19-20第1章1.31.3.1二项式定理

1、1.3二项式定理1.3.1二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理.(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通 项公式.(重点)自主预习IS新利- iii *教材整理二项式定理阅读教材P26P27例1以上部分，完成下列问题. 二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a + b)n = C0an+Cjian 1b+C2an 2b2+Cnan rbr+Cn bn(n C N士)称为二项式定理二项式系数各项系数cn(r=0, 1,2,，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Cnarbr是展开式中的第r+1项、可记做Tr+1 = cnarbr(其中0< r< n, r N , n N+)二项

2、展开式Cnan+Cnan 1b+ Cnan 2b2+ Cnan rbr+ Cnbn(nC N+)备注在二项式定理中，如果设a=1, b=x,则得到公式(1+x)n= 1 +Cnx+ C2x2+ ,+ Cx,+ Cnxn(n N )心戏体验口判断(正确的打“，”，错误的打"X”)(1)(a+b)n展开式中共有n项.()(2)在公式中，交换a, b的顺序对各项没有影响.()(3)Can-rbr是(a+ b)n展开式中的第r项.()(4)(ab)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.()【解析】(1)x因为(a+b)n展开式中共有n+1项.(2)x 因为二项式的第r+1项Cnan

3、-rbr和(b+a)n的展开式的第r+1项Cnbn 冒是不同的，其中的a, b是不能随便交换的.(3)x因为Cnan-rbr是(a+b)n展开式中的第r+1项.，因为(a-b)n与(a+ b)n的二项式展开式的二项式系数都是 Cn.【答案】(1)x (2)x (3)x ，合作探究心根素养二项式定理的正用、逆用誉型3 5【例11(1)用二项式定理展开 ”友；(2)化简：cn(x+ 1)nC1(x+1)n 1 + C2(x+ 1)n 2+ (1)rcn(x+ 1)n r+ (i)ncn.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5,且为两项的和，可直接按二项式定理 展开；(2)可先把x+1看成一个整体，分析

4、结构形式，逆用二项式定理求解.【解】(1) 2x 2x2 = C0(2x)5+C5(2x)4 - -2x2 + +C5 -3252 , 180 135 , 405 243= 32x5-12也+工-而一谈.(2)原式=Cn(x+ 1)n + C1(x+ 1)n 1(-1) + C2(x+1)n 2 ( 1)2+ + cn(x+ 1)n r( 1)r+ cn(1)n= (x+1)+ ( 1)n= xn.1 .展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特 征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2 .对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3 .对于化简多个式子的和时，

5、可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题 的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幕指数的规律以及各项的系数.跑蹦训炼1 4 一一 .1.求(2)化简:【解】34+的展开式；1 + 2Cn+4C2+-+2nCn.1 4法一:3G+ jx = C0(3/x)4+ 口(3班)1 c 11 2 o .13/ 1/ + C4(3IX) 瓜 + C4(3lx) 版 + C4 或 = 81X2+ 108x+ 54+? + X2.44法二：3必+国=喙= X2(81x4+ 108x3+ 54x2+ 12x+ 1)2 一 12 1= 81x2+ 108x+ 54+ + -2. x x(2)原式=1 + 2Cn+ 2

6、2cn+ + 2nCn= (1 + 2)n = 3n.二项式系数与项的系数问题建型21 6【例2】（1）求二项式2以一的展开式中第6项的二项式系数和第6项 x的系数;求x1的展开式中x3的系数. x【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式 的通项公式进行求解.【解】（1）由已知得二项展开式的通项为 Tr+11 r=C6（2Vx）6 r , x32r=(1)rC6 26 rx3,9 . 丁6= - 12 x .第6项的二项式系数为C5=6, 第6项的系数为C5 (-1) 2= 12.其系数为（1）3 C3= 84.(2)Tr+1 = C9x9 r 1 =(1)r C9x

7、9 2r, x9 2r=3,r=3,即展开式中第四项含x3,一坦律力巡1 .二项式系数都是组合数cn(r=0, 1,2,，n),它与二项展开式中某一项 的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数” 这两个概念.2 .第r+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 cn.例如，在(1 +2x)7的展开式中，第四项是T4=c7i"3(2x)3,其二项式系数是C7 = 35,而第四项的系数是C723=280.2. (1 + 2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系 数最大的项和系数最大的项.【解】T6=cn(2x)5, T7=

8、C6(2x)6,依题意有 比25=盛26,n=8.(1 + 2x)n的展开式中,二项式系数最大的项为T5=c8(2x)4=1 120x4.C82r>C8 12r 1,设第r+ 1项系数最大,则有r r r+1 r+1C820 c8 12,-5<r<6. .r = 5或 r=6（r=0, 1,2,，8）.系数最大的项为 T6=1 792x5, T7=1 792x6.求展开式中的特定项类型3 /1探究问题 .1 4 一一 1,如何求x+-展开式中的常数项？ x【提示】利用二项展开式的通项C4x4 r 1 = C4x4 2r求解，令4 2r= 0,则xr = 2,所以x+1 4展开

9、式中的常数项为C2=NP =6. x22 . (a+b)(c+ d)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】(a+b)(c+d)展开式中的各项都是由a+b中的每一项分别乘以c+d中的每一项而得到.13 .如何求x+ x (2x+1)3展开式中含x的项？【提示】x+1 (2x+1)3展开式中含x的项是由x+1中的x与1分别与(2xxxx+ 1)3展开式中常数项C3= 1及x2项C122x2= 12x2分别相乘再把积相加得x C3+1c3(2x)2=x+ 12x= 13x.即 x+1 (2x+ 1)3展开式中含 x 的项为 13x.xx 、，33- n【例3】 已知在 小一的展开式中，第6项为常数项

10、.3x求n；求含x2项的系数；求展开式中所有的有理项.【精彩点拨】写出通项 Tr+i - 令r = 5, x的指数为零一 1求出n值一修正通项公式 一 2求x2项的系数二|考查x指数为整数|一|分析求出k值-3写出有理项【解】通项公式为：n rrn 2r 一一 Tr+1 = cnx 3 (-3)rx 3=cn( 3)rx 3(1)二第6项为常数项，.，r = 5 时，有o 0,即 n=10.3人102r八/日 1令- = 2,得 r = 2(10 6) = 2, 所求的系数为C20( 3)2=405.(3)由题意得，102r3CZ,0<r< 10, r Z.人 10 2r令 a =

11、3k(k Z),13rCZ,k应为偶数，k= 2, 0, 2,即 r = 2, 5,8,所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2,-61 236 295 245x窟杼力泣1 .求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第 k项，Tr = cn-1an-r+1br1;求含xr的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项.2 .求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性

12、来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整 数，求解方式与求有理项一致.1.在(x43)10的展开式中，含x6的项的系数是(A. 27C60B. 27C40C. -9C1oD. 9C1o【解析】含 x6 的项是 T5=C40x6( y3)4=9C40x6.,x2.在2L 8二 的展开式中常数项是A. 28B.C. 7D.28x -【解析】Tr + 1 = C8-x8 -r3x1=(1) C8 28-3r、4x ,当 8 ,r = 0,312即 r=6 时，丁7= (1)6 c8 .2 =7.3. （2019全国卷田）（1+2*）（1+乂）4的展开式中x3的系数

13、为（）A. 12B. 16C. 20D. 24【解析】展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成,则x3的系数为C3+ 2C4= 4+8= 12.-21 6工口4.在2x2-；的展开式中，中间项是 x1 3 C【解析】由n = 6知中间一项是第4项，因T4=c6（2x2）3 一， =C6（x1）3 23 x3,所以 T4= 160x3.【答案】一160x3o 2 5 一一一.一,一一5.求X3 + 322的展开式的第三项的系数和常数项.【解】T3= c5（x3）3点 =c5 9x5,所以第三项的系数为 40一9-4 一9 252 .2 .通项 Tr+1 = C5(x

14、5; 3x2 = 3 C5x15,令 15 5r = 0,得 r = 3,所以为数项为 丁4= c5(x3)2 3x2 =87.课时分层作业（七）二项式定理（建议用时：45分钟）基础达标练一、选择题1.设 S=(x1)3+3(x 1)2+3(x 1) + 1,则 S等于()A. (x 1)3C. x3【解析】B. (x- 2)3D. (x+ 1)3 S= (x 1)+13=x3.2.已知1 7x-1的展开式的第 x4项等于5,则x等于（）A.7B.C. 7D.【解析】1 3T4=c7x4-x5,则x=17.3.若对于任意实数 x,有 x3 = a0+a1(x 2) + a2(x2)2+ a3(

15、x 2)3,则 a2 的值为（A.B. 6C.9D. 12x3 = 2+(x 2)3, m = C2X2=6.【解析】【答案】 B1 .4.使3x+ 而n(nC N+)的展开式中含有常数项的最小的 口为()A. 4B. 5C. 6D. 7n5r【解析】Tr+i = cn(3x)n r XX,=仪3n rx,当Tr+1是常数项时，n 2r=0,当r = 2, n = 5时成立.【答案】B5,仅 n的系数为.+2)51的展开式的常数项是()A. -3B. -2C. 2D. 3【解析】二项式X2 1展开式的通项为：Tr+1 =1 LC5 X2xx r( 1)r=c5x2rT0 ( 1)r.当 2r

16、10= 2,即 r = 4 时，有 x2 C5x 2 (1)Tr+1= C8 x8 rjr= C8 x8 2r,当 8 2r= 2 时，r = 5,.N的系数为 C5= = C4X ( 1)4=5;当 2r 10=0,即 r = 5 时，有 2 c5x0 (1)5= 2.展开式中的常数项为5 2 = 3,故选D.【答案】D二、填空题6,若x+1n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 x4A,贝U a的值是.163r解析Tr+i=C6x6 r( ax 2)r = c6( a)r x 2 , B = C6( - a)4, A= C6(a)2； B=4A, a>0,a=2.【

17、答案】28. 9192被100除所得的余数为 .【解析】 法一 ：9192=(1009产=脸 10092C$2 1 0091 9+C92 1009O92 + C92992,展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.992=(101)92=C02 1092-c12 1091+ - + C92 102-c92 10+1,前91项均能被100整除，后两项和为一919,因余数为正，可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000919=81,故9192被100除可得余数为81.法二:9192= (90+ 1)92= C02 9092+c92 9091+ C90 902 + C9

18、2 90+ C92.前91项均能被100整除，剩下两项和为92X90+ 1 =8 281,显然8 281除以100所得余数为81.【答案】81三、解答题9 .化简：S= 1-2C1 + 4Cn-8C3+ - + (-2)nCn(n N+).【解】 将 S 的表达式改写为：S= C0+ ( 2)C1 + ( 2)2C2 + ( 2)3C3 + + (2)nCn=1 + ( 2)n=(1)n.1, n为偶数时，S= (一 1)“ =()1, n为奇数时.10.在24x 古6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；含x2的项.【解】(1)第3项的二项式系数为C6=15,C “1c “ c又

19、丁3=废(2%)4 玄 2=24 c6x,所以第3项的系数为24C6=240.(2)Tr+i = C6(2W)6 r 1 r=(1)r26 rC6x3 r,令 3r=2,得 r=1.所以含x2的项为第2项，且T2=192x2能力提升练1.若cnx+ Cx2+ Cnxn能被7整除，则x, n的值可能为()A. x=4, n = 3B. x=4, n = 4C. x=5, n = 4D. x=6, n = 5【解析】CAx+ Cnx2+ - +cnxn=(1+x)n-1,分别将选项 A、B、C、D 代 入检验知，仅C适合.【答案】 C2,已知二项式 或+ jn的展开式中第4项为常数项，则1 + (

20、1 x)2 + (1 3xx)3 + (1x)n中x2项的系数为()A. -19B. 19 C. 20D. -2011 n 5r【解析】"十n 的通项公式为 Tr+1=cn(Vx)n rr=cnx26,由,xx0,得n=5,则所求式子中的x2项的系数为C2+C3+ C4+C2=1 + 3+6+10 = 20.故选 C.【答案】 C3,对于二项式1 + x3n(nCN+),有以下四种判断： x存在nC N+,展开式中有常数项；对任意nC N + ,展开式中没有常数项； 对任意nCN + ,展开式中没有x的一次项；存在nCN+,展开式中有x的一 次项.其中正确的是.1【解析】二项式1 + x3n的展开式的通项公式为Tr + 1 = Cnx4rn,由通项公x式可知，当n = 4r(rC N+)和n = 4r1(rC N+)时，展开式中分别存在常数项和一 次项.【答案】x 154.求x+-+小的展开式的常数项.2 x1 一 X+X -205C-51 一 X+X -22.+1 - X+X -2【解】 法一