第三章 导数与微分第一讲

1、2022-5-91微积分I 第二章 极限与连续 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的早在古代以有

2、比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的庄子庄子一书的一书的“天下篇天下篇”中，记有中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不一尺之棰，日取其半，万世不竭竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。第三章第三章 导数与微分导数与微分2022-5-92微积分I 第二章 极限与连续到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了到了十七世纪，有许多科学问题需要解

3、决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。物体作用于另

4、一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。立做出了贡献。2022-5-93微积分I 第二章 极限与连续十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和十七世纪下半叶，在前

5、人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小

6、分析，这正是现在数学中分析学这这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了年写了流流数法和无穷级数数法和无穷级数，这本书直到，这本书直到1736年才出版。牛顿所提出的年才出版。牛顿所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积

7、分法积分法)。2022-5-94微积分I 第二章 极限与连续德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字很古怪的名字一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算。就是这。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分

8、符号和基本微分法则。代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。茨精心选用的。一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后

9、由某个人或几个的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。人总结完成的。微积分也是这样。2022-5-95微积分I 第二章 极限与连续不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，在牛顿和出谁是这门学科的创立者的时候，在牛顿和莱布尼茨莱布尼茨之间，之间，为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍悍然然大波大波，这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续，这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造

10、成了欧洲大陆的数学家和英国数了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术流数术”中停步不前，因中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理年左右

11、，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。年始延续了一百多年。2022-5-96微积分I 第二章 极限与连续随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升.1689年，他被当选为国会中的大学代表。作为国会年，他被当选为国会中的大学代表。作为国会议员议员，牛顿，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示

12、出对逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。同时，他的大量的时间花费在以他为代表的领域的厌恶。同时，他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹莱布尼兹等进行科学等进行科学优优先权先权的争论上。的争论上。 晚年的牛顿在伦敦过着晚年的牛顿在伦敦过着堂皇堂皇的生活，的生活，1705年他被年他被安妮女王安妮女王封为贵族。此时的牛顿非常富有，被普遍认为是生存着的封为贵族。此时的牛顿非常富有，被普遍认为是生存着的最伟大的科学家。他担任最伟大的科学家。他担任英国皇家学会英国皇家学会会长，在他任职的会长，在他任职的二十四年时间里，

13、他以二十四年时间里，他以铁拳铁拳统治着学会。没有他的同意，统治着学会。没有他的同意，任何人都不能被选举。任何人都不能被选举。 晚年的牛顿开始致力于对晚年的牛顿开始致力于对神学神学的研究，他否定哲学的指导的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学神学为题材的著作。为题材的著作。当他遇到难以解释的当他遇到难以解释的天体运动天体运动时，竟提出了时，竟提出了“神的神的第一推第一推动力动力”的的谬论谬论。他说。他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他敬畏他、崇拜他”。 2022-5-97微积分I 第二章 极限与连续

14、我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块常更为光滑的一块卵石卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾沾自喜沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。然没有发现。 牛顿牛顿 3.3 求导法则求导法则3.4 高阶导数高阶导数3.5 函数的微分函数的微分3.2 导数概念导数概念第三章第三章 导数与微分导数与微分3.1 引出导数概念的例题引出

15、导数概念的例题 研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关系；研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外, 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度还要研究各变量之间相对变化快慢的程度; 如质点如质点运动速度、城市人口增长运动速度、城市人口增长的速度的速度、国民经济、国民经济发展的发展的速度等等速度等等, 这就需要用导数来研究这就需要用导数来研究.本章将介绍导数本章将介绍导数和微分的概念以及它们的计算方法和微分的概念以及它们的计算方法. 3.1 引出引出导数概念的例题导数概念的例题 1. 变速直线运动问题变速直线运

16、动问题2. 切线问题切线问题 匀速直线运动的匀速直线运动的(瞬时瞬时)速度：速度：st v0t0 tt tPst v 即路程的改变量与时间的改变量之商即路程的改变量与时间的改变量之商. 设作变速直线运动的质点设作变速直线运动的质点P (运动轨迹为运动轨迹为 s = s(t) 从从 t0 时刻时刻到到 t0 + t 时刻所经过的路程为时刻所经过的路程为1.变速直线运动物体的瞬时速度变速直线运动物体的瞬时速度s = s(t0 + t) - s(t0)平均速度为平均速度为 00()()s tts tt 0000()( )limlimtts tts tstt 如果上述极限存在如果上述极限存在, 则称此

17、极限值为质点则称此极限值为质点P 在刻在刻 t0 的瞬时的瞬时00()limtstt v000()( )limts tts tt v取取 极限极限, 便有便有刻刻t0 的的“瞬时速度瞬时速度” 的近似值的近似值. 从而对平均速度从而对平均速度 当当t 变化变化, v也随之而变也随之而变; 当当 t时时, 可看作是质点在时可看作是质点在时速度速度, 即即2.2.平面曲线的切线平面曲线的切线 当某一质点沿曲线运动时当某一质点沿曲线运动时, 不仅在速度上有变化不仅在速度上有变化, 而且而且在在方向方向, 就是要求曲线上该点的切线方程就是要求曲线上该点的切线方程, 而求切线方程的关而求切线方程的关键是

18、求出切线的斜率键是求出切线的斜率.运动方向上也有变化运动方向上也有变化. . 欲知做曲线运动的质点在某点的欲知做曲线运动的质点在某点的运动运动 定义定义3.1.3.1.1 设点设点M0 是曲线是曲线L L的一定点的一定点, , 在曲线在曲线L上任取一上任取一点点M,作割线作割线 M0 M, 当点当点 M 沿曲线沿曲线 L 趋向于点趋向于点M0时时, 如果割如果割线线 M0 M 的极限位置的极限位置 M0T 存在存在, , 则称直线则称直线 M0T 为曲线为曲线L L 在在点点 M0 处的切线处的切线. .yoxL0MM 设曲线设曲线L L的方程为的方程为 y =(x), M0 (x0 , y0

19、) 为为L L上一定点上一定点, , 动点动点M (x0+x, y0+y), 作割线作割线 M0 M 与与 x 轴夹角为轴夹角为 , , T0tanM Mk 则则M0 M 的斜率为的斜率为yoxL：y=(x)0 x0 xx 0MMT 0y0yy xy 1M当动点当动点M 沿曲线沿曲线L趋向定点趋向定点 M0时时, 有有x0 ，此时割线此时割线 M0M 的极限位置就是曲线的极限位置就是曲线 L 过定点过定点 M0 的切线的切线 M0T. 00()()f xxf xx yx tank 0000()()limlimxxf xxf xyxx 0limxykx 如果极限存在如果极限存在, 这就是曲线在点

20、这就是曲线在点 处切线的斜率处切线的斜率, 即即 0 x0M T这样割线这样割线M0 M斜率的极限就是切线斜率的极限就是切线 的斜率的斜率, 即即0limtanx 000()()limxf xxf xx 3.2 导数概念导数概念1. 导数定义导数定义2. 导数的几何意义导数的几何意义3. 左右导数左右导数4. 可导与连续的关系可导与连续的关系 以上引例的实际意义不同以上引例的实际意义不同, 但是二者的数学结构完全相同但是二者的数学结构完全相同, 都是计算当自变量的改变量趋于零时都是计算当自变量的改变量趋于零时, 函数的改变量与其自变函数的改变量与其自变量的改变量比值的极限量的改变量比值的极限,

21、 简称差商的极限简称差商的极限.1.1.导数的定义导数的定义00()limtstt v000()( )limts tts tt 0limxykx 000()()limxf xxf xx 定义定义3.1 设函数设函数 y =(x)在点在点 x0 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义, 设自设自变量在点变量在点 x0 处有改变量处有改变量x 0 时时 (x0+x 也在该邻域内也在该邻域内) , 函数有相应改变量函数有相应改变量y = f (x0+x) f (x0), 若极限若极限 0000()()limlimxxf xxf xyxx 存在存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数(x) 在点在点

22、x0 处的导数处的导数. .也称也称(x)在点在点 x0处可导处可导. . 记作记作0000d ( )d(),.ddx xx xx xf xyf xyxx 若极限不存在若极限不存在, ,则称则称 (x) 在点在点 x0 处不可导处不可导, 称点称点 x0 为不可为不可导点导点. 0 xxx 00 xxx 0000( )()()limxxf xf xfxxx 从而从而若令若令 则则00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 于是得到于是得到(x)在点在点 x0 处可导的等价定义处可导的等价定义, 即即0000( )()()limxxf xf xfxxx 注注1 00()()f

23、 xxf xyxx 是自变量是自变量 x 从从x0 改变到改变到 x0+x时函数的平均变化速度时函数的平均变化速度, 称为函数的平均变化率称为函数的平均变化率. 而导数而导数00()limxyfxx 反映的是函数在点反映的是函数在点 x0 处的变化速度处的变化速度, 也称为函数在也称为函数在 x0 处的变处的变化率化率. 的值由的值由 x0 唯一确定唯一确定(极限的唯一性极限的唯一性).0()fx 000()()limxf xxf xx 例例3.1.1 求函数求函数2( )1(1).f xxxf 在处的导数2( )(1)1f xfx()(1)(1)(1)11fxfxxxx (2) 求比值求比值

24、00()(1)(1)(1)(1)limlim11xxxxfxfxxfxx 0lim(1)2xxx(3) 求极限求极限 (1) 求增量求增量解解若函数若函数(x)在开区间在开区间I上可导上可导, 则则xI 都对应着都对应着(x)的唯的唯( )fx 与之对应与之对应, 这样就确定了一个定义在这样就确定了一个定义在一一个导数值一一个导数值( )fx 开区间开区间I上的新函数上的新函数我们将它称为我们将它称为 (x) 的导函数的导函数, 简简称导数称导数, 即即d()d(),ddfxyfxyxx 0()( )( )limxf xxf xfxx 记为记为00 ()( ).xxfxfx 注注 若函数若函数

25、(x)在区间在区间(a, b) 内每一点都可导内每一点都可导, 且且 存存( ),( )f af b 在在，则称函数则称函数(x)在在a, b内可导内可导.再将其中的再将其中的 x 代为代为 x =1即可即可. (1)f 比如例比如例1中的导数中的导数可先求可先求( ),fx 导函数导函数2.2.导数的几何意义导数的几何意义现归纳如下：现归纳如下： 在以上引入导数概念的过程中在以上引入导数概念的过程中, 已经明确了导数的意义已经明确了导数的意义.由引例中切线问题可知，由引例中切线问题可知， 函数函数( )yf x 在点在点x0 处的导数处的导数( )yf x 0()fx的几何意义就是曲线的几何

26、意义就是曲线在点在点M0(x0 , y0) 处的切线的处的切线的斜率斜率.如图：如图：oxyL：y=(x)0 xT0M00()limtan ( )为切线的倾角xyfxx 即即 结论结论 函数函数 y = (x) 在点在点 x0 处可导处可导, 则曲线则曲线 y = (x)在点在点M0(x0 , y0)处的切线方程为处的切线方程为000()()yyfxxx 法线方程为法线方程为0001()()yyxxfx 问题问题：函数函数y = (x)在点在点 x0 处不可导处不可导, 曲线在点曲线在点M0(x0, y0) 处切线是否就不存在呢处切线是否就不存在呢?答案答案: 不一定不一定. 如如 时就有垂直

27、于时就有垂直于x 轴的切线轴的切线.0()f x 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, , 得切线斜率为得切线斜率为1xky 21()xx 12xx 2 所求切线方程为所求切线方程为12(1),yx 210即xy 法线方程为法线方程为11(1),2yx 230即xy 例例2 求函数求函数2yx (1,1)在点在点处的切线的方程和法线方程处的切线的方程和法线方程.5 ,137P练习：0000()()limlimxxf xxf xyxx 定义定义3 .1.3 若若函数函数 y =(x)在点在点 x0 的左侧区间的左侧区间(x0, x0有定有定义义, 如果如果极限极限000( )()limxxf

28、xf xxx 或或 0000()()()limxf xxf xfxx 存在存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数 (x)在点在点 x0 处的左导数处的左导数. 也称也称 (x)在点在点 x0 左可导左可导. . 记作记作三三. . 左导数和右导数左导数和右导数 如果如果函数函数 y =(x)在点在点 x0 的右侧区间的右侧区间x0 , x0+)内有定义内有定义, ,若若极限极限0000()()limlimxxf xxf xyxx 000( )()limxxf xf xxx 或或0000()()()limxf xxf xfxx 记作记作存在存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数(x)在点

29、在点 x0 处的右导数处的右导数. 也称也称 (x)在点在点 x0 右可导右可导. . 注：注： 若若(x) 在在x0 处可导处可导的的充充要要 件件是是00()()fxfx 0000(0)(0)limlimlimxxxxxfxfxxx 解解例例 讨论函数讨论函数, 0, 0 xxyxxx 在在 x = 0点处的可导性点处的可导性.因为因为00(0)limlim1=xxxxfxx 00(0)limlim=1+xxxxfxx 所以所以(0)(0)ff 定义定义3.1.4 如果函数如果函数(x)在开区间在开区间I上每一点处都可导上每一点处都可导, 则则称称(x)在开区间在开区间I上上可导可导.从而

30、从而, 函数函数yx 在在 x = 0点处的不可导点处的不可导. 函数函数yx 的图形如下的图形如下xyyx o五五. .函数求导数举例函数求导数举例()( )yf xxf x ()( )yf xxf xxx 0limxyyx 利用导数的定义利用导数的定义, 我们可以求函数的导函数我们可以求函数的导函数. 其步骤如下其步骤如下:(1) 求增量求增量(3) 求极限求极限(2) 求比值求比值例例4 求常数函数求常数函数 y = C 的导数的导数. 解解 , x 自自变变量量增增量量为为相相应应的的函函数数增增量量为为0yx 0lim0 xyx 0.C 故故常常数数的的导导数数为为零零，即即0yCC

31、 例例6 求三角函数求三角函数 y = cos x 的导数及的导数及 .4(cos )xx (1) 求增量求增量(2) 求比值求比值(3) 求极限求极限解解 , x 自自变变量量增增量量为为相相应应的的函函数数增增量量为为 (1) 求增量求增量2sin()sin22xxxyxx (cos )sin故 xx 000sin2limlimsin() lim22xxxxyxxxx (sin )cosxx 同同理理可可得得 sin22sin()2xxxx 2sin()sin22xxx =44(cos )= sin-xxxx2= -2cos()cosyxxx (2) 求比值求比值(3) 求极限求极限sin

32、x 1log (1)1ayxxxx log (1)log (1)log (1)1aaaxyxxxx 1001limlimlog (1)11xxaxxyxxxx 11log (1)11xxaxxx 1log1aex 解解log (1)(01,1)ayxax 求对数函数求对数函数 的导数的导数. .例例7, x 自自变变量量增增量量为为相相应应的的函函数数增增量量为为 (1) 求增量求增量(2) 求比值求比值(3) 求极限求极限1(1)lnxa 1 (log (1)(1)(1)ln故 axxxa 1(ln)(0)xxx 特特别别地地 例例5(nyxn 求幂函数求幂函数 为正整数为正整数)的导数的导

33、数. .122(1)()()2!nnnn nnxxxxx ()nnyxxx 121(1)()()2!nnnyn nnxxxxx 解解, x 自自变变量量增增量量为为相相应应的的函函数数增增量量为为 (1) 求增量求增量(2) 求比值求比值12100(1)limlim()2!nnnxxyn nnxxxxx 1 ()nnxnx 故故1nnx ( )1,x 特特别别地地 1(),2xx 211()xx 1()()xx 可可为为任任意意实实数数一般地一般地类似地我们可以证明类似地我们可以证明()lnxxaaa ()xxee (3) 求极限求极限(2) 在哪一点有垂直切线在哪一点有垂直切线? 哪一点处的

34、切与直线哪一点处的切与直线113yx 平行平行? 写出其切线方程写出其切线方程. .例例1010 已知曲线已知曲线32yx 求解下列问题求解下列问题(1) 求通过点求通过点(0,4)的切线方程的切线方程.解解 (1)设切点为设切点为 00(,)xy, 则切线的斜率为则切线的斜率为00033()22x xfxxx从而通过点从而通过点(0, 4)切线方程为切线方程为00034(0)2yxx 32yx00(,)xy而切点而切点在曲线在曲线上上, 3200yx故有故有将其带入上式，将其带入上式，可得可得 004, 8.xy从而所求切线方程为从而所求切线方程为34 0 x y 令令32111,33x 对应对应1y 得得1,x 则在点则在点(1, 1) , (1, 1) 处与直线处与直线 平行的切线平行的切线方程分别为方程分别为113yx11(1),3y