蒋持平 第三章轴向拉压变形

1、第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 1上一讲回顾上一讲回顾(3)(3)许用应力许用应力 极限应力极限应力 n安全因数安全因数强度条件强度条件 (变截面变截面) (等截面等截面)由强度条件解决的几类问题由强度条件解决的几类问题 强度校核强度校核 截面设计截面设计 确定承载能力确定承载能力 等强原则与最轻重量设计等强原则与最轻重量设计连接部分的强度计算（假定计算法）连接部分的强度计算（假定计算法） nn s ub（塑塑）（脆脆） NFAmaxmax ,maxNFA sbbsbssFF,Ad 安全因数法的优缺点安全因数法的优缺点 结构可靠性设计概念结构可靠性设计概念第三章第三章 轴向拉压

2、变形轴向拉压变形Page 2第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 3 本章主要研究本章主要研究: 轴向拉压变形轴向拉压变形分析的基本原理分析的基本原理 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题分析分析 结构优化设计概念结构优化设计概念简介简介 热应力与预应力分析热应力与预应力分析第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 4思考思考：为什么要研究变形？：为什么要研究变形？ 下述问题是否与变形（小变形）相关？下述问题是否与变形（小变形）相关？各杆内力？各杆内力？ A点位移点位移? ? 各杆材料不同，温度变化时内力？各杆材料不同，温度变化时内力？AF

3、 123AF 45第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 5胡克的弹性实验装置胡克的弹性实验装置历史回顾：历史回顾：“胡克定律胡克定律” 16781678年由年由Robert HookeRobert Hooke提提出。出。 Hooke Hooke 是伦敦皇家学会第一任会是伦敦皇家学会第一任会长长(1662)(1662)，他对弹性体作了许多实验，他对弹性体作了许多实验，他与牛顿是同时代人，没有受牛顿影他与牛顿是同时代人，没有受牛顿影响而系统地阐述了万有引力定律。响而系统地阐述了万有引力定律。中国郑玄（中国郑玄（127-200）在）在考工记考工记弓弓人人的注就提到弓的的注就提到弓的“每加物

4、一石每加物一石(dn,10斗）斗）)，则张一尺，则张一尺”。唐初贾。唐初贾公考又对郑注作了详细解释。公考又对郑注作了详细解释。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 6 胡克定律胡克定律拉压杆的轴向变形与胡克定律拉压杆的轴向变形与胡克定律FFl1l1bbp()E NF llEA 拉压刚度拉压刚度llEAF NNFA ，ll 轴向变形轴向变形1ll -l 横向变形横向变形1bbb 适用范围：线弹性体，比例极限范围内适用范围：线弹性体，比例极限范围内第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 7试验表明：试验表明：对传统材料，对传统材料，在比例极限内，在比例极限内， 且异号。且异号。泊

5、松比泊松比 FFl1l1bb1bbb ( () )00.5 , bb 横向正应变横向正应变 定义：定义：第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 8 1802年任巴黎理学院教授年任巴黎理学院教授(21岁岁)，1812年当选为法国科学院院士年当选为法国科学院院士(31岁岁)，1816年年应聘为索邦大学教授，应聘为索邦大学教授，1826年被选为彼得年被选为彼得堡科学院名誉院士堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵。年被封为男爵。材料泊松比由他最先计算此值而得名。材料泊松比由他最先计算此值而得名。在数学中以他命名的在数学中以他命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、有：泊松

6、定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松比、泊松泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法求和法等。等。泊松泊松(1781-1840)是法国数学家、物理学家是法国数学家、物理学家和力学家。和力学家。1798年入巴黎综合工科学校，年入巴黎综合工科学校，成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 9 许多人进行试验来验证泊松比为许多人进行试验来验证泊松比为1/

7、41/4的理论结论的理论结论 维尔泰姆维尔泰姆(1848)：试验结果表明：试验结果表明 接近接近1/3； 基尔霍夫基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜，：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃：光学干涉法测出玻璃 =0.237; 18791879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。比是独立的材料常数，否定了单常数理论。 18291829年，泊松用纳维年，泊松用纳维柯西方法讨论板的平衡问题时柯西方法讨论板的平衡问题时 指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，

8、产生纵向应指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应 变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为- -x x， 并证明并证明 =1/4。纳维纳维柯西柯西泊松的单常数理论泊松的单常数理论泊松比研究简史泊松比研究简史第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page10典型材料常数典型材料常数对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：2(1)EG 弹性常数弹性常数 钢与合金钢钢与合金钢铝合金铝合金铜铜铸铁铸铁木木( (顺纹顺纹) )E/GPa200-22070-72100-12080-1608-12 0.25-0.3

9、00.26-0.340.33-0.350.23-0.27第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page11例：例：已知已知E，D，d，F，求，求D和和d的改变量。的改变量。FFdD思考：当圆管受拉时，外径思考：当圆管受拉时，外径减小，内径增大还是减小？减小，内径增大还是减小？第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page12例：例：已知已知E，D，d，F，求，求D和和d的改变量。的改变量。FFdD( () )FFEAEDdE 224( () )FDdE 224解：解：( () )224 FDDDDdE 先求内周长先求内周长, ,设设ds 弧长改变量为弧长改变量为du, du/dsdu= ds

10、ddsu 0 ddsEdDF 022)(4EdDFd)(422 ud EdDFd)(422 d 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page13NFxO例：例：已知已知E，A1，A2，求总伸长，求总伸长l 解：解：1. 内力分析。轴力图内力分析。轴力图2. 变形计算。（用何方法？变形计算。（用何方法？ ）方法一：多载荷作用下方法一：多载荷作用下各段变形叠各段变形叠加加步骤：步骤：*用截面法分段求轴力；用截面法分段求轴力；* *分段求出变形；分段求出变形；* *求代数和。求代数和。312123123FlFlFlllllEAEAEA FF1l2l3lF2FA1A2123,NNNFFF FF 第三

11、章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page14阶梯形杆：阶梯形杆：讨论：讨论：n总段数总段数FNi杆段杆段 i 轴力轴力N1ni iiiiF llE A )(d)()d(NxEAxxFl 变截面变轴力杆变截面变轴力杆N( )( )lFxldxEA x 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page15解法二：解法二：各载荷效应叠加各载荷效应叠加与解法一结果一致，引出与解法一结果一致，引出叠加原理叠加原理1l2l3lF2F( () )aF llFllEAEA23112 121222bFlFllEAEA312123abFlFlFllllEAEAEA 1l2l3lF1l2l3l2F(a)(b)例：例

12、：已知已知E，A1，A2，求总伸长，求总伸长 （续）（续）l 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page16叠加原理：叠加原理：几个载荷同时作用所产生的几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和。果的总和。叠加原理的适用范围叠加原理的适用范围* *材料线弹性材料线弹性* *小变形小变形* *结构几何线性结构几何线性第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page17叠加原理成立。叠加原理成立。*12,lll 材料线性问题材料线性问题*12,lll 叠加原理不成立。叠加原理不成立。材料非线性问题材料非线性问题Fl1F1lOFl2F2lO

13、12FF*lFl1F1lOFl1F1lOFl2F2lOFl12FF2l1lOl *1F第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page18*几何非线性问题例几何非线性问题例讨论：讨论： 1. C1. C点位移是否与载荷成正比关系？点位移是否与载荷成正比关系？ 2. 2. 叠加原理是否成立？叠加原理是否成立？NFNFCFllFCABF 求求 与与 关系。关系。例：例：已知已知 ，, ,F l EA初始两杆水平，初始两杆水平，设材料线弹性，且结构小变形，设材料线弹性，且结构小变形，第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page19(2)(2)杆伸长：杆伸长：解解：(1)(1)节点节点C平衡：平衡：

14、(4)(4)N2sinFF 2N2F lFllEAEA (3) (3) 关系：关系：l ( () )222/ 2llll 3232EAlEAFll ( (三次抛物线关系三次抛物线关系, ,瞬时瞬时机构机构, ,叠加原理不成立叠加原理不成立) )sin/l ( (微小微小) )NFNFCFllFCAB例：例：已知已知 ，, ,F l EA初始两杆水平，初始两杆水平，设材料线弹性，且结构小变形，设材料线弹性，且结构小变形，F 求求 与与 关系。关系。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page20解解：距端点距端点x x处截面的轴力为处截面的轴力为总伸长为总伸长为l( )q xxdx( )NFx

15、q例：例：已知已知 ，求，求 , ,q l E Al( ( ) )NFxqx ( () )( ( ) )NFx dxqxdxdlEAEA( () )llqxdxql dxldlEAEA2002 (1) (1) 为常量为常量qdx 微段伸长微段伸长第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page21l( )q xxdx()NFxdxd( )NFxx例：例：已知已知 ，求，求 （续（续1:分析方法分析方法）, ,q l E Al需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。(2) (2) 为变量为变量( ( ) )qq x ( () )( ( ) )Fx dxd

16、lEAN求解难点讨论求解难点讨论表达式不能写出，怎么办？表达式不能写出，怎么办？( )NFx在在x段再建立段再建立 坐标系坐标系, ,取取d 微段研究微段研究第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page22qddmA d22( ) 解解：1 1、叶片的外力、叶片的外力作用于微段作用于微段 上的离心力为上的离心力为d例：例：图示涡轮叶片，已知图示涡轮叶片，已知 ，角速度，角速度 ，求叶片，求叶片 横截横截 面上的正应力与轴向变形。面上的正应力与轴向变形。 ,A E 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page232 2、叶片的内力与应力、叶片的内力与应力3 3、叶片的变形、叶片的变形( (

17、) )( () )02222N02RxAFxA dRx ( ( ) )( () )22202xRx ( () )( ( ) )NFx dxdlEA( ( ) )( () )02N32300236iRiiRFxldxRR RREAE dx 微段微段:总伸长：总伸长：qddmA d22( ) 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page24例：例：已知已知 , ,求桁架节点求桁架节点A的水平与铅垂位移的水平与铅垂位移解解：1、轴力与两杆伸长（缩短）、轴力与两杆伸长（缩短）( (拉拉) ) N12FF ( (压压) )N2FF ( (伸长伸长) )N1 1111222F lFlFllE AEAEA

18、( (缩短缩短) )N2 2222F lFllE AEA1452ABCF45AFFN2FN111222,E AE AEA ll由节点由节点A的平衡的平衡由胡克定律由胡克定律第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page25A精确位移求法：精确位移求法：计算困难：计算困难： 需解二次方程组需解二次方程组 由于内力随位移变化，需迭代由于内力随位移变化，需迭代求解求解. 1452ABCF以以B、C为圆心作圆交于为圆心作圆交于A点点l1 A1A2l2 杆杆1伸长伸长 到到 点，点，杆杆2缩短缩短 到到 点，点，1A2Al1 l2 2、节点、节点A的位移的精确计算及其困难。的位移的精确计算及其困难。第三

19、章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page26小变形：小变形：与结构原尺寸相比与结构原尺寸相比 为很小的变形。为很小的变形。实用解法：实用解法：* *按结构原几何形状与尺按结构原几何形状与尺 寸计算约束反力与内力；寸计算约束反力与内力；* *采用切线代圆弧的方法采用切线代圆弧的方法 确定节点位移。确定节点位移。1452ACBAA1A2AF3、小变形问题实用解法、小变形问题实用解法第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page274、节点位移计算、节点位移计算( () )xFlAAAlEA22 ( () )( ( ) )122 2cos452 21ylFlFlAlEAEAFlEA 1452ABC

20、A1A2A第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page28例：例：ABC刚性杆，求节点刚性杆，求节点C的位移。的位移。 然后然后画画B点位移点位移 思考：思考：有同学问有同学问BB,CC铅垂向下，铅垂向下，刚性杆刚性杆ABC杆为什么能伸长？杆为什么能伸长？ 再画再画C点位移点位移 答：答：切线代圆弧的近似。切线代圆弧的近似。FBCyyCBl124 ABCo301解解：先计算杆先计算杆1 1内力内力 与伸长与伸长 l1 NF1第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page29例：例：画出节点画出节点A的位移的位移杆两端均为可动点情形：杆两端均为可动点情形：平移平移+ +变形变形( (伸长或缩短

21、伸长或缩短)+ )+ 转动转动( (切线代圆弧切线代圆弧) )AFAFAA第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page30例：例：画节点画节点A的位移的位移* *左图杆左图杆2 2不受力，不伸长转动。不受力，不伸长转动。A1lFA12右图右图B B点位移由杆点位移由杆1 1和和2 2确定（与左图确定（与左图A A点相同）点相同）; ; FA12B3杆杆3 3伸长到伸长到A A，然后转动，与刚性梁对应点交于，然后转动，与刚性梁对应点交于A A点点。 刚梁刚梁ABAB先随先随B B点平动，点平动，B B至至B B点点,A,A至至A A点；然后绕点；然后绕B B点转动；点转动； AABA思考：点思

22、考：点A有无水平位移？有无水平位移？第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page31* *设想固定设想固定BD中点中点 和和BD方位方位例：例：求求A，C相对位移相对位移2ACCCFFABCDC O* *D D点随点随ODOD杆变形发杆变形发 生位移，生位移，DC杆平杆平 移、伸长、转动，移、伸长、转动， 由对称性，由对称性，C点到点到 达达C点。点。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page32两条平行的研究途径两条平行的研究途径( (从物理、理力到材力从物理、理力到材力) )方法一：方法一：方法二：方法二：hhvv1m2m1m2mTT1m g2m gTm gm gTammmm gam

23、m12122112() 2112()mm gamm 2212121122EmVm Vm ghm gh0Et 由由例：例： 无摩擦，求无摩擦，求21,mma第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page33功能原理成立条件：功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能载体由零逐渐缓慢增加，动能与热能等的变化可忽略不计。与热能等的变化可忽略不计。FF应变能（应变能（ ）：构件因变形贮存能量。构件因变形贮存能量。 V 外力功外力功( ):构件变形时，外力在相应位移上做的功。构件变形时，外力在相应位移上做的功。W外力功、应变能与功能原理外力功、应变能与功能原理（根据能量守恒定律）（根据能量守恒定律）W

24、V 弹性体功能原理：弹性体功能原理：第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page34一、轴向拉压应变能一、轴向拉压应变能* *线弹性材料线弹性材料 拉压杆应变能拉压杆应变能fdfdFdAoff2N22F lF lEA ,VW EAlFV22N dd ,Wf fW0d 外力功外力功2F lW 弹性体功能原理：弹性体功能原理：对线弹性体：对线弹性体：（如何推导）（如何推导）第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page35* *非线性弹性材料非线性弹性材料Fof2FW 0Wfd 外力功计算外力功计算应变能如何计算计算应变能如何计算计算?功能原理是否成立功能原理是否成立?VW * *塑性与非弹性材

25、料塑性与非弹性材料?VW 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page36二、拉压与剪切应变能密度二、拉压与剪切应变能密度单向受力单向受力dxdydzxyz221222vEE 应变能密度：应变能密度：单位体积内的应变能，用单位体积内的应变能，用 表示表示vd ddd2x zyV d d d2x y z 单向受力应变能密度单向受力应变能密度单向受力体应变能单向受力体应变能22Vv dxdydzdxdydzE 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page37纯剪切纯剪切dxdydzxyz221222vGG d ddd2x zyV d d d2x y z 22Vv dxdydzdxdydzE N

26、F ( x )(x)=,dydzAA 拉压杆拉压杆单向受力体应变能单向受力体应变能2( )d2( )NlFxVxEA x 22NF lVEA （常应力等直杆）（常应力等直杆）纯剪应变能密度纯剪应变能密度（变力变截面杆）（变力变截面杆）第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page382 2、应变能计算、应变能计算3 3、位移计算、位移计算例：例：计算节点计算节点B的铅垂位移。的铅垂位移。 解解：1 1、轴力分析、轴力分析FA45l12BC3N12FF N2FF N3FF 2VFWBy EAFlBy)12(2 222N1N2N32222FlF lF lVEAEAEAEAlF)12(2 第三章第三

27、章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page39FFABCD例：例：用能量法求用能量法求A，C相对位移。相对位移。解解：1 1、轴力分析、轴力分析12周边四杆轴力：周边四杆轴力：122NFF 2NFF 2 2、应变能、外力功计算、应变能、外力功计算( () )222N1N22242,222F lF lFlVEAEAEA 杆杆2 2轴力：轴力：3 3、位移计算、位移计算,VW /1,2A CWF /(22)A CFlEA 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page40作业作业 3 34 4，1212，1616第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page41上一讲回顾（上一讲回顾（4 4）拉压杆胡克

28、定律拉压杆胡克定律拉压杆横向变形与泊松比拉压杆横向变形与泊松比叠加原理及其应用范围叠加原理及其应用范围桁架小变形节点位移桁架小变形节点位移 按结构原尺寸计算约束反力与按结构原尺寸计算约束反力与内力内力; ; 由切线代圆弧的方法计算节点位移由切线代圆弧的方法计算节点位移. . NF llEAEA ,l 为拉压刚度，为拉压刚度， 伸长为正，缩短为负。伸长为正，缩短为负。NlFxldxEA x ( )( )nN iiiiF llE A 1（变截面、变轴力杆）（变截面、变轴力杆）, ,（阶梯形杆）（阶梯形杆） （00. 5）00. 5）泊松比泊松比拉压与剪切应变能概念拉压与剪切应变能概念第三章第三章

29、轴向拉压变形轴向拉压变形Page42* *静不定问题：静不定问题：* *静定问题静定问题 ：* *静不定度：静不定度：未知力数与有效未知力数与有效平衡方程数之差。平衡方程数之差。一度静不定一度静不定AF 123静定问题静定问题1452AFBC由静力平衡方程可确定全部未知由静力平衡方程可确定全部未知力力( (包括支反力与内力包括支反力与内力) )的问题。的问题。根据静力平衡方程不能确定全根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。部未知力的问题。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page43静不定问题求解思路静不定问题求解思路AF 12 34静定结构杆静定结构杆1和杆和杆2的轴力的轴力可由平衡

30、方程唯一确定可由平衡方程唯一确定增加杆增加杆3和杆和杆4，2度静不定，平衡方程数不变，赘余力度静不定，平衡方程数不变，赘余力增加增加2个个杆杆1和杆和杆2的伸长由轴力唯的伸长由轴力唯一确定，点一确定，点A位移确定位移确定杆杆3和杆和杆4的一端也必须落在的一端也必须落在A点，有点，有2个变形协调条件个变形协调条件普遍规律：赘余力数等于约束（协调）条件数，加上平普遍规律：赘余力数等于约束（协调）条件数，加上平衡方程，所有约束力能完全唯一确定衡方程，所有约束力能完全唯一确定第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page44静不定问题求解步骤静不定问题求解步骤协调方程协调方程 赘余反力数赘余反力数=

31、=协调条件数协调条件数求解求解物理方程物理方程 ：F 123AAF AN1FN3FN2F AA2l1l3l平衡方程平衡方程( () )N1N2,0ifFF ( () )jgll12,0( () )jgFFN1N2,0 kNklF 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page45解解：1 1、平衡方程、平衡方程2 2、变形协调方程、变形协调方程3 3、胡克定律、胡克定律4 4、补充方程、补充方程F 123AAF AN1FN3FN2F AA2l1l3lN2N1sinsin0FFN1N2N3coscos0FFFF13cosll N1 1111F llE AN3 1333cosF llE A 211

32、N1N333cosE AFFE A 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page461 1、静不定问题需综合考虑静力学、几何与物理三方面；、静不定问题需综合考虑静力学、几何与物理三方面；静不定问题分析特点：静不定问题分析特点：5 5、联立求解平衡方程及补充方程、联立求解平衡方程及补充方程2 2、与静定问题相比的内力特点：与静定问题相比的内力特点：2N1N233311cos2cosFFFE AE A N33113312cosFFE AE A F 123AA内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增大，轴力亦增大。内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增大，轴力亦增大。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形P

33、age472 2、几何方面、几何方面3 3、物理方面、物理方面4 4、支反力计算、支反力计算何时何时问题问题 ：补充方程：补充方程：解解1 1：1 1、静力学方面、静力学方面例：例：求杆两端的支反力。求杆两端的支反力。 1l2lFAxFBxFABC?2AxBxFFF0AxBxFFF 120AxBxF lF l0ACCBll 1,AxACF llEA2BxCBF llEA 212AxFlFll 112BxFlFll 2AxBxFFF第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page482 2、物理方面、物理方面3 3、求解、求解解解2 2：1 1、几何方面、几何方面例：例：求杆右端的支反力。求杆右端

34、的支反力。 1l2lFAxFBxFABC0B212AxFlFll 112BxFlFll 1l2lFAxFBxFABC121()BxBFllFlEAEA 4 4、由平衡方程、由平衡方程第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page49例：例：各杆拉压刚度各杆拉压刚度EA，杆，杆1 1，2 2 长长l解解：1 1、画变形图、画变形图( (画法画法2,2,教材教材P72P72图为画法图为画法1)1)设节点设节点C位移至位移至C，过，过C点向三杆作垂线点向三杆作垂线2 2、根据变形图画受力图，假设各、根据变形图画受力图，假设各 杆均受拉。杆均受拉。对照书上例题。对照书上例题。思考：思考：45C123F

35、2l1l3lC45FN1FN3FN2F总结画受力画变形图注意事项。总结画受力画变形图注意事项。可否先画受力图，后画变形图？可否先画受力图，后画变形图？可否假设杆可否假设杆1 1，3 3受压，杆受压，杆2 2受拉求解？受拉求解？第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page50解解：1 1、平衡方程、平衡方程3 3、物理方程、物理方程2 2、变形协调方程、变形协调方程FF N1N3sin450FFFN1N3cos450lll 2132i iiF llEAN45C123F2l1l3lC45FN1FN3FN2FC第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page515 5、强度校核、强度校核4 4、解答

36、、解答符合强度要求符合强度要求思考：思考：选取哪一根或哪几根杆校核？如果不够，怎样加强选取哪一根或哪几根杆校核？如果不够，怎样加强? ?45CF123( () )FF N1212( () )FF N2322( () )FF N3222 FAN22158.6MPa ( () )2200mm ,40kN,160MPaAF 设设第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page526 6、设计截面、设计截面45CF123 iiiiFFAA NN, 思考：由上式设计的思考：由上式设计的 能否取各自能否取各自由轴力计算的值？为由轴力计算的值？为什么？什么？123,A A A ( () )40kN,160MP

37、aF 设设4 4、解答、解答( () )FF N1212( () )FF N2322( () )FF N3222iAA max()第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page53解解：1 1、协调条件、协调条件例例：ABC刚性块，各杆刚性块，各杆EA，求轴力。，求轴力。BBCCaa 34ECBDllaa 234NECNBDNBDNECFaFaaEAaEAFF 234343 28 分析：分析：如何建立变形协调条件？如何建立变形协调条件？考虑刚性块考虑刚性块ABC转动：转动：2 2、代入物理方程、代入物理方程ABCD4a3a2a45FEBC 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page544

38、4、解答、解答3 3、平衡方程、平衡方程BDECNNFF 3 28BDECNNFFF32 24ECNFF 16 225BDNFF 1225BC4a3aFNECFNBDFA第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page55问题问题：如何建立变形协调条件？下如何建立变形协调条件？下述变形协调条件是否正确？述变形协调条件是否正确？例例：钢丝绳钢丝绳 不能承压，初拉力不能承压，初拉力 ，求，求绳拉力。绳拉力。FF N020kN,30kN( () ),l A E( ( ) )( ( ) )3 /4,/4a HlbHl 。ACCBll 0ACCBFllllEA N 00ABlHFC分析分析：上述变形协调条

39、件的错误在上述变形协调条件的错误在于遗漏了初应力。正确的变形协调于遗漏了初应力。正确的变形协调条件是：条件是：当当NCBF, 0思考：思考：当当NCBF, 0如何求解？如何求解？第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page56解解：(1)(1)变形协调条件变形协调条件设设 ，代入物理方程，代入物理方程Hl ( () )ABFlF lFlEAEAEA N01( () )ABFlFF N01ABlHFC例例：钢丝绳钢丝绳 不能承压，初拉力不能承压，初拉力 ，求，求绳拉力。绳拉力。FF N020kN,30kN( () ),l A E( ( ) )( ( ) )3 /4,/4a HlbHl 。ACC

40、BFllllEA N 00第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page57(2)(2)平衡方程平衡方程ABFFF AFFF N0( () )BFFF N01ABFF42.5kN,12.5kNABFF 27.5kN,2.5kNAF 30kNABlHFCABFCAFBF 3/4)(a1/4 )(b( () )ABFlFF N01(3)(3)解答：解答：(不合题意，舍去不合题意，舍去)由平衡：由平衡：BF 0,第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page58思考：思考：当温度变化时，杆内可能当温度变化时，杆内可能引起应力吗？引起应力吗？ABCABCD图图1图图2(各杆材料不同各杆材料不同)图图3

41、图图4第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page59历史追踪历史追踪 都江堰规模宏大、布局科学、费省效都江堰规模宏大、布局科学、费省效宏，代有兴建，历经宏，代有兴建，历经22602260而不衰，是世而不衰，是世界水利史上设计施工最完美、最先进、界水利史上设计施工最完美、最先进、最科学独一无二的无坝式引水枢纽。与最科学独一无二的无坝式引水枢纽。与之兴建时间大致相同的古埃及和古巴比之兴建时间大致相同的古埃及和古巴比仑的灌溉系统，都因沧海变迁和时间的仑的灌溉系统，都因沧海变迁和时间的推移，或湮没、或失效，唯有都江堰至推移，或湮没、或失效，唯有都江堰至今还滋润着天府之国的万顷良田。今还滋润着天府之

42、国的万顷良田。 当时还未发明当时还未发明火药火药，李冰便以火，李冰便以火烧石，使岩石爆裂，终于在玉垒山凿烧石，使岩石爆裂，终于在玉垒山凿出了一个宽出了一个宽2020公尺，高公尺，高4040公尺，长公尺，长8080公尺的山口。因形状酷似瓶口，故取公尺的山口。因形状酷似瓶口，故取名名“宝瓶口宝瓶口”，把开凿玉垒山分离的，把开凿玉垒山分离的石堆叫石堆叫“离堆离堆”。 宝瓶口宝瓶口第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page60lll T ABCD 在静不定结构各构件杆变形必须服从变形协调条件，在静不定结构各构件杆变形必须服从变形协调条件，因此因此温度变化温度变化或或杆长制造误差杆长制造误差，一般将

43、引起应力一般将引起应力。 由于由于杆长制造误差杆长制造误差或或温度变化温度变化，结构在未受载时已存，结构在未受载时已存在的应力，分别称为在的应力，分别称为初应力（或称预应力）初应力（或称预应力）与与热应力。热应力。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page61解：解：(1)(1)平衡方程（设各杆受拉）平衡方程（设各杆受拉）代入物理方程代入物理方程(2)(2)协调方程协调方程例：例：3 3杆制造误差长杆制造误差长 ，1 1、2 2杆杆 ，3 3杆杆 ，求各杆内力，求各杆内力 33E A11E AN1N2sinsin0FFN1N2N3coscos0FFF( () )ll13cos N1 1N3

44、 31133cosF lF lE AE A1NF3NF2NFA123A3l2l1l规律观察：规律观察：第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page62设设 由温度变化引起：由温度变化引起：3tlt 123A3l2l1lE AFFE AlE A 211N1N2311333cos21cosE AFE AlE A 311N33113332cos21cosE AFFtE AE A 211N1N231133cos21cos E AFtE AE A311N3311332cos-21cos 解答成为解答成为（比较预应力与热应力）（比较预应力与热应力） 解答：解答：1NF3NF2NFA第三章第三章 轴向拉压

45、变形轴向拉压变形Page63例：例：制造误差，同时作用外载。制造误差，同时作用外载。1 1、利用叠加原理求解、利用叠加原理求解思考：思考：装配应力有利还是有害？工程中能否利用？装配应力有利还是有害？工程中能否利用？用于设计等强结构：如预应力钢筋混凝土。用于设计等强结构：如预应力钢筋混凝土。2211N1N233331133311coscos21cos2cosE AFFFE AE AlE AE A 211N333111133333cos221cos1cosE AFFE AE AlE AE A 123F载荷载荷内力内力装配或装配或/和和温度内力温度内力第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page6

46、4123AF2 2、一般解法、一般解法(1)(1)平衡方程（同前）平衡方程（同前）(2)(2)协调方程协调方程(3)(3)物理方程物理方程( (同前同前) )N1N2sinsin0FFFFFFN1N2N3cosco)s0( () )tll13cos tll33规律探索：规律探索：从单纯外载静不定问题到载荷、预应力和热应力耦合静从单纯外载静不定问题到载荷、预应力和热应力耦合静不定问题，求解方程唯一不同：不定问题，求解方程唯一不同：1NF3NF2NFAF3l2l1l第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page65有无装配应力与热应力静不定问题的协调方程比较有无装配应力与热应力静不定问题的协调方程

47、比较* *桁架无装配应力与热应力桁架无装配应力与热应力* *桁架有装配应力与热应力桁架有装配应力与热应力n: 静不定度静不定度i: 杆数杆数其中其中( () )112,0 iflll, ,( () )12,0 niflll, ,( () )112,0 if , ,( () )12,0 nif , ,iiil ti制造误差制造误差热膨胀伸长热膨胀伸长.第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page66建立协调方程例（建立协调方程例（方法一方法一）( () )1123,0 flll( () )2124,0 flll3124ABCFDE赘余杆：赘余杆：杆杆3和杆和杆4协调方程：协调方程：第三章第三章

48、 轴向拉压变形轴向拉压变形Page67建立协调方程例建立协调方程例（方法二）（方法二）( () )( () )1234,xxl lll ( () )( () )1234,yyl lll ABCFDExy12AxyA结构看作两部分组合，结构看作两部分组合，A A点位移相同。点位移相同。协调方程：协调方程：讨论方法优缺点。讨论方法优缺点。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page68建立协调方程例建立协调方程例( () )( () )( () )12:ABllaab ABFab第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page69FBCA30o30o图图(a) Mpa 2EE1100 图图(b)1 ,lmAmm , 2100EGPa, 1100EGPa, 210(1)10 3, (2)11 3FKNFKN。横截面积横截面积例：例：杆长杆长弹性模量弹性模量试求两杆的应力和试求两杆的应力和A点的铅垂位移，其中载荷点的铅垂位移，其中载荷第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page70FBCA30o30o12F300AN1FN3FN2F300解：解：1. 求求内力与应力内力与应力NNFFF1202cos30应力：应力：NFA12/FkN (1).10 3NNF