高中数学复习-数列求和-裂项相消法

1、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。1、特别是对于，其中 an是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用an an 1a*an i1anan 1，其中an i an2、 常见拆项:1n(n 1)1(2n 1)(2 n 1)1 1 12(2n 1 2n 1)1n(n 1)( n 2)2右(n 1)(n 2)n n! (nn(n 1)!1)! n!1 1 n! (n 1)!求数列 n(n的前n和Sn.1)例2 求数列的前n和sn .n(n 2/例3 求数列的前n和Sn.n(n 1)(n 2)1 1求数列1,2.2.3',n的前n项和.例5:求数列1n(

2、n 2)的前n项和S例6、求和Sn(2n)2(2n1)(2 n 1)、累加法1 适用于：an i an f (n)这是广义的等差数列累加法是最根本的二个方法之一。2 .假设 an 1 anf (n) (n 2),a2a1f (1)那么a3a2f(2)那么卅IIIan 1anf( n)两边分别相目加得nan 1 a1f(n)k 1例1数列an满足an 1 an 2n 1, ai 1，求数列a.的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 那么an (an an 1) (an 1 an 2)III (a3 a2) (a2 ai) a12( n 1) 1 2(n 2)

3、1(2 2 1) (2 11) 12(n 1) (n 2)2 1 (n 1) 12 (n 1) 12(n 1)(n 1) 1n22 所以数列an的通项公式为an n。例2数列an满足an 1 an 2 3n 1,印 3，求数列a.的通项公式。解法一：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1 an 2 3n 1 那么(an an 1丿(an 1an2)(a3a2)(a2 a1) a1n(2 31 1)(23n21)(23 答案：n n 111) (2 31) 3n 12(33n2III3231) (n1)33(13n 1)2(n1)313n33n 13an所以 an3nn 1.解法二：an

4、 i 3an 2 3n 1两边除以3n 1，得储至？3 333an 13nan23n3an,an an 1、3n(an 1an 1an 2丿尹丿(an 2an 3)尹丿a1(2 丄)(2k33八 3列丿(2HI(22(n 1) (13n3nHI扌)因此a.2(n 1)存13n 1)12n1 1n，3n31332 2 3n那么ar21nn 31 3n丄322练习1.数列an的首项为1 ,且n1an 2n(n N)写出数列an的通项公式.练习2.数列an满足a1an1an1 眉丁2)，求此数列的通项公式.答案：裂项求和an评注：a1 a冇1冇f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、

5、指数函数、分式函数，求通项an. 假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3数列 an 中,an 0且Snn),求数列an的通项公式anSn解:由2(an)Snan得2(SnSnSn化简有，由类型有2 2SnS1又S1a1 得 a11n(n 1)Sn，所以2，又ansn2n(n 1)an那么2n(n1) 2 n(n 1)2此题也可以用数学归纳法来求解二、累乘法1适用于：an 1 f(n )an这是广义的等比数列累

6、乘法是最根本的二个方法之二。1a?2 假设 n 1 f (n)，那么 2ana1f(1)?f (2),M；1 f(n)an两边分别相乘得，an 1a1na1k 1f(k)例4数列an满足an 12(n1)5nan, 2313，求数列an的通项公式。解：因为an 12(n1)5n a., a13，所以an 10，那么亠an2(n 1)5n ，故an例5设an是首项为1的正项数列，且 2 n 1 an 12nanan 1an 0 n=1 , 2,3，那么它的an 1 an 2a2 ai2(n 1 1)5n12(n 2 1)5n 2卅2(2 1) 522(1 1) 51 32n 1n(n 1)3 2 5(n 1) (n 2)21 3n( n 1)n 12 .3 25 2 n!n( n 1)所以数列an的通项公式为an3 2n 1 5 n!.通项公式是an =解：等式可化为：(a n 1an) (n1)an 1nan0an 1nan 0 (n*N )(n+1) an1 nan05即ann 1ann 1n 2时，an 1nan anan 1a2 .W n 1n21 11nan 1an 2a1=nn12 =n评注：此题是关于an和an 1的二次齐次式，可以通过因式分解一般情况时用求根公式 得到an与an 1的更为明显的关系式，从而求出a练习an 1nan n 1,a11，求数列an的通项公式