金融工程学(第七章)

1、第七章第七章 期权期权一、期权的定义与种类 1、期权的概念 所谓期权（Option），是指赋予其购买者在规定期限内按双方约定的价格（简称执行价格，Exercise Price或Striking Price）购买或出售一定数量某种资产（称为标的资产，Underlying Assets）的权利的合约。根据期权购买者的权利不同、执行时限不同和标的资产不同，期权又有多种不同的分类。 2、期权的分类 按期权买者的权利划分 看涨期权(Call Option)：如果赋予期权买者未来按约定价格购买标的资产的权利，就是看涨期权。 看跌期权(Put Option)：如果赋予期权买者未来按约定价格出售标的资产的权利

2、，就是看跌期权。 例：投资者购买一个100股MS股票的看涨期权。期权费用$5/股，执行价格$100，股票现价$98。假定期权到期日MS股票$115/股，则执行期权的结果如下： 期权购买者损益： 100（$115 $100 $5） = $1000 期权出售者损益： 100（$100 $5 $115） = -$1000看涨期权损益-35-30-25-20-15-10-505101520253035708090100110120130现货价格（$ ）损益（$ ）看涨期权购买者利润（$ ）看涨期权出售者亏损（$ ） 例：投资者购买一个销售100股Oracle公司股票的看跌期权，执行价格为$70/股，股

3、票现价$65/股，期权费用为$10/股。假定到期日股票价格为$50/股，则执行期权的结果如下： 期权购买者损益： 100（$70 $50 $10）=$1000 期权出售者损益： 100（$50 $10 $70）= $1000看跌期权损益-25-20-15-10-50510152025404550556065707580859095100现货价格（$ ）损益（$ ）看跌期权购买者损益( $ )看跌期权出售者损益（$ ） 按执行时限划分：欧式期权、美式期权和百慕大期权 按标的资产划分：股票期权、股价指数期权、金融期货期权、利率期权、货币期权（外汇期权） 3、期权的多方与空方 多方权利：对于期权的多

4、方来说，在付出期权费后，期权合约赋予他的只有权利，而没有任何义务。他可以在期权合约规定的时间内行使其购买或出售标的资产的权利，也可以不行使这个权利。 空方义务：对期权的出售者来说，他只有履行合约的义务，而没有任何权利。当期权买者按合约规定行使其买进或卖出标的资产的权利时，期权卖者必须依约相应地卖出或买进该标的资产。 期权多空双方的权利义务交易进行之前交易进行之中交易完成之后期权多方既没有权利也没有义务必须承担支付期权费用的义务以执行价格买入、卖出标的资产的权利期权空方既没有权利也没有义务拥有收取期权费用的权利以执行价格卖出、买入标的资产的义务 期权交易中的双重买卖关系看涨期权看跌期权期权多方以

5、执行价格买入标的资产的权利以执行价格卖出标的资产的权利期权空方以执行价格卖出标的资产的义务以执行价格买入标的资产的义务二、期权的回报与盈亏分布 1、看涨期权多头的回报与盈亏分布期权到期时的股价 欧式看涨期权多头的回报与盈亏表达式 欧式看涨期权多头回报 欧式看涨期权多头盈亏 上式之所以直接相加减，其假设前提是无风险利率为0。除非特别说明，本章计算期权回报与盈亏，均假设无风险利率为0。)0 ,max(XSTcXST)0 ,max( 2、看涨期权空头的回报与盈亏分布 由于期权合约是零和游戏（ZeroSum Games），也就是说买者的盈利就是卖者的亏损，买者的亏损就是卖者的盈利，所以我们可以发现，看

6、涨期权多头和空头的曲线是关于x轴对称的。期权到期时的股价 欧式看涨期权空头的回报与盈亏表达式 欧式看涨期权空头回报 欧式看涨期权空头盈亏)0 ,max(XST)0 ,max(cXST 3、看跌期权多头的回报与盈亏分布期权到期时的股价 欧式看跌期权多头的回报与盈亏表达式 欧式看跌期权多头回报 欧式看跌期权多头盈亏)0 ,max(TSX pSXT)0 ,max( 4、看跌期权空头的回报与盈亏分布期权到期时的股价 欧式看跌期权空头的回报与盈亏表达式 欧式看跌期权多头回报 欧式看跌期权多头盈亏max(,0)TXSmax(,0)TXSp 5、美式期权的回报与盈亏分布 由于美式期权多方随时都可以行使权力，

7、因此，我们有： 美式看涨期权的回报（多方） 美式看跌期权的回报（多方）)0 ,max(XS )0 ,max(SX 相应地，我们有： 美式看涨期权的盈亏（多方） 美式看跌期权的盈亏（多方）cXS)0 ,max(pSX)0 ,max(三、期权价格的特性 1、内在价值 期权价值（理论价格）的构成：内在价值+时间价值 期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权时所获回报最大贴现值与0之间的较大值。头头 寸寸期权回报期权回报内在价值内在价值看涨期权看涨期权欧式无收益有收益美式无收益有收益 看跌期权看跌期权欧式无收益有收益美式无收益有收益max(,0)TSXmax(,0)TSXmax

8、(,0)TSXmax(,0)SXmax(,0)TXSmax(,0)TXSmax(,0)XSmax(,0)XSmax(,0)r T tSXemax(,0)r T tSDXemax(,0)r T tSXemax(,0)r T tXeSmax(,0)r T tXeSD()()max(,0)rtr T tSXeSDXemax(,0)XS()max(,(),0)rtXS XeSD 2、实值期权、平价期权与虚值期权 3、期权的时间价值 期权时间价值 = 期权价格 期权内在价值 期权的时间价值是在期权尚未到期时，标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。 期权的时间价值是基于期权多头权利义

9、务不对称这一特性所导致的期权剩余有效期内标的资产价格变化可能给期权多头带来的收益的一种反映。 期权时间价值影响因素： 标的资产价格发生有利波动的幅度越大，期权时间价值越大。 期权剩余有效期越长，标的资产价格发生有利波动的概率越大，期权时间价值越大。 平价期权的时间价值最大。 4、期权价格的影响因素 (i) 标的资产的市场价格与期权的协议价格 标的资产的市场价格与期权的协议价格是影响期权价格最主要的因素。因为这两个价格及其相互关系不仅决定着内在价值，而且还进一步影响着时间价值。 由于看涨期权执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。因此，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格

10、也就越高。 对看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价之差，因此，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格也就越高。 (ii) 期权的有效期：时间价值显然会受到时间的影响。但是，对于欧式和美式期权，时间的影响有所不同：对于美式期权，有效期越长，期权价值越大，而欧式期权则不一定。 (iii) 标的资产价格的波动率：所谓波动率是指标的资产收益率的标准差，它反映了标的资产价格的波动状况。标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。 (iv) 无风险利率：影响期权价格的另一个重要因素是无风险利率，尤其是短期无风险利率。 (v) 标的资产的收益：按照美国市场惯例，标的资产分红

11、或者是获得相应现金收益的时候，期权合约的协议价格并不进行相应的调整。这样，标的资产进行分红付息，将减少标的资产的价格，这些收益将归标的资产的持有者所有，同时协议价格并未进行相应调整。因此在期权有效期内标的资产产生的现金收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。四、期权价格的上下限 1、不付红利的欧式看涨期权价格的下限 考虑两个组合 组合A：一份欧式看涨期权与Xe r(T-t)的现金。 组合B：一单位标的资产。 在时刻T，组合A的价值为：max(ST，X)，组合B的价值为：ST。在不存在套利机会的情况下，有 c Xe r(T-t) S，即 cS Xe r(T-t)。由于c0， c max(

12、S Xe r(T-t) ， 0) 2、有收益资产欧式看涨期权价格的下限 只要将上述组合 A 的现金改为 ，其中 D 为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为r T tDXemax,0r T tcSDXe 3、不付红利的欧式看跌期权价格的下限 考虑两个组合 组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产。 组合D： Xe r(T-t)的现金。 在时刻T，组合C的价值为：max(ST，X)，组合D的价值为： X。在不存在套利机会的情况下，有 p S Xe r(T-t)，即p Xe r(T-t)S。由于p 0， p max(Xe r(T-t)S，0) 4

13、、有收益资产欧式看跌期权价格的下限 将上述组合 D 的现金改为 ，可得出有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：r T tXeDmax,0r T tpXeDS五、美式期权的提前执行 1、提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性 提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。 构造组合 组合 A ：一份美式看涨期权加金额为 的现金。 组合 B ：一单位标的资产。r T tXe 不提前执行： T 时刻组合 A 的价值为 ，而组合 B 的价值为 ，组合 A 在 T 时刻的价值一定大于等于组合 B。 若在 时刻提前执行：组合 A 的价值 ，而组合 B 的价值为 。由于 ，故 。也就是说，若提前执行美式期权的话

14、，组合 A 的价值将小于组合B。 结论：提前执行是不理智的。无收益资产美式看涨期权价格的价格下限为max,TSXTSr TSXXeS,0Trr TXeXmax,0r T tCSXe 2、提前执行无收益资产美式看跌期权的合理性 组合 A ：一份美式看跌期权加一单位标的资产。 组合 B ：金额为 的现金。 若不提前执行，则到 T 时刻：组合 A 的价值为 ，组合 B 的价值为 X ，因此组合 A 的价值大于等于组合B。 若在 时刻提前执行：组合 A 的价值为 X，组合 B 的价值为 ，因此组合 A 的价值高于组合 B。r T tXemax,TSXreTX 结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权

15、，主要取决于期权的实值额 、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当 S 相对于 X 来说较低，或者 r 较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。由于无收益资产的美式看跌期权可能提前执行，期权价格下限变为XSmax,0PXS 3、提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性 我们假设在期权到期前，标的资产有n个除权日，t1，t2，tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，Sn。 在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。 如果在 时刻提前执

16、行期权，则期权多方获 的回报。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到 。由于在 之后的瞬间时刻美式期权的价值 满足 因此如果 提前执行是不明智的。ntnSXnnSDntnCmax,0nr T tnnnnCcSDXe1nnr T tnnnr T tnSDXeSXDXe 如果 ，则在 提前执行有可能是合理的。实际上，只有当 时刻标的资产价格足够大时提前执行美式看涨期权才是合理的。 类似地，对于任意除权日 ，在 时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是1nr T tnDXentntitit11iir ttiDXe 假设在期权有效期内标的资产只在 支付股利，由于存在提前执行更有利的可能性，有

17、收益资产的美式看涨期权价格下限变为1,max(,0)rtr T tCSXeSDXe 4、提前执行有收益资产美式看跌期权的合理性 由于提前执行有收益资产的美式看跌期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是 由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为1()()1, 1iinr ttr T tinDXeDXemax(,0)rtPXS XeSD六、期权价格曲线 期权价格等于内在价值加上时间价值 内在价值主要取决于S和X，以及时间和利率、红利等因素；时间价值则受到有效期、内在价值、

18、波动率、利率的影响。 期权价值都以内在价值为下限，除了有收益资产欧式看涨期权的价格上限为标的资产价格减收益现值外，其他看涨期权价格上限为标的资产价格。 欧式看跌期权价格上限为协议价格的现值，美式看跌期权价格上限为协议价格。 有收益资产的期权价格曲线只要从无收益资产的期权价格曲线稍作改动即可获得。无收益资产欧式看涨期权价格曲线图无收益资产欧式看跌期权价格曲线图 无收益资产美式看跌期权价格曲线图七、看涨看跌期权平价关系 1、无收益资产的欧式期权 考虑以下两个组合 组合A：一份欧式看涨期权与Xe r(T-t)的现金。 组合C：一份欧式看跌期权与一单位标的资产。 在T时刻，组合A与组合C的价值均为max(ST，X)。故在t时刻，两者价值也应相等。因此， c + Xe r(T-t) = p +S 2、有收益资产的欧式期权 考虑如下两个资产组合 组合A ：一份欧式看涨期权与D+Xe r（T-t)的现金。 组合C ：一份欧式看跌期权与一单位标的资产。 在期权到期日，两个资产组合的价值相等，且为FV(D) max