数值计算方法学习教案

1、会计学1数值数值(shz)计算方法计算方法第一页，共12页。) 34()()()!1(1)()()()()1(dxxfnxdxxLnxfxfQfIfRnbaba其中 与 有关。当 在 上不变号时，由广义(gungy)积分中值定理（参见本章末附注）知，存在 ，x)(x,ba,babandxxxfnfR)44()()()()!1(1)1( 最常用(chn yn)的数值积分公式，是节点等距时的求积公式（4-2）。此时节 公式（4-2）称牛顿-柯特斯（New-ton-cotes)求积公式。 时各有专门名称：4, 3 , 2, 1n4 , 3 , 2 , 1,/ )(, 1 , 0,hnabhniiha

2、xi（1）梯形(txng)求积公式：abhn , 1) 54()(12),()(2310 fhfRxfxfhfI（2）辛浦生(Simpson)或抛物线求积公式：2/ )(, 2abhn第2页/共12页第二页，共12页。)64()(90),()(4)(3)4(5210fhfRxfxfxfhfI （3）牛顿(ni dn)求积公式：3/ )(, 3abhn)(803)(3)(3)(3)(83)4(52210fhfRxfxfxfxfhfI（4）柯特斯求积公式(gngsh)：4/ )(, 4abhn)(9453)(7)(32)(12)(32)(7453)6(742210fhfRxfxfxfxfxfhfI

3、第3页/共12页第三页，共12页。复化求积公式(gngsh) 第3章已指出，提高插值多项式的次数，不一定能减小误差。因此，为减少求积公式的误差，利用高次插值多项式是不可取的。通常的办法，是把积分区间 分成若干小区间，在每个小区间上应用上述简单求积公式，将所得(su d)结果相加。如此得到的求积公式称复化求积公式。)()(2)()(2)()(2)()()(121101011nnxxxxxxxfxfhxfxfhxfxfhdxxfdxxfdxxffIxnn,ba 例如(lr)，把区间 分为 个相等的小区间，令,ban,/ )(nabhniihaxi, 1 , 0,。在每个小区间上应用梯形求积公式(4

4、-5),得第4页/共12页第四页，共12页。)(21)()()()(211210nnxfxfxfxfxfh将右边和式记为 ，则得复化梯形(txng)求积公式hT)74()(21)()(21)(11bfxfafhhTfInii其截断误差,),(12)()(2)()(113111iiiininixxiixxfhxfxfhdxxfhTfIfRii 第5页/共12页第五页，共12页。) 94()()(180)()()(2)(4)(3)()4(4111212fabhhSfIfRbfxfxfafhhSfIniniii利用连续函数的介值定理可以(ky)证明，当 连续时存在 ，使)(xf ,ba)()(1fn

5、fnii 再注意(zh y) ，则得abnh) 84()()(12)(1223 fabhfhnfR 类似地，把区间(q jin) 等分为 个小区间(q jin)，令 ，在两个小区间(q jin)连成的区间(q jin)上应用辛浦生求积公式（4-6），则得复化辛浦生求积公式。,ban2nabh2/ )( 第6页/共12页第六页，共12页。 例4-1 利用复化梯形求积公式(gngsh)计算积分10sin) 1 (dxxxsi使截断误差不超过 。取同样步长 改用复化辛浦求积公式(gngsh)计算，问截断误差界是多少？31021h解 由于(yuy)10,cossin)(txdtxxxf1010)(10

6、10)(112cos()()2cos()(cos)(kdttdtktxtxfdtktxtdttxdxdxfkkkkkkk根据式（4-8），为满足误差要求，只需 满足h32210213112)()01 (12 hfh第7页/共12页第七页，共12页。9690945. 06192877. 07851908. 06192877. 06155936. 07726976. 09397997. 040471841. 02112181)81()1(Tsi即 。取 ，按求积公式(gngsh)（4-7）得2134. 0h125. 081h对于同样步长 ，利用(lyng)复化辛浦生求积公式（4-9）计算时81h3

7、083946. 0)7851908. 01851958. 08615989. 0(2)6192877. 06155936. 07726976. 09397997. 0(40471841. 01241)81()1( Ssi第8页/共12页第八页，共12页。截断误差 641027.0511)81(1801fR解毕像例4-1这样取定步长 算积分的方法(fngf)，称为定步长积分法法。h变步长积分法 实际的积分计算问题，很难根据误差要求 ，由截断误差表示式确定步长 。不过由这种表示式可见，只要公式中涉及的高阶导数有界，当 时总有 。这说明，只需 充分小，必可满足误差要求。因此为计算积分，通常采取逐步缩

8、小步(xio b)长 的办法。即先任取步长 进行计算，然后取较小步(xio b)长 进行计算，如果两次计算结果相差较大，则取更小步(xio b)长进行计算，如此下去，直到相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步(xio b)长算出的结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。 fRh0h 0fRhhh*h 利用两种步长计算积分时，为了减少计算出数 的次数，通常(tngchng)取 。例如应用复化求积公式（4-7）时，注意)(xf2/*hh 第9页/共12页第九页，共12页。)()()()()(),21()(1211010nxfxfxfsbfafssshhT可见(kjin)104()()()(2)(21)21(2)2(21232111110nxfxfxfsshhTssshhT这表明算出 后，为算 ，只需计算新增节点(ji din) 处的函数值 ，将它们的和乘新步长 ，再加上 的一半，对于复化辛浦生求积公式（4-9），注意)(hT) 2(hThiaxi) 21(21)1(ni )(21ixf2h)(hT第10页/共12页第十页，共12页。)()()()()()()()(),4(3)(22422311021012nxfxfxfsxfxfxfsbfafsssshhSn可见(kjin)()()(),24)2(3)2(212232112122