水星的运动规律

1、水星的运动规律摘要本文主要在水星的远日点和绕日运行的线速度的条件下,通过建立微分方程模型,使用解析法和数值方法求解水星的轨道方程与位置.解析法的求解的过程中,结合了开普勒三大定律,准确的给出了微分方程的精确解,求得水星到太阳的最近距离rm定4.6016x101°(m),水星绕太阳运行的周期约为88天.数值计算求解水星自远日点运行50天后的位置时,本文分别采用了Simpson求积法,基于压缩映射的求根方法以及经典的四阶龙格一库塔法,使用matlab数学软件编程,得到了较为合理的行星运行模型的近似解,三种方法所得结果对应分用=3.791,1球4.767父1010,也=3.791,r2归4

2、.767父1010及司=3.802,r3划4379M1010.关键词行星轨道微分方程Simpson法四阶龙格一库塔法matlab1. 问题重述水星到太阳的最远距离为0.6982父1011m此时水星绕太阳运行的线速度为3.886父104m/s.试求问题一水星到太阳的最近距离问题二水星绕太阳运行的周期问题三从远日点开始的第50天(地球大)结束时水星的位置并画出轨道曲线2. 问题分析求水星到太阳的最近距离以及水星绕太阳运行的周期等,需要先将水星轨道方程2r求出,因此可以根据Newton第二定律及万有引力定律-嘤生七二m二|,建立微rdt分方程模型,将原问题转化为求解带有初值条件的微分方程问题,进而采

3、用解析法或数值方法求解远日点和周期.3. 模型假设1 .水星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆2 .从太阳指向水星的线段在单位时间内扫过的面积相等3 .水星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比为常量4. 符号系统1. Vo水星在远日点的线速度2. M太阳的质量3. m水星的质量4. ro水星在远日点的距离5. T周期5. 建立模型与求解模型一水星的轨迹方程设太阳中央所在的位置为复平面的原点O,在时刻t,水星位于Z(t)=rei0所表示的点P.这里r=r(t),6="t)均为t的函数,分别表示Z(t)的模和辐角.于是水星的速度为乌=曳89+舟9电一双曳+ir吧),加速度为dtd

4、t出dt出咚=9'(曰-r(西)2)+i(r曰+2支妙J(1.1),而太阳对行星的引力依万有引dt:dtdtdtdtdt_力定律,大小为mMG,方向由行星位置P指向太阳的中央O,故为-mMGe,其rr中M=1.989M1030(kg)为太阳的质量,m为水星的质量,G=6.672101(Nm2/kg2)为万有引力常数.依Newton定律,我们得到一吗.rd27=md4(1.2),将1.1)代入(1.2),dt然后比拟实部与虚部,就有dSr-dtd2r羽cdrd?,2二0dtdt,du、2MG-r()=dtr2这是两个未知函数的二阶微分方程组.条件.假设当t=0时,行星正处于远日点,在确定

5、某一行星轨道时,需要加上定解而远日点位于正实轴上,距原点.为r0,行星的速度为v0.那么就有初值条件:t=0tz0二r0二0tZ0=0_V0t=0=一d2rdt2-注)dtdrdt由dt因此问题转化为求解带初值问题的微分方程组ro_d日drd8rr+2dt2dtdtir,er.8匕=0drdtt=0=0史dt_V0t-0一0又将rd|+2如此=0两边同乘以r,即得色“2吧=0,从而r23=c,dt2dtdtdtdtdttt1cdic.t其中C1=r°v°,这样有向线段OP在时间事内扫过的面积等于1r2tdt=E,t2dt2这个正是Kepler的第二定律,从太阳指向水星的线段

6、在单位时间内扫过的面积相等.,222将1.3代入d4r变2=-学得町-c3=-嘤,于是我们可以得到水dt2出r2dt2r3r2星运行的较为简单形式的数学模型：MG22drg2一dtrddtdrdtt=o=0为了求得行星的轨迹方程,要消去变量t,令r=1,那么变=与可以改写为udtrd2一二c1udt,22drg2dtr将上式代入drd,du、d2ud122d2u二C|()=-C1tv=-C1u77dtdtd?ddtd12/2,与,化简后为d4+u=-(1.4),其中p=u,引进u=u-1,立r2d12pMGp记e=Ap,上式可即可以求出u-,=u=Acos8-日0,这里A和日.是待定的常数P以

7、写为p1-ecos(1-2)这个就是水星的轨道方程,是一条平面二次曲线.由于水星绕太阳运行,故必有0<e<1.由于r在t=0时取道最大值r0远日点,这个就意味着此时函数cos.-备取道最大值1.于是就有为=0,e=1-2,从而轨迹方程为r0r=p0对于水星而言,r°=0.698M1011m,v.=3.886M104m/s,又水星的1-ecos近日点到太阳的距离rm=p=p.依据数据,可知1-ecos二1e152G210G=r0v0ft2.713x10(m2/s),p5.547=<10(m),e=1-fc0.2055,从而计算水星到太阳的最近距离为rm4.601610

8、10(m)MG模型二水星的运行周期设水星的周期为Kepler第二定律,我们有T1r2d%tJciT02dt2(1.4)上式左端为水星轨迹椭圆所围的面积,记为S,由于椭圆的半长轴a,半短1一e2轴b=,p,从而有S=nab=3231e(1-e2)2将上式代入式(1.4),解得T=27Tp23C1(1-e2)2(1.5)将有关数据代入,易得T：7.6025106(s):87.9919(d)模型三水星的位置由于水星的运行满足Kepler第二定律,那么该式可改写为E"r2d8=CQt,从而可得"p2dl-t)C1(1-ecos?)如果我们要求t=Ti时相应的日和r,那么意味着首先要

9、解方程,FR)=CT1,p其中在求出了t=T1时的日后,立即可以由r=-J得到相应的r.1 -ecos-卜面用数值方法求解水星的位置1 .Simpson法由被积函数12的恒正性可知F(e)单调,从而方程F(e)=C3的根必(1-ecosi)2p存在且唯一.取Ae=h,ek=kh(k=1,2,.),记Fk=F(%).假设Fn3理,七书之理,PP那么3位于斗与斗卅之间,在h适当小时,可取6&en0nn-in计算F(6)可采用不同的数值积分法,本文采用Simpson法,取步长h=0.001,具体求解过程见附录一,最后结果为三=3.791,r,4.76710102 .基于压缩映像的求根方法我们

10、引入水星轨道椭圆的参数方程,由于椭圆的半长轴a=P2,半短轴1-eb=,从而中央到焦点的距离为la2-b2=ae.因左焦点为原点,故椭圆中1 -e2心位于(ae,0),于是得到参数方程,Lx;a(ecos)y-bsin它们与r,e的关系为x2y2=r2,-=tanx一.、_W44一“4此式可改与成C/t=(xy'-yx')d=abesin(：小)-esinabG当t=Ti时解方程esin-CarCT记九=C-,g*=esin、那么上式即邛=gF),就是说要去求函ab数gT)的不动点,求解方程不动点可以采用简单迭代法,对于水星,我们已计算出e*0.2055,由于e很小,因此迭代收

11、敛理论上可以很快,当时间从远日点开始的第50天结束时,意味着T1=0.432父107(s),从而C1T1CiT,2abp3(1-e2)23.5703不妨取中0=0,于是1 =-esin0=3.57032 -esin1=3.65575 =-esin4=3.67476 =-esin5=3.6747故一二3.6747由式x=a(e+cos"y=bsin中,x2+y2=r2,y=tan6,可以计算出相应的0,x即由一bsin:tarn=0.75849a(ecos)得8=0.64891,而6=8+n=3.791此时的距离r为r=Ja(e+cos)2十bsin/2=4.7668父1010(m3.

12、经典四阶Runge-Kutte法由我们将由最初的微分方程组求解水星的位置,方程组见下亚上MGdt2-r3一一r2dc,dt-r2drt田=0drI八出°t=0=0令qd,那么我们可以得到一阶微分方程组:dt_2_dqCiMGdrqdtd-Cidtr2t_0drdtt=0日,t卫二0假设记这个微分方程组中方程的右端依次为Q(t,q,r,0),R(t,q,r,8)和S(t,q,r,6),那么相应的四阶Runge-Kutte迭代格式法为h,qk1=qk(Ki2K22K3K4)6和久2""h八1一人一(N12叫2N3N4)6h,这里对于qk=qk+(K1+2K2+2K3+

13、K4),有6Ki=Q(tk,qk,r-k)K2hhKi=Q(tk-,qk-/k22.hLi-T,A.吗2K4h二Q(tk-,qkhK22,rk2)-Q(tkh,qkhK3,rk也,h)初值为q.=0,r.=0,«=0,那么对于给定的步长值h,类似可以逐步计算一系列的qkJk,",由于行星绕着太阳运行,只需取W2兀,5书之2兀,而取得行星轨道系列点的近似坐标(rk,ek),再通过极坐标与直角坐标的转换,继而可以绘出轨道曲线.通过matlab编程求解得日=3.802,r比4.779父101°,轨道曲线如下程序见附录二.6. 模型推广本文建立的微分方程模型对于求解行星绕

14、日运行轨道具有广泛的应用空间,只需给出行星的远日点和在远日点的运行线速度即可计算出轨道方程,用数学软件绘出近似的轨道曲线,对于研究天体运行有所帮助.止匕外,本文采用的求解微分方程的数值方法,具有较为快速且准确的收敛效果,可以用来求解其他类似的微分方程模型.7. 参考文献11乐经良,数学实验,北京,高等教育出版社,1999年10月2周品,matlab数值分析,北京,机械工业出版社,2021年1月八.附录附录一functionq1=y2(x)q1=(1-0.2055*cos(x)A-2;h=0.001;k=1;x=h*k;f=quad('y2',0,x)whilef(k)<3

15、.8091k=k+1;x=k*h;f(k)=quad('y2',0,x);endx附录二formatlongc1=2.7132e15;M=1.989e30;G=6.672e-11;Q=inline('2.7132e15A2/(rA3)-1.989e30*6.672e-11/(rA2)');R=inline('q');S=inline('2.7132e15/(rA2)');q=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;whiletheta<=2*piK1=Q(r);L1=R(q);N1=S

16、(r);K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1);K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2);K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3);t=t+h;q=q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);r=r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4);theta=theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4);rr(k)=r;ee(k)=theta;xx(k)=rr(k)*cos(ee(k);%水星任意位置的横坐标yy(k)=rr(k)*sin(ee(k);

17、%水星任意位置的纵坐标k=k+1;end;plot(xx,yy)%画出水星的轨道曲线text(0,0,太阳)text(0.6982e11,0,远日点)text(-4.6078e+010,0,近日点)holdon;plot(0,0,'r.','MarkerSize',20);holdoffholdon;plot(0.6982e11,0,'r,'MarkerSize',20);holdoffholdon;plot(-4.6078e+010,0,'r.','MarkerSize',20);holdofftitle('水星绕太阳运行的轨道曲线)clcq=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;whilet<=50*24*3600%求水星自远日点开始第50天的位置K1=Q(r);L1=R(q);N1=S(r);K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1);K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2);K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3);t=t+h;q=q+h/6*(K1+2*K2+