1.2极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较ppt课件

1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、函数极限的夹逼准则一、函数极限的夹逼准则第五节极限存在准则两个重要极限 第一章 一、极限存在的夹逼准则定理定理1.0(, ),xxr当时Axhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且（2）limlimnnnnyza关于数列的夹逼准则：设数列 满足：111,nnnnnnxyz（1）,nnnyxzNnN当时a那么 存在且等于limnnx证明：下面仅对证明：下面仅对 时的函数极限来证明夹逼时的函数极限来证明夹逼准则。准则。0 xx对 ，因为 ，故存在 ，当 时，有 ，从而0 0lim

2、xxg xA10010 xx g xA g xA 又因为 ，故存在 ，当时，有 ，从而 0limxxh xA20020 xx h xA h xA取 ，则当 时，不等式 同时成立，并注意到12min , r 00 xx ,g xA h xA g xf xh x就得到 g xAf xAh xA 故 f xA这就证明了 0limxxf xA1sincosxxx圆扇形AOB的面积重要极限重要极限 （一）（一） 0sin01. lim1()0 xxx特点：型证证: 当当即xsin21x21xtan21)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xx

3、x显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注说明： 1) 几个附带的有用结论：(1), sin,xRxx 0;x其中等号成立0(2)limsin0 xx0limcos1;xx( )0sin ( )lim1( )xxx 3) 在保证 时,有 lim()0 x 4) 注意区别：sinlimxxx 1limsinxxx 0sinlimxxx 01limsinxxx 1.0.1.0.例例2. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0

4、 xxxsinlim0 xxcos1lim01.sinlim0 xxkx解解: xkxxsinlim0 xkxkkxsinlim0kxkxkxsinlim0k例例1. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因而原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3. 求求例例4. 求求.arctanlim0 xxx解解: 令令,arctanxt 那么,tantx 因而原式ttttanlim0 1lim0t1tttan例例5. 求求xxIx2sin3tanlim0 xxxxxxx232sin233tanlim023例例6. 求求.cos1lim2

5、0 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21解解: 原式原式 nnnRcossinlim2Rn证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx例例7. 已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则准则2 ) ( P52) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab只给出几何解释

6、：只给出几何解释：例例7. 设设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . 证证: 利用二项式公式利用二项式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn比较

7、可知根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e即有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n故极限存在，例例8 8 设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx重要极限二）重要极限二）1lim( 1)xxxe证证

8、: 当当0 x时, 设, 1nxn那么xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1当x, ) 1( tx那么,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1时, 令1)该极限的特点:(1)1; 型未定式型未定式(2)括号中数1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.2)极限呈1,型但第二个特点不具备时,通常凑指数幂使(2) 成立.那么

9、说明 10(1)lim 1; ; xxxe(1 )()()1(2)lim1( ) xxex 1( )( )0(3)lim1( );xxxe 3) 重要极限2的不同形式例例1. 求下列极限求下列极限.)1 (lim. 11xxx解解: 令令,xt那么xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：利用：利用,)1 (lim)()(1)(exxx那么 原式111)1 (limexxxxxkx)1 (lim. 2解解原式kkxxkx)1(limke例例2 求求xxxxI102121lim解法一：解法一： I221021limxxx)2(21021limxxx2

10、2ee4e解法二：解法二： xxxxI102141limxxxxxx21442102141lim4e1limx.)cos(sinlim. 211xxxxI解解: I =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1.)cos1 (lim. 1sec22xxx解解: 原式原式 =2cos2lim(1 cos ).xxx2e例例3. 求下列极限求下列极限11例例4 求求nnnn)221 (lim2解解: 原式原式 =nnnn)221 (lim2nnnnnnn222222)221 (lim2e例例5 求求nnnn)11(lim2解解:

11、 原式原式 =nnnnn) 1() 1(lim22nnnnnnnn)11 ()11 (lim22nnnne212)11(lim1201eee111例例6 知知4)1(limxxcx，求常数 C。解解: 原式原式 =ccxxxc1limce44ln c2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式 第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,第六节引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 无穷

12、小的比较,0limCk定义：定义：,0lim假设则称 是比 高阶的无穷小,)(o,lim假设假设假设, 1lim假设,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1. 定义定义例如例如 , 当当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.

13、证明证明: 当当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 当当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为设其为x的k阶无穷小,那么kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故113026kk机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理1.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,ta

14、nxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 性质性质这时也称 为 的主要部分定理定理2 . 设设,且lim存在 , 那么lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明1) 等价无穷小替换定理说明等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之比的极限两个无穷小之比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限代替可由它们的等价无穷小之比的极限代替.,给给 型未定式的极限运算带来方便型未定式的极限运算带来方便.00.sintanlim30

15、xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21机动 目录 上页 下页 返回 完毕 32210limxxxx求解解: 原式 例如，例如，2)称定理称定理2为等价替换定理，进行等价替换时为等价替换定理，进行等价替换时,代代换式中不能出现加减号换式中不能出现加减号,必须是整体因子的替换必须是整体因子的替换.sin(0)xxx 1(0)xexxtan(0)xxx 211 cos(0)2xxxtan(0)arcxxx sin(0)arcxxx ln(1) (0)xxx11(1)1(0)nxxxn3)牢记常见的等价无穷小牢记常见的等价无穷小.1ln(0)xaxax(1)1(0)xxx231x221x例例3. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4.求极限cot01lim.1xxxx解:cot01lim.1xxxxcot02lim 1.1xxxxcot21ln(1)0limxxxxe210limcotln(1)xxxxe2211ln(1) (0)xxxxxco