角的平分线的性质

1、12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质-2- 如图，是一个平分角的仪器，其中如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点。将点A放在角的顶点，放在角的顶点，AB和和AD沿沿着角的两边放下，沿着角的两边放下，沿AC画一条射线画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？就是角平分线。你能说明它的道理吗？探究ADCBE-3- 根据角平分仪的制作原理怎样作一根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）OABCENOMCENM探究-4-分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在A

2、OBAOB的的内部交于内部交于21作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交交于于作射线作射线OC则射线即为所求则射线即为所求 -5-如图：将如图：将AOBAOB对折，再折出一个直角三角形对折，再折出一个直角三角形( (使第使第一条折痕为斜边一条折痕为斜边) )，然后展开，观察两次折叠形成，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？的三条折痕，你能得出什么结论？ AOBAOBCDEP探究探究可以看出，第一条折痕OC是AOB _第二次形成了_条折痕，分别为_,它们是角平分线上的一点到AOB两边的_这两个距离_平分线2PD、PE距离相等-6-角

3、的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等你能用三角形全等证明这个性质吗？-7-1、明确命题中的已知和求证；、明确命题中的已知和求证；2、根据题意，画出图形，并用数学符号、根据题意，画出图形，并用数学符号 表示已知和求证；表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，、经过分析，找出由已知推出求证的途径， 写出证明过程。写出证明过程。角的平分线上的点角的平分线上的点到角的两到角的两边的距离相等边的距离相等-8-AOBCDEP已知：OC是AOB 的平分线，P在OC上，PDOA于D， PEOB于E，求证：PD=PE-9-OABED思考：思考：如图所示如图所示O

4、C是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角平它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离分线上任一点到这个角两边的距离,所所以以不一定相等不一定相等-10-例：如图，例：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM，CNCN相交于点相交于点P P。求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB，BCBC，CACA的距离相等。的距离相等。BACPMN例题展示：例题展示：-11-.证明：证明：过点过点P P作作PDPD，PEPE，PFPF分别垂直于分别垂直于ABAB，BCBC，CACA，垂足为，垂

5、足为D D、E E、F F，BACPDEFMNBMBM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P P在在BMBM上，上，PDABPDAB， PEBCPEBC，PD=PE.同理同理 PE=PF.PE=PF.PD=PE=PFPD=PE=PF，即点即点P P到三边到三边ABAB，BCBC，CACA的距离相等的距离相等-12-问题问题 问题：问题：如图所示，要在如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交叉处离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置

6、，比例尺为例尺为1:20 000）？）？ -13-前面我们学过角平分线上的点到角的两边的距前面我们学过角平分线上的点到角的两边的距离相等，那么倒过来考虑：离相等，那么倒过来考虑：到角的两边的距离到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？相等的点是否在角的平分线上呢？ 猜想猜想-14-抽象问题抽象问题P已知：如图,PDOA，PEOB，点D、E为垂足，PDPE求证：点P在AOB的平分线上到角的两边的距离相等的点是否到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？在角的平分线上呢？ -15-证明证明证明证明: 连接连接OC PDOA，PEOB， PDOPEO90.在在RtPDO和和RtPEO中，中

7、， POPO， PD=PE， RtPDO RtPEO（HL） PODPOE.点P在AOB的平分线上.PC-16-结论结论P角的内部到角的两边的角的内部到角的两边的距离距离相等的点相等的点在角的平分线上在角的平分线上。用数学语言表示为：-17-问题解决问题解决如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）解：（1）作夹角的角平分线OC，（2）截OD=2.5cm , D即为所求。CD-18-典型例题典型例题例:如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P求证：点P在BAC的平分线上。 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，FBM是ABC的角平分线，点P在BM上，PDPE同理PEPFPDP