直线和抛物线的位置关系课件课件

1、关于直线和抛物线的位置关系课件第一页，共64页幻灯片一、直线和抛物线的位置关系一、直线和抛物线的位置关系方程组两组解方程组两组解相交相交方程组没有解方程组没有解相离相离方程组一组解方程组一组解相切相切若消元得到一次方程，若消元得到一次方程，直线和抛物线的对称轴平行或重合直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系为相交关系.若消元得到二次方程若消元得到二次方程,则则思考：只有一个交点一定是相切吗？思考：只有一个交点一定是相切吗？xOy第二页，共64页幻灯片判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一

2、次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离第三页，共64页幻灯片 例例1 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程只有一个公共点的直线的方程.2xy2由由 得得 0 x2xy20 x0y故直线故直线 x=0与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.解解: (1)若直线斜率不存在若直线斜率不存在,则过点则过点P的直线方程是的直线方程是 x=0.1kxy2xy221由方程组由方程组 消去消去 y 得得 (2)若直线斜率存在若

3、直线斜率存在,设为设为k,则过则过P点的直线方程是点的直线方程是011)x2(kxk22当当 k=0时，时，x= ,y=1. 故直线故直线 y=1 与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点 .y=kx+1,xyO当当k00时，若直线与抛物线只有一个公共点，则时，若直线与抛物线只有一个公共点，则.21k0,4k1)4(k22此时直线方程为此时直线方程为1.x21y综上所述，所求直线方程是综上所述，所求直线方程是 x=0 或或 y=1 或或1.x21y第四页，共64页幻灯片 练习：练习： 当当k为何值时为何值时,直线直线y= k x+1与抛物线与抛物线24yx(1)相交相交,(2)相切相切,(3)

4、相离相离?解：由方程组解：由方程组 22x(24)x+10kk2yx 14kyx消去消去 y ，并整理得，并整理得01k（1）当，即时，直线与抛物线相交当当K 0时，时，该方程是一元二次方程该方程是一元二次方程,所以所以22(24)416(1)kkk 01k （3）当，即时，直线与抛物线相离01k （2）当，即时，直线与抛物线相切综上所述，当综上所述，当k1时直线和抛物线相离时直线和抛物线相离.当当k=0时时，直线方程为，直线方程为y=1，与抛物线交于一点，与抛物线交于一点第五页，共64页幻灯片例例2： 在抛物线在抛物线 上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的的距离最小距离

5、最小.2xy5| 31)(x|5| 4x2x|5| 4y2x|d22 解：设解：设P(x,y)为抛物线为抛物线 上任意一点，则上任意一点，则P到直线到直线2x-y-4=0的距离的距离2xy 此时此时 y=1，所求点的坐标为，所求点的坐标为P(1,1).53dmin当且仅当当且仅当 x=1 时，时， ，第六页，共64页幻灯片 另解另解: 观察图象可知观察图象可知,平移直线至与抛物线相切平移直线至与抛物线相切,则切点则切点即为所求即为所求. 2xy联立联立 得得 设切线方程为设切线方程为 2x-y+C=0，0C2xx2)(由由 得得 C=-10C)(42)(2又由（又由（ ）得）得 x=1x=1，

6、y=1.y=1.故所求点的坐标是（故所求点的坐标是（1 1，1 1）.点评：此处用到了数形结合的方法点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0 xyO2yxp第七页，共64页幻灯片1.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有( ）（A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条 xy82C C.P第八页，共64页幻灯片2.2.在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离最的距离最短，并求此距离。短，并求此距离。分析分析：抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线抛物线上到直线距离最短的点，是和此

7、直线平行的切线的切点。平行的切线的切点。yx y2=64x 4x+3y+46=0解解：无实根无实根直线与抛物线相离直线与抛物线相离设与设与4x+3y+46=0平行且与平行且与y2=64x相切的直相切的直线方程为线方程为y=-4/3 x+bLP第九页，共64页幻灯片则由则由y=-4/3 x+by2=64x消消x化简得化简得y2+48y-48b=0=482-4(-48b)=0b=-12切线方程为：切线方程为：y=-4/3 x-12y=-4/3 x-12 y2=64x解方程组解方程组得得 x=9 y=-24切点为切点为P（9，-24）切点切点P到的距离到的距离d=234|46)24(394|22抛物

8、线抛物线y2=64x到直线：到直线：4x+3y+46=0有最短距离的点为有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为），最短距离为2。第十页，共64页幻灯片 3、斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦的焦点点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x226104xxyx y=x-1解：由得2321 1812法1：|AB|= 1+k|a|112222,), (,),6268A x yB xyxxxx法2：设（则，|AB|=p+第十一页，共64页幻灯片26 ,41yxM4、已知抛物线求以点，为中点的弦所在直线的方程。 即为所求。所以

9、，所以因为所以得所以直线与抛物线交于解：设直线方程0113, 31266212616, 1421212121212221212211yxkyykyykyyxxyyxyxyyxByxAxky第十二页，共64页幻灯片二、抛物线的焦点弦性质二、抛物线的焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 (

10、5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。OyABF112(7)AFBFp第十三页，共64页幻灯片x xy yo oAABBFxOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2p第十四页，共64页幻灯片AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A

11、(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.222111证明：如图，AABBAFBFABMM故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.第十五页，共64页幻灯片XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。12345600023563518049090AFB 证明：如图，1=， 4=，又 14，1，即第十六页，共64页幻灯片过抛物线过抛物线

12、y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理01ABx当轴时，pppp易得A（ ， ），B（ ，- ），2222224pypx11y-，x；02 AB斜率存在时设为k，（k0）p则直线AB方程为y=k（x- ）22px2代入抛物线方程y22202yppyppkk22消元得y（）即y22yp1y-；222112224yypxpp1xxOyABF第十七页，共64页幻灯片2222212224212222()2220(

13、2244ypxpyp mypxmyypmypy ypyyppppp 12即：（定值）x x定值）2pABxmymR设方 程法 二 ： 由 题 知 AB不为， （与 x轴 平 行）xOyABF第十八页，共64页幻灯片QPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0 ,2(),2(),2(21pFypQypPQFPF 0QFPF0),(),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交两交点为点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4; y1y2

14、=-p2; 法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90 。第十九页，共64页幻灯片代入抛物线得代入抛物线得y2ms，练习练习 (1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)交交于于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设证明：设AB 的方程为的方程为=ms（m）2222121222224yypsx xsppp（）122 syyp (2). 若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且且有有x1x2=s2;y

15、1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点 (s,0)(s0)证明证明：21122222ypxypx1212122AByypkxxyy相减得11122pAByyxxyy直线方程为（）21121022yyy ypxpx令得2112ypx12因为，y y =-2ps代入上式得0 xsABs 直线必过点（ ， ）lyy2=2pxAMxB第二十页，共64页幻灯片若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则则直线过定点直线过定点 M(s,0)，(s0) x1x2=s2;y1y2=-2ps. （1）M为焦点，即过（为焦点，即过（p/2，0）x1x2

16、=p2/4;y1y2=-p2.（2）M过（过（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M过（过（2p，0）（4）M过（过（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.OAOB（5）M过。过。抛物线对称轴上的重要结论lyy2=2pxAMxB第二十一页，共64页幻灯片过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明证明: 思路分析思路分析|AB|=|AF|+

17、|BF|= 12xxp0190pp20（）时，k不存在，pp易得A（ ， ），B（ ，- ），222pAB =2P=sin 9002290tantankyxpx12p（ ）时，斜率，直线方程为（）22p然后联立方程组用韦达定理得 ABxsin思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短第二十二页，共64页幻灯片12121212121222212121212127)221111222222()()244422()2ppAFXBFXppXXppppAFBFXXXXxxpxxppppppx xxxxxxxpppxxpxOyABF过抛物线过抛物线y2

18、=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交两交点为点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则112AFBFp第二十三页，共64页幻灯片例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛的一条直线和抛物线相交于物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴.22221212:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12证明 设直线的方程代入得设（x， ），（x ， ）则xC1111ypyppy=，x=-联立得（-，-）x222x1212

19、21y yypyy11c211pypyy-y2x22p|BCX轴yFABCO第二十四页，共64页幻灯片例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物的一条直线和抛物线相交于线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过过B作作BC准线准线l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线. (2001年高考题年高考题)22221212:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12证明 设直线的方程代入得设（x， ），（x ， ）则|BX轴2Cyp（-， ），221pCyp即（-，）2221111111212OApyyypkpyxyxOCk|

20、OC OAO且共点 ，ACO直线过点yFABCO第二十五页，共64页幻灯片例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB， 1. 求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线求证：直线AB过定点；过定点； 3. 求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程； 4. 求求AOB面积的最小值；面积的最小值； 5. 求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物线中的直角三角形问题第二十六页，共64页幻灯片例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上

21、的两点，且上的两点，且OAOB， (1) 求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积； 解答解答 (1)设设A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点，中点P(x0, y0)， 2211,xykxykOBOA OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 022212221 yypypy y10, y20, y1y2= 4p2 x1x2=4p2.第二十七页，共64页幻灯片例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(2) 求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；

22、解答解答(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1 y2)(y1+y2) = 2p(x1 x2)2121212yypxxyy 212yypkAB )(2:1211xxyypyyAB 直直线线21112122yypxyyypxy 21211212122yyyypxyyypxy 2211214,2pyypxy 2122142yypyypxy )2(221pxyypy AB过定点过定点T(2p, 0).第二十八页，共64页幻灯片)2,2(2kpkpA同理，同理， 以代以代k得得B(2pk2, -2pk) .k1 )1()1(0220kkpykkpx例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2

23、= 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB， (3) 求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程； 2)1(1222kkkk2)(200 pypx即即 y02 = px0-2p2， 中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2 = px-2p2(3)设设OA y = kx，代入，代入y2=2px 得得: k 0， 第二十九页，共64页幻灯片|)|(|)|(|212121yypyyOTSSSBOMAOMAOB(4)2214|2pyyp 当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立. 例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，

24、(4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值；第三十页，共64页幻灯片(5)法一：设法一：设M(x3, y3), 则则 33xykOM33yxkAB )(:3333xxyxyyAB 得代入即pxyxyyxyx2)(23333, 02223323332pxxpyyxpyy例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2， 23323422ppxxpy 整理得：整理得：x32+y32 -2px3=0， 点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(

25、0, 0).第三十一页，共64页幻灯片 M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉去掉 (0, 0). 评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论. OMT=90 , 又又OT为定线段为定线段法二：法二： AB过定点过定点T(2p, 0).7.7. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.第三十二页，共64页幻灯片小结：小结： 在求轨迹方程问题中易于出错是对轨在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。

26、因此，在求迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子不法分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无意有无“漏网之鱼漏网之鱼”“”“逍遥法外逍遥法外”，应将其，应将其找回。找回。第三十三页，共64页幻灯片四、点与抛物线四、点与抛物线点点P(x0,y0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判的位置关系及判断方法断方法.1.点在抛物线外点在抛物线外2.点在抛物线上点在抛物线上3.点在抛物线内点在抛物线内y02-2px00y02-2px0=0y02-2px0 20 x2144k即4 20

27、 x012xk 第三十五页，共64页幻灯片xb1解法二：由题目k0可设直线AB方程为y=-，k210104xbbkk 22与y=x 联立得x，22122112xyxbxbbkk 1111又x，y（-）（-）kk22111222ABMbkkk9中点 （，）代入y=kx+得，b=4-，22221101111614464bkkkkk ，-或2,92yxA Byk xk例4、已知抛物线上存在两个不同的点关于直线l：对称，求 的范围.x.FOyABPMl第三十六页，共64页幻灯片214:2yl yxm2x练习：椭圆上存在关于直线9对称的两点A、B，求m的范围。112200000000:A(x ,y ),

28、B(x ,y ),(x ,y )1,144x4198x,9 y21010,1498x,-2m21010ABMym ymyMm ym 22221122AB200200解法一 设中点xyx相减得99k又x点在椭圆内部9代入y =2x +m解上式解得得第三十七页，共64页幻灯片214:2yl yxm2x练习：椭圆上存在关于直线9对称的两点A、B，求m的范围。22222221ABy=124253632,25251816(,2599360)2520,4425-2m245yxnxnxnnxynnAnnMnBm 121x，y中点代入yx解法二：设方程为代入9得，由得又=2x+m5可得得n=-代入4第三十八页

29、，共64页幻灯片l l1 1l l2 2【例题例题5 5】如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2，NLNL2 2, ,以以A,BA,B为端点的曲为端点的曲线段线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等， 为锐角三为锐角三角形，角形， , ,建立适当坐标系建立适当坐标系, ,求曲线求曲线C C的方程。的方程。B BA AM MN N分析：分析：1.1.如何选择适当的坐标系。如何选择适当的坐标系。 2.2.能否判断曲线段是何种类型曲线。能否判断曲线段是何种类型曲线。 3.3.如何用

30、方程表示曲线的一部分。如何用方程表示曲线的一部分。第三十九页，共64页幻灯片如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2, ,以以A,BA,B为端点的曲线段为端点的曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等， 为锐角三角形，为锐角三角形， , ,建立适当坐标系建立适当坐标系, ,求曲线求曲线C C的方程。的方程。l l1 1l l2 2y yx xD D解法一：3ANACNRt中，中，由图得，由图得，），为为（221AC CB BA AM MN N曲线段曲线段C

31、C的方程为：的方程为：)0, 41 (82yxxy即抛物线方程：即抛物线方程：xy82建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O，22|2 2ACAMMC22|1NCANAC| 62BpxBN第四十页，共64页幻灯片如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2, ,以以A,BA,B为端点的曲线段为端点的曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等， 为锐角三角形，为锐角三角形， , ,建立适当坐标系建立适当坐标系, ,求曲线求曲线

32、C C的方程。的方程。l l1 1l l2 2AMN6, 3,17BNANAMy yx xD DC CB BA AM MN N解法二：)22 ,23(pA)23(28pp曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：)0, 41 (82yxxy建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O032 2| 6222BpppNAxBN则 （， ），（，），第四十一页，共64页幻灯片y yx xB BA AM MN NC CD D建立如图所示的直角坐标系，原点为解法三：)0 , 0(MQ曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：) 0, 63)(2( 82yxxy3ANACNRt中

33、，中，22|2 2ACAMMC22|1NCANAC3,ANADMCACMRt第四十二页，共64页幻灯片222)1:1PAxyl xP例6(1)已知动圆 与定圆 ：（外切，与定直线相切，求动圆圆心 的轨迹方程.yAP1x 2x MN20)=2px (p0)的焦点且与的焦点且与x x轴垂直，轴垂直， 若若l l被抛物线截得的线段长为被抛物线截得的线段长为6 6，则，则p=_p=_3xyOy y2 2=2px=2pxAB)0 ,2(pFl),2(pp),2(pp第四十五页，共64页幻灯片2y(2)(2)已知抛物线方程已知抛物线方程 =8x,=8x,则它的焦点坐标为则它的焦点坐标为_,_,准线方程为准

34、线方程为_， 若该抛物线上一点到若该抛物线上一点到y y轴距离等于轴距离等于5 5，则它到抛物线的，则它到抛物线的 焦点的距离焦点的距离为为_， 若该抛物线上一点若该抛物线上一点M M到焦点距离等于到焦点距离等于4,4,则则M M的坐标为的坐标为_._.(2,0)x=-2-27 7(2,4),(2,-4)xyOFlMH(2,0):x=-2xy82(2,0)xyOFlpQH:x=-2xy82第四十六页，共64页幻灯片（3 3）抛物线的顶点在原点，）抛物线的顶点在原点， 对称轴为对称轴为y y轴，焦点在轴，焦点在 x+2y-12=0 x+2y-12=0上，上， 则它的方程为则它的方程为_._.xyF(0,6)oL: x+2y-12=0（4 4）抛物线）抛物线y2=2x上的两点上的两点A A、B B到焦点的距离和为到焦点的距离和为5 5，则线段，则线段ABAB中点到中点到y y轴的距离是轴的距离是_._.x2=24yxyOFL:x=- BAMDCN212第四十七页，共64页幻灯片(5) 一抛物线拱桥，当拱顶离水面一抛物线拱桥，当拱顶离水面2 2米时，水面宽米时，水面宽 4 4米，则当水面下降米，则当水面下降1 1米后，水面宽米后，水面宽_米。米。xyOlGB(2,-2)(-2,-2)A2CDH221x2=-2-2