bafababxbxbaxaxfRbaS)147 (, ),(4945)( 2) 6(6 bafababCIRC由广义积分中值定理有非正内不变号在由于),(,)()2)(2babxbaxax辛卜生公式误差估计式的返回前进2.3 牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛 nknkbaCabx0)( )(1d10)(nknkCknk0m

14、axabECCCCabCabxfCabxfCabEnknknknknknknknkknknkkknknkknk:, 1,)()()()(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(从而有全为正数时当返回前进方法可能不稳定大很多初始数据的误差可能扩因此可能很大则注意有正有负时当,., 1,0)(0)()(nknknknknkCCC0limnnR返回前进3 复化求积公式 返回前进101 10 1)()(2d)(d)(,) 1, 1 , 0(,)., 1 , 0(,1nkkkbankxxkkkxfxfhxxfxxfnkxxnkkhaxnabhnbakk得上用梯形公式并求和在每个小区间记等分将积分区间返回

15、前进复化梯形公式15)-(7 )(2)()(2)d( 11 nnkkbaTxfbfafhxxf整理得)(xfy 返回前进复化梯形公式的截断误差 bankknTkkkxxkkkkkfhTxxffRxxfhxfxfhxxfxxbaCxfkk 1031 311)2()(12)d()(),( )(12)()(2d)(,)(1因此：梯形公式的截断误差为上在小区间如果 10)(1)(nkkfnf16)-(7 ),( )(12)(12d)()(23 bafhabf nhTxxffRnbaT 返回前进复化梯形公式的数值稳定性讨论knkknknkknabnhh00110max)(max22返回前进3.2 复化S

16、impson公式和复化Cotes公式 )()(2)(4)(6)()(4)(6d)(d)()()(4)(6d)(:,), 1 , 0(,11102/11012/1 10 12/12/1111nkknkknkkkkbankxxxxkkkkkkkbfxfxfafhxfxfxfhxxfxxfxfxfxfhxxfSimpsonxxxnabhnkkhaxnbakkkk求和得：则有公式求积分用的中点为小区间分点为等分分成将区间17)-(7 )(4)(2)()(6d)( 11102/1banknknkkSxfxfbfafhxxf返回前进复化Simpson公式的截断误差 nkkkkkbanknkkkSxxfhh

17、xfxfbfafhxxffR11)4(4 10102/1, )()2(180)(4)(2)()(6d)()(18)-(7 ),( )()2(180)() 4(4bafhabfRS返回前进复化Cotes公式 nabhnkkhaxk), 1 , 0(,1kkxx1434241,kkkkkxxxxx19)-(7 )(7)(14)(32)(12)(32)(79010104/31010424/1nknkkknknkkknbfxfxfxfxfafhC20)-(7 ),(),(4945)( 2)() 6(6bafhabCIfRnc返回前进的近似值计算积分1 0 dsinxxxI945691. 0)8(2)

18、1 ()0(16171kkfffI返回前进946084. 0 )812(4)4(2) 1 ()0(2413141kkkfkfffI返回前进1 0 dexIx1de3 .01 0 xx422102112)(121 hfhRT8.40106142nn即：44)4(41021)2(1801)()2(1801hfhRS 1 ,0 1e)()(xxfxk返回前进返回前进881125, 0,1342. 01631810213112)()01 (1231)(,211d)2cos(max)(d)2cos(d)cos()(,dcossin)(3221 0 1 0 10)(1 0 1 0 )(1 0 abhhhf

19、hRxfkkdtttkntxtxftktxttxtdxdxftxtxxxfTkkxkkkkk 因此可取时当故：所以由于1 0 sindxxxI返回前进4 逐次分半算法(变步长方法) 返回前进4.1 梯形法的递推公式 abhbfafabT),()(211、)2(22)()2(2)(4)2)()2(21(2)2(212)(22,2,2,212bafabTbfbafafabbfbafabbafafabTabhbbabaaba分半为、将 ,)d( baxxfI对返回前进3122312422)(2)()(2)(21)()(21(44 , 3 , 2 , 1 , 0 ,4,4)(3kkkkhafbfafh

20、bfkhafafabTkkabakhaxabh再分半、加密一次区间)3()(21 )4)( 3()4(421)4)( 3()4(4)4)( 2(2)(2)(4222222241212hafhafhTTabafabafabTabafabafababafbfafabTT，亦即即, 2 , 1 , 0 )(2)()(21212mkhafbfafhTmmkmm返回前进1,kkxx)(21121kkkxxx1,kkxx)()(2)(411kkkxfxfxfhnabh返回前进21)-(7 ) 1(2(21112122mmmkmmhkafhTT )( 2 )()(41 -n0211012knkkknxfhx

21、fxfhT返回前进)()(4)(12)(44)(12)()(12)(12)d(),()(12)d(),()d(121212211212221212 2222 2 211111mmmmmmmhhmmmmmmbammbabaffhabfhfhabfhfhabTTfhabTxxfTfRTfhabTxxfTfRxxfITmmmmmmmmmm 将此两式相减作近似：以误差为：近似积分以。上当前步长加节点的函数值之和乘加上新增等于一次区间时，小一半区间或称为加密即相当于缩时缩小一半变为当步长由mmmmmhTTabhabhmm2,2212211返回前进11222222231),(),(3)(123 mmmmm

22、mTTTfRTfRfhabTTmm复化梯形公式的停止计算控制 )()(1mmff )(180)d(),()(180d)(),(:,)(151d)(),(3,1)4(412 22)4(42 22 222222211111mmbambabafhabSxxfSfRISfhabSxxfSfRISSSSxxfSfRITTTmmmmmmmmmmmmm：近似积分以误差为近似积分以（下面推导）同样关于时可结束计算而以则当若预先给定返回前进)227(151),(),(15)(15180)()(112222)4(422)4(1)4(mmmmmmSSSfRSfRfhabSSffmmmm即：可得由复化simpson的

23、停止计算控制 )()(16)(180)(1616)(180)()(18021)4(1)4(41)4(41)4(421411)4()4(422111mmmmmmmhhmmmmmmffhabfhfhabhffhabSShhmmmm将上两式相减注意到返回前进4.2 Simpson公式的逐次分半法 :,),217(15,15,)227(22222211公式但可由复化也较难但很复杂梯形的递推公式公式也可导出类似复化对复化的停机标准。作为并以。可用时则当对预先给定由式SimpsonSimpsonSSSISSSmmmmmmISmSSimpsonhkafkhafbfafhSabhbadxxfImmmmmkmk

24、mmmmmba22211212 ,) ) 12(4)2(2)()(32,2,)(11时，当序列可由此计算等分将区间返回前进Simpson公式的逐次分半法（续）121111212112112121121212112121111111111)()()(2231 ) )2(2) 12(2)()(322)(2)()2(32 ) )2(4) 12(4)(2)(2(3) )2(2) 12(4)()(3 ) 12(4)2(2)()(3mmmmmmmmmmmkmmkmkmmkmmkmkmmkmkmmkmkmmbfafkhafhkhafhkafbfafhbfafkhafhkhafhkafbfafhkhafhka

25、fbfafhhkafkhafbfafhS12223134mmmTTS即返回前进梯形公式的逐次分半法举例xxxfdxxxIsin)(,sin10211069465909. 0)(81219445135. 04121)(41)2(41(21)(41)(21(41 )(21)(21)(21)(21419397933. 0212121)(2121 )2(41)(21)(21(219207355. 0)8414710. 01 (21)(21)1 ()0(218/78/58/38/ 14824/34/ 124/34/ 12/ 1104/34/ 14/24/2104/44/34/34/24/24/ 14/

26、10422/ 112/ 1102/ 11012/ 12/ 1021023210ffffTTTffTfffffffffffffffffffTTfTffffffffffTffffT返回前进例8（续）9460827. 0dsin1021311021310210011776. 031)9465909. 0(3131,9460827. 09460815. 01 0 6226226222212826426767223376xxxITTTTTTTITTTTT即而再继续分区间由于若以返回前进例8说明813134)(31,9460827. 0,79460831. 0dsin9460833. 031343134)

27、(31:)(3184822212821 0 4822222222233723233323SSTTTTTTTxxxTTTTTTTTTT而实际上还准确这个结果比位有效数字的值相比较这是有与上这个差加到或者将)2()(31)2(34)(61)2(64)(61)()()(21(3)(21)2()(21(23431343134:212212hShThTSbfbafafabbfafabbfbafafabTTSTT即下面再次推导验证返回前进例8说明（续1）)(31:,)d(122 2mmmTTxxfITba结束控制的误差估计为近似积分若以mmmmmmSTTTTT222222113134)(3122mmSSi

28、mpsonT序列构造列亦即：可由复化梯形序返回前进mmmCST222: 构造构造我们可由综上可见mmmmmmmmmmCSSSSSSSSIS22222222221111511516)(151:),(151:,并且可证得到新的近似序列上补充到也可将此误差补此误差控制结束的误差为近似积分若以mC2由于由于为复化为复化Cotes序列，序列，即由即由Simpson序列可构造出收敛更快的序列可构造出收敛更快的Cotes序列序列 。mC2例8说明（续2）返回前进例8说明（续3）111111222222222222222221411441511516)(1511411443134)(31mmmmmmmmmmm

29、mmmSSSSSSSTTTTTTT返回前进例8说明（续4）)(945)(2),(Cotes(1411446316364)(631)6(622323322222111mmfhabCfRCCCCCCCmmmmmmmm公式的误差估计式的复化继续下去。于系数的规律性，还可由积分序列并且上述过程即是下面将要介绍的可继续上述构造过程：记按照上述系数规律性因此记为RombergRRCSTRCCmmmmmmmm222222232331141144,返回前进5 龙贝格（Romberg）求积公式 138988493. 3 03. 030073. 0138988493. 3)87()85()83()81(81211

30、3117607. 3)4/3()41(41211 . 3)21(2121 :,121,21, 03)1 ()0(21 1 , 014)(10 d14232321022222212221221 0 2ITTffffTTffTTfTTTffTTxxfxxI停止若用复化梯形公式返回前进外推法（续1）140704293. 3)1615()1613()1611()169()165()163()161(1612100000015. 0,0000005. 01021,731415926. 331341415926. 3444d14 343332332322262222222101 0 2fffffffTTS

31、SimpsonSTTTSTTarctgxxxI而要达到此精度：，要达到此精度并且若式（序列）准确得多。公式（序列）比梯形公对同一步长位有效数字具有位有效数字，具有可构造出：与若利用注意到返回前进)(kmT)(),(22)(mkkmhOTfRkkkkkkkRCCSSTTTTTTkkkk2222222)(3)(2)(1)(0RombergCotes,Simpson),(,Romberg序列构造而由序列构造再由序列加速构造然后利用利用递推式实际计算时形序列而这实际上是先计算梯构造求积公式实际上是由25)-(7 ), 2 , 1 , 0 , , 2 , 1(144)(1) 1(1)(kmTTTmkmk

32、mmkm返回前进外推公式)6316364(63646364)1511516(1511516)3134(3134:111222)(2)1(2)(3222)(1)1(1)(2222)(0)1(0)(1mmmmmmmmmCCRTTTSSCTTTTTSTTTkkkkkkkkk外推公式为结束)0(1)0(mmTT返回前进外推公式（续）否则结束，若加速可求而由加速可求以、再分区间求求加速，以、分区间求、先计算第一列为复化梯形序列对按此表,1511516,3134,)4)(3()4(22133134,)2(222)()(21,)d(,)0(1)0(2)0(1)1(1)0(2)0(1)1(1)1(0)2(0)

33、1(1)1(0)2(0)1(0)2(0)0(0)1(0)0(1)0(0)1(000)1(0)0(0 TTTTTTTTTTTTabafabafabTTTTTTTbafabTTbfafabTxxfIba.,6316364,151516,151516,3134,)8)( 7()8)( 5()8)( 3()8(824)0(1)0()()0(2) 1 (2)0(3)0(2) 1 (2) 1 (1)2(1) 1 (2) 1 (1)2(1) 1 (1)2(1) 1 (2) 1 (1)2(1)2(0) 3(0)2(1)2(0) 3(0)2(0) 3(0为止直到收敛越快越大，可以、再分区间，求：mmkmTTTm

34、TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTabafabafabafabafabTT 为止即序列所以一般只到和的增大而趋于随但由于等亦即还可计算组合按通常还可以由)(32)0(44442, 01141,144,141,144kmmmkTRRombergmTRm返回前进Romberg方法举例9460832. 0dsin10211029460832. 063649460832. 015169460835. 0349456910. 0)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(81219460830. 015169460870. 0349445136. 0)75. 0()25. 0(

35、41219461457. 0349397932. 0)5 . 0(21219207355. 0)1 ()0(211067)0(2)0(3)0(2)1(2)0(3)1(1)2(1)1(2)2(0)3(0)2(1)2(0)3(0)0(1)1(1)0(2)1(0)2(0)1(1)1(0)2(0)0(0)1(0)0(1)0(0)1(0)0(0 xxxITTTTTTTTTTTffffTTTTTTTTffTTTTTfTTffT，1 0 dsinxxxI61021返回前进6 高斯型求积公式dxxnffRxfCabxfAdxxffIbaninininiiiba )( )!1()()()()()()()( )

36、1(0)(0 返回前进dxxffIba )()( 返回前进)( )(0 iniibaxfAdxxf返回前进niiibaxfAdxxffI1 )( )()()()()(1 iniibaxfAdxxffI返回前进0)( )(0 )( )()( )(),()()()( )()(121 2 221 1ininiiniibanbannnbaniiixAxfAdxxdxxfxxfxxxxxxxxfAdxxffI而此时：并取设返回前进一般理论举例)()()( )(22111 0 21xfAxfAxfAdxxfiii 112 0 11122 0 12221122 0 13331122 01121314AAdx

37、x Ax Axdxx Ax Ax dxx Ax Ax dx)277(4131)267(2111121323122212121AAxxxxAAxx）（代入由28-7 2114131 11)267(4131 )277(1323122212113231222121xxxxxxxxxxAA返回前进一般理论举例（续1）BxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxAAAAxxxxT21212122121221222121221212312321222131321222212131223221122221132312221

38、21213122321222212122313222313221*11323122211)()()(111)(111)(11,1因此：阵）代数余子式构成的伴随（而211413114131211413110,2114131)287(2222222121vvuvuvvuvvuvuvvuxxvxxuB即：，令：中得：代入返回前进一般理论举例（续2）0 ,6143, 10374924169681238316323844121322941232384213212321324421321234422222222222vuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuvuvuvu2121178868.02113

39、2.03112121132.078868.031121061 ,61)1(6110043 6112122112121121112121AAAxAxAAxxxxxxxxxxvvuvu再代入这组，舍去，两组解：返回前进一般理论举例（续3）311213112121)(1 0 ffdxxf可得求积公式为：返回前进带权函数的Gauss型求积公式 )()()( 1 knkkbaxfAdxxfx返回前进次代数精度具有使求积公式：确定3)()( )(,22111 1 2121xfAxfAdxxfAAxx)()()()()()()(10211021xbbxxxxxaaxrxxxxxgxf)() 1)() 1()

40、 1)(24(1324)(2223xrxxgxxxxxxxf则：返回前进）（ 297)()()()()()( )()( )( )(22112102110122111 1 10211 1 101 1 xrAxrAxbbAxbbAxfAxfAdxxbbdxxxxxxaadxxf)()( )(22111 1 xfAxfAdxxf返回前进例11（续2）0)( )()297()()( )()()( )( )(21 1 110210211011 1 1022111 1 1 1 dxxxxxxaaxbbAxbbAdxxbbxrAxrAdxxrdxxf式，则有：将此结论代入亦即： 10112 1 10112

41、1 1 0()() 0 0 1()() 0aaxxxxdxaax xxxxdx）（297)()()()()()( )()( )( )(22112102110122111 1 10211 1 101 1 xrAxrAxbbAxbbAxfAxfAdxxbbdxxxxxxaadxxf返回前进具有三次代数精度。则可得求积公式为：3131)(1 1 ffdxxf例11（续3）1313102)()( )(, 1)()( 0)(32 31 023221211 1 - 1 1 2122111 1 - 212121AAAAxdxAAdxxfAxfAdxxfxxfxfGaussxxxxxx代入为特殊的再取点所以为

42、因为达到三次返回前进求解例11方法小结)()()()(21xrxxxxxgxf)307(0)( )( 211 1 dxxxxxxg返回前进求Gauss点的一般方法中将其代入其中：nkkkbaxfAaxxfxnxrxg1 )()()(1)(),(）（3170 )( )( )( dxxxgxnba返回前进Gauss点的充要条件正交。上带权在次多项式与点的充要条件是：为即点为中，点）（求积公式：)(,)(1)(0)( )()(), 2 , 1(327)()()( 1 xbaxpnxGaussxdxxxpxGaussnkxxfAdxxfxnknbaknkkkbanknnknnnnxxxxaxxaxax

43、g11 )()()()()()(1)( xgaxnnn返回前进)(1)( xgaxnnn返回前进nkjjnkkkkkknkkjkjknknkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxp, 1111111 )()()()()()()( )()()()(,)()()()()(,)()()()()(2321231212121xpxxxxxxxxxxxxxpxxxxxxxxxpnnnnnklknllknknbajkAxpAdxxxxxxxfkjkjxp)()()()()()327()(,0 , 1)(1 应准确成立，即：的特殊多项式代入以此作为且返回前进定理7.4证明)nkkkbaxfAdxxfx1 )( )()(0)( )( )( )()(1 knknkknbaxxpAdxxxpx返回前进定理7.4证明（充分性）111221111221