电路分析基础chap07_1718

1、2017学年第1学期电路分析及实验电路分析及实验本章主要介绍二阶电路的时域分析方法，动态本章主要介绍二阶电路的时域分析方法，动态电路的复频域分析方法，以及动态电路的状态变量电路的复频域分析方法，以及动态电路的状态变量分析方法等。分析方法等。第七章第七章 二二阶电路阶电路7.1 二阶电路的时域分析二阶电路的时域分析在动态电路分析中，激励和响应都表示为时在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间间t的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称时域分析方法。方法，称时域分析方法。用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。二阶

2、电路一般含有两个独立储能元件。二阶电路一般含有两个独立储能元件。RLC串联串联电路的电路的RLC并联电路是最简单的二阶电路。本节并联电路是最简单的二阶电路。本节主要讨论主要讨论RLC电路的响应。电路的响应。7.1.1 二阶电路方程及其求解二阶电路方程及其求解二阶微分方程的一般形式为二阶微分方程的一般形式为22102d ydyaayb wdtdt其中，输出其中，输出y为齐次解为齐次解yh与特解与特解yp之和，齐次解之和，齐次解yh是齐次方程是齐次方程22120d ydyaaydtdt的通解，而特解的通解，而特解yp是与输入是与输入w具有类似形式的函数。具有类似形式的函数。通解通解yh取决于特征方

3、程取决于特征方程22100a sa sa的根，即特征根的根，即特征根s1和和s2。1. 当当s1和和s2为两个不相等为两个不相等的负实根时，解为的负实根时，解为1212s ts thyK eK e2. 当当s1和和s2为两个相等为两个相等的负实根时，的负实根时， s1= =s2= =- - ，解为，解为1212ststthyK eK teKK t e3. 当当s1和和s2为一对共轭复根为一对共轭复根时，时，s1,2= =- - j j d d，解为，解为12cossincostthdddyKtKt eKet4. 当当s1和和s2为一对共轭虚根为一对共轭虚根时，时，s1,2= =j j 0 0，

4、解为，解为10200cossincoshyKtKtKt其中待定常数其中待定常数K，K1 ，K2由初始条件确定。由初始条件确定。7.1.2 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应KCL： iC+iR+iL=0因为因为初始条件初始条件0LdvvCidtRLdivLdt所以所以220LLLd idiLLCidtR dt(0 )0Li0(0 )(0 )(0 )CLvVdivdtLLL2200(0 )0(0 )LLLLLd idiLLCidtR dtiVdidtL二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。描述二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。描述这种电路的方程是二阶线性常微分方程。这种

5、电路的方程是二阶线性常微分方程。特征方程特征方程220LLLd idiLLCidtR dt210LLCssR 特征根特征根22221,204111222LLLCRRsLCRCRCLC 其中其中12RC称衰减系数，阻尼系数称衰减系数，阻尼系数01LC称谐振频率称谐振频率 当当0 时时，s10，s20，s1s2，为两个不相等的为两个不相等的负实根，则负实根，则 1212( )s ts tLi tk ek e由由121 1220(0 )0(0 )(0 )LLCikkdiLvLs kLs kVdt 求得求得012121VkkssL 则有则有120121( )()0s ts tLVi teetL ss

6、过阻尼过阻尼并求得并求得120121( )()0s ts tLVi teetL ss 1201212( )() ( )s ts tLCVdivtLs es eu tdtss12012121( )() ( )s ts tCRvVits es eu tRR ss122201212( )() ( )s ts tCCdvCVitCs es eu tdtss11221lnmstsss电路响应的物理过程电路响应的物理过程 当当 = 0 时时，s1 = s2 = - = -0 = s，为两个相等的负实为两个相等的负实根，则根，则 121212( )()s ts tstLi tk ek tekk t e由由1

7、120(0 )0(0 )()LLikdiLL skkVdt 0120,VkkL则有则有0( )0stLVi ttetL 临界阻尼临界阻尼 当当0 时时，s1,2 = - jd，为一对共轭复根。为一对共轭复根。220d( )cos()tLdi tket由由0(0 )cos0(0 )(cossin )LLdikdiLLkVdt 090dVkL 则有则有0( )cos(900tLddVi tettL 欠阻尼欠阻尼并求得并求得0000sin()cos(90)ttCddddvV etV et 200sin(2 )tCddCiV etLiCvCi 当当 = 0时时，s1,2 = j0，为一对共轭虚根，则，

8、为一对共轭虚根，则0( )cos()Li tkt由由00(0 )cos0(0 )sinLLikdiLLkVdt 0090VkL 则有则有无损耗情况无损耗情况000( )cos(900LVi tttL 2200(0 )0(0 )LLLLLd idiLLCidtR dtiVdidtL2200(0 )(0 )0CCCCCd vdvLCRCvdtdtvVdvdtRLC并联并联RLC串串联联RLC并联并联情况下：情况下：过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼无损耗无损耗12RC01LC012RL C012RL C012RL C0R 220LLLd idiLLCidtR dtRLC串串联联情况下：情况下

9、：过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼无损耗无损耗12GL01LC02RL C02RL C02RL C00R220CCCd vdvLCRCvdtdt四种不同情况总结：四种不同情况总结：（1 1）当电路方程的特征根位于）当电路方程的特征根位于s s平面的负实轴上，电平面的负实轴上，电路的零输入响应必是衰减非周期性（非振荡性）类型路的零输入响应必是衰减非周期性（非振荡性）类型的，或者说是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型）。的，或者说是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型）。（2 2）当电路方程的特征根位于开左半）当电路方程的特征根位于开左半s s平面内，平面内，但不包括位于负实轴上，电路的零输入响应必

10、是但不包括位于负实轴上，电路的零输入响应必是衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是欠阻尼衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是欠阻尼型的。型的。（3 3）当电路方程的特征根位于）当电路方程的特征根位于s s平面的虚轴上，电平面的虚轴上，电路的零输入响应必是无衰减周期性（振荡性）类型路的零输入响应必是无衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是无阻尼型的。的，或者说是无阻尼型的。（4 4）当电路方程的特征根位于开右半）当电路方程的特征根位于开右半s s平面内，电平面内，电路方程的解是不收敛的，响应波形是发散的。路方程的解是不收敛的，响应波形是发散的。( (a) a) 过阻尼情况的时域波形过阻尼情况的时域波

11、形( (b) b) 过阻尼情况的状态空间轨迹过阻尼情况的状态空间轨迹RLC并联电路的零输入响应并联电路的零输入响应(a) 欠阻尼情况欠阻尼情况(b) 无阻尼情况无阻尼情况(c) 发散情况发散情况电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.1.过阻尼情况过阻尼情况: : 状态轨迹从状态轨迹从t t=0=0+ + 的初始状态的初始状态x x0 0=I I0 0 U U0 0 T T开始，开始，在在t t= = 时终止于坐标原点时终止于坐标原点 （2 2）欠阻尼情况：状态轨迹是从）欠阻尼情况：状态轨迹是从t t=0=0+ + 到到t t= = 时的时的螺旋线螺旋线

12、（3 3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆 （4 4）响应为增幅振荡情况：在）响应为增幅振荡情况：在t t趋于趋于 时，零输入时，零输入响应成为无界，状态轨迹是向外发散的。响应成为无界，状态轨迹是向外发散的。 (a) 欠阻尼情况欠阻尼情况(b) 无阻尼情况无阻尼情况(c) 发散情况发散情况7.1.3 二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应t=0+时的初始条件：时的初始条件：iL(0+) = iL(0-) = 0，vC(0+) = vC(0-) = 0齐次解齐次解当当iS(t)=u(t)时，为单位阶跃响应时，为单位阶跃响应. .t0+时的电路方

13、程时的电路方程( (过阻尼情况过阻尼情况) )22( )1LLLSd idiLLCiiu tdtR dt(0 )(0 )0CLvdidtL1212s ts tLhik ek ecos()tLhdiket( (欠阻尼情况欠阻尼情况) )特解：为响应的稳态分量特解：为响应的稳态分量(或强制分量或强制分量) iLp=iS所以过阻尼情况所以过阻尼情况1212s ts tLLhLpSiiik ek ei定常数定常数 121 12200Skkis ks k解得解得 21121221SSskissskiss欠阻尼情况欠阻尼情况cos()tLdSiketi定常数定常数 (0 )cos0(0 )cossin0L

14、SLdikidikkdt 解得解得 1costanSdik iL(t) 在瞬态过程中的数值在瞬态过程中的数值可能大于电流源的电流，可能大于电流源的电流，称过电流效应。称过电流效应。 同一电路同一电路 描述同一变量零输入响应时的微分方程与零描述同一变量零输入响应时的微分方程与零状态响应的微分方程的特征方程是相同的，特征根状态响应的微分方程的特征方程是相同的，特征根(即即固有频率固有频率)是相同的。因此可认为，是相同的。因此可认为，特征根仅由电路参特征根仅由电路参数和电路拓扑结构所决定，与输入无关。数和电路拓扑结构所决定，与输入无关。 特征根在特征根在s复平面的位置，决定了电路响应的暂态情况复平面

15、的位置，决定了电路响应的暂态情况：过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和无损耗。过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和无损耗。 输入决定电路响应的稳态情况输入决定电路响应的稳态情况。零输入响应稳态时为零；。零输入响应稳态时为零；零状态响应，稳态时强制为与输入一致。零状态响应，稳态时强制为与输入一致。 零输入响应零输入响应是初态的线性函数，零状态响应是输入的线是初态的线性函数，零状态响应是输入的线性函数。性函数。7.1.4 二阶电路的全响应二阶电路的全响应全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应 = = 自由分量自由分量 + + 强制分量强制分量 = = 暂态分量暂态分量 + + 稳态分量稳态分

16、量注意：注意：全响应既不是初始条件，也不是输入的线性函数全响应既不是初始条件，也不是输入的线性函数例例 求正弦激励下的全响应求正弦激励下的全响应vC(t)初始条件初始条件iL(0-)=2A，vC(0-)=1V 解解 KVLLLCSdiLRivvdt支路关系支路关系CLdviCdt22CCCSd vdvLCRCvvdtdt2213cos222(0 )1(0 )11(0 )(0 )2CCCCCLLd vdvvtdtdtvdviidtCC 特征方程特征方程2131022ss 特征根特征根 s1 = -1，s2 = -2 齐次解齐次解212tthvk ek e 特解特解 与与输入同频率的输入同频率的正

17、弦量正弦量 vp = Acos(2t+) 其中其中A、 为待定值。为待定值。特解应满足方程特解应满足方程2 sin(2)pdvAtdt 224 cos(2)pd vAtdt 代入原方程可求得代入原方程可求得 A = 0.316， = -108.4所以所以 vp = 0.316cos(2t-108.4) 212( )0.316cos(2108.4)ttChpvtvvk ek et由初始条件定积分常数由初始条件定积分常数1212(0 )0.316cos108.41(0 )22 0.316sin108.42CCvkkdvkkdt 123.62.5kk 2( )3.62.50.316cos(2108.4)0tt