2015年高考真题——理科数学(福建卷)解析版

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)第I卷(选择题共50分)-、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(1)【2015年福建，理1,5分】若集合Ai,i2,i3,i4(i是虚数单位)，B1,1,则AIB等于()(A)1(B)1(C)1,1(D)【答案】C【解析】由已知得Ai,1,i,1,故AIB1,1,故选C.(2)【2015年福建，理2,5分】下列函数为奇函数的是()(A)yVX(B)ysinx(C)ycosx(D)yexex【答案】D【解析】函数y、反是非奇非偶函数；ysinX和ycosx是偶函数；yexex

2、是奇函数，故选D.22(3)【2015年福建，理3,5分】若双曲线E:1的左、右焦点分别为E,F2,点P在双曲线E上，且PF13,916则PF2等于()(A)11(B)9(C)5(D)3【答案】B【解析】由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6,即3PF2|2a6,解得|PF29,故选B.(4)【2015年福建，理4,5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(力兀)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程?？x今，其中k?0.76,?y依，据此估计，该社区一户收入为15万

3、元家庭年支出为()(A)11.4万元(B)11.8万元(C)12.0万元(D)12.2万元【答案】B8.28.610.011.311.96.27.58.08.59.8斛析由已知行x10(万兀)，y8(万兀)，故55$80.76100.4,所以回归直线方程为§0.76x0.4,当社区一户收入为15万元家庭年支出为y0.76150.411.8(万元),故选B.2y0y0，贝Uz2xy的最2y20(D)2z最小时，直线y2xz的纵截距最大,1B1,-时，z取到取小值，取小值为2x(5)【2015年福建，理5,5分】若变量x,y满足约束条件xx小值等于()5c3(A) (B)2(C)一22【

4、答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为y2xz,当故将直线y2x经过可行域，尽可能向上移到过点1z21-2(6)【2015年福建，理6,(A)25，一，,故选A.25分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为(B) 1(C)0(D)-1Ml【答案】C【解析】程序在执行过程中S,i的值依次为：S0,i1;S0,i2;S1,i3;S1,i4;S0,i5;S0,i6,程序结束，输出S0,故选C.(7)【2015年福建，理7,5分】若l,m是两条不同的直线,(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件【答案】B【解析】若lm,因为m垂直于平面，则l/或lm垂直于平面，则1

5、m"是l/”的()(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件，若l/，又m垂直于平面，则lm,所以fm"是1/”的必要不充分条件，故选B.(8)【2015年福建，理8,5分】若a,b是函数fpxq个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则(A) 6【答案】D【解析】由韦达定理得(B) 7(C)0,q0的两个不同的零点，且a,b,2这三pq的值等于()(D)9项，故42aa所以p1,b(9)【2015年福建，理9,uur平面内一点，且AP5分】uuuABuuu-AB【解析】以13(B)bq,则a0,b0,当a,b,当适当排序后成等差数列时,2适当排序后成等比数

6、列时，2必为等比中2必不是等差中项，当a是等差中项时,4;当4是等差中项时,a已知uur4ACuuirACuurABuuruurAC,ABLuir-,ACt15，解得a4,b1,综上所述，abp5,t,若点p是ABC所在LULPBuuinPC的最大值等于()(C) 19(D)21A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则一,uuu1P1,4,所以PB1,4,tuurPC1,t41B-,0,tuuuuuu,因此PBPCuuuAP1,040,11617因为4t214,所以当14t,t时取等号,LUUPBuuu,_-PC的最大值等于13,故选A.(10)【2015年福建，理10,5分】若定义在R

7、上的函数fx满足x满足f则下列结论中一定错误的是(1(A)fk【答案】C【解析】由已知条件,构造函数(B)(C)fk0,故函数gx在R上单调递增，且六°，,所以结论中一定错误的是C,选项D不确定；构造函数0,所以函数hx在R上单调递增,一11且一0,所以hh0,即fkk第n卷选项A,B无法判断，故选C.(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.(11)【2015年福建，理11,5分】【答案】805x2的展开式中,x2的系数等于(用数字填写答案)x2的系数等于80.【解析】x25的展开式中x2项为C；23x280,所以则BC等于

8、2x,23【解析】由已知得阴影部分面积为4x2dx15.所以此点取自阴影部分的概率等于(14)【2015年福建，理14,5分】若函数f36,x25123logax,x2a0且a1)的值域是4,(12)【2015年福建，理12,5分】若锐角ABC的面积为1073,且AB5,AC8,【答案】7【解析】由已知得ABC的面积为1ABACsinA20sinA10丁3,所以$所人,A22余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosA49,BC7.(13)【2015年福建，理13,5分】如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等.【答案】512取值范

9、围是【答案】【解析】当1,22,故x64,要使得函数x的值域为4,，只需f1x4,，故a1,所以fx3loga2,所以3loga24,解得1a(15)【2015年福建，理15,5分】一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2L3logax2,所以实数*2的值域包含于a取值范围是1,2.xnnN，其中xk称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由或者由1变为0),已知某种二元码xx2Lx7的码元满足如下校验方程组:定义为：000,011,101,1已知一个这种二元码在通信过程中仅在第可判定k等于.【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0,10,其中运

10、算定义为:k位发生码元错误后变成了X4X5X6X7X2X3X6X7XiX3X5X700,011,1001101101,k1,2,L,n0变为1,00,其中运算01,110.现那么利用上述校验方程组出错；由x2x3x6不同数字运算后为1.由x4乂5%乂70可判断后4个数字x70可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；Xix3x5x70可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误.三、解答题：本大题共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(16)【2015年福建，理16,13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发

11、现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝X的分布列和数学期望.解：(1)设当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则543P(A)654(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3,又P(X1)1,P(X2)11,P(X56所以X的分布列为X123112p663所以E(X)1(17)2015年福建，理17,13分】如图，在几彳S体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面

12、BEEC,ABBEEC2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证：GF/平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.解：解法一：(1)如图，取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE中点，所以GH/AB,且GH-AB,21又F是CD中点，所以DFCD,由四边形ABCD是矩形得，AB/CD,ABCD2所以GH/DF.且GHDF,从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF/DH,又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF/平面ADE.(2)如图，在平面BEG内，过点B作BQ/EC,因为BECE,平面BEC,所以ABBE,ABBQ,以B为原点，分别以所以BQBE,因为ABuu

13、uuumuunBE,BQ,BA的万向为x轴,y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A0,0,2,B因为AB平面uuuBEC,所以BA0,0,2为平面BEC0,0,0,E2,0,0,F2,2,1,r的法向量，设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量,uuruur又AE2,0,2,AF2,2,1umrAEuurAF02x0得2x2z2yr取z=2得n2,1,2.从而cosi：n,LUInBAuuu-|n|BA|所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解法二：(1)如图，取AB中点M,连接MG,MF,又G是BE的中点,面ADE,GM平面ADE,所以GM/平面ADE.在矩形是AB,CD的中点

14、得MF/AD,又AD平面ADE,MF可知GM/AE，又AE平ABCD中，由M,F分别平面ADE,所以MF/平面ADE,又因为GMIMFM,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF/平面ADF,因为GF(2)同解法一.平面GMF,所以GF/平面ADE.22(18)【2015年福建，理18,13分】已知椭圆E:勺+%=1(a>b>0)过点(0,J2),且离心率为ab(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:xmy1mR交椭圆E于A,B两点，判断点G为直径的圆的位置关系,解：解法一：并说明理由.(1)由已知得ca2a222b2近,所以椭圆E的方程为2(2)设点A(x1,y1),xB-y

15、z),AB中点为H(x0,y0).由x24my2y2所以所以2m%+丫2=；，m+2-292|GH|(x04)V丫2=23c，从而V0m+22m222V。|AB|2422(x-x2)(y1-y2)，5、22(my0-)y0422(1m)(y1-y2)，22(m1)y01,得(m22)y22my30,19，,一-,0与以线段AB42e=25”0251622(1m)(%y2)-4的丫2(1m2)(y02-y1y2)故|GH|2所以|GH|解法二：(1)同解法一._2|AB|4|AB|25my02(m21)y1y2竺-m162(m2)99,0)在以AB为直径的圆外.423(m1)2m2251617m

16、22216(m2)9,y1)，Gb4(X2uuu(2)设点A(xy1),B(x2,y2),则GA(x1xmy122xy,得(m22)y212my30,所以y1y22m-2myiy24uuu从而GA2uuuGB(x14X29)45N1V2(myi5-)(my245)yiy2(m251)y1y2m(y14、25y2)163(m21)-m2"uuuuuu.所以cost'GA,GBj0,又25217m+221616(m+2)>0uuuuurGA,GB不共线，所以AGB为锐角.故点9G(一,0)在以AB为直径的圆外.4(19)【2015年福建，理19,13分】已知函数fx的图像是

17、由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度.2(1)求函数fx的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x的方程fxgxm在0,2内有两个不同的解(i)求实数m的取值范围；一9m2(ii)证明：cos()1.5解：解法一：y=2cosx的图像，再(1)将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到将y2cosx的图像向右平移一个单位长度后得到y2cos(x-)的图像，故f(x)2sinx,从而函数f(x)2sinx图像的对称轴方程为xk(kZ).2(2)(i

18、)f(x)g(x)2sinx_.2.1cosx5(-=sinx-=cosx)T5sin(x)(其中55sin依题意，sin(x)-m在区间0,2内有两个不同的解5当且仅当m1.511,故m的取值范围(ii)因为是方程.5sin(x)m在0,2内的两个不同的解，所以sin(sin(),即2(当51m1时,32(),所以cos()cos2(、_2)2sin(21)122m1.5解法二：(1)同解法一.(2)(i)同解法(ii)因为是方程/sin(x)m在区间0,2)内的两个不同的解，所以sin(sin(斯时,),即2(于是cos(1时,cos(2(2)(32(),所以cos()cos()cos()

19、cos(sin(2/cos()sin()sin()122)sin(>2m25(20)【2015年福建，理20,(1)证明：当x>0时,(2)证明：当k<1时,14分】fx已知函数fIn1存在X0>0,使得对任意的x0,t(3)确定k的所以可能取值，使得存在t>0,对任意的x解：解法一：恒有0,tfxgx；，恒有|f(x)-g(x)|<(1)令F(x)f(x)xln(1x)x,x0,),则有F(x)所以F(x)在0,)上单调递减，故当x0时，F(x)11xF(0)(2)令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx,x0,),则有G(x)0,1x1xx1即当，当x

20、(0,)时，F(x)0,x0时，f(x)x.kx(1k)5当k0时，G(x)0,故G(x)在0,1当0k1时，令G(x)0,得x1)单调递增，k1-10,kkG(x)取XoG(0)1-1,kx10,故对任意正实数X0均满足题意对任意x(0,%),有G(x)0,从而G(x)在0,)单调递增，所以G(x)G(0)0,即f(x)g(x).综上，当k1时，总存在Xo0,使得对任意x(0,Xo),恒有f(x)g(x).(3)当k1时，由(1)知，对于x(0,),g(x)xf(x),故g(x)f(x).2|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)令M(x)kxln(1x)x,x0,),则有M(x

21、)k'2x2x2(k2)Xk1故当x(0,k2'(k2)28(k-)时,m(x)0,1xx14M(x)在0,k24k2)一8(kD)上单调递增，故M(x)M(0)0,即|f(x)g(x)|x2.所以满4足题意的t不存在，当k1时，由(2)知，存在xo0,使得当x(0,凡)时，f(x)g(x),此日|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln(1x)kx,令N(x)ln(1x)kxx2,x0,),12x2(k2)x1k4小(k2),(k2)28(k1)、.则有N(x)k2x，当x(0,)时，N(x)0x1x14N(x)在0,(k2)J(k2)8(k上单调递增，故N(x)N(0)0,即

22、f(x)g(x)x2.4记(k27(k2)2j中的较小者为4足题意的t不存在.当k1时，由(1)知，当x令H(x)xln(1x)x2,x0,),则有H(x)所以H(x)在0,)上单调递减，故H(x)H(0)此时，任意正实数t均满足题意，综上，k1.解法二：2X,则当x(0,Xi)时，恒有|f(x)g(x)|x,故酒0时，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x),212x&-x,当x0时，H(x)0,1xx10,故当x0时，恒有|f(x)g(x)|x2,(1)解法一.(2)解法二.(3)当k1时，由(1)知，对于x(0,),g(x)xf(x),故|f(x)g(x)|从而得到，当

23、k当k1时，取k1g(x)f(x)kxln(1x)kxx(k1)x,1时,对于x(0,k1),恒有|f(x)g(x)|k1,从而kk11,由(2)知，存在Xo2令(k1)xx2,解得0xx2,故满足题意的t不存在.0,使得x(0,X0),f(x)kiXkxg(x),此日|f(x)g(x)|f(x)g(x)(kik)xx,令x22.一1k,解得0x,f(x)22g(x)x,记xo与的较小者为当k1时，由(1)知,X,当x(0,xi)时，恒有|f(x)g(x)|2x,故满足题意的t不存在.令M(x)xln(1x)x当x故当x0,|f(x)g(x)|f(x)2,x0,)，则有M(x)g(x)x111xln(12xx),2x20时，M(x)0,所以M(x)在0,)上单调递减，故M(x)M(0)0.x0时，恒有|f(x)g(x)|x2,此时，任意正实数t均满足题意，综上，k1.本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答.满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分,时，先用2B铅笔在答题卡上所选题目对