经济数学模型的局限性=

1、 课程课程 名称： 经济数学模型 学分： 2 教师： 毛瑞华 电话： (028) 85413996 E-mail: (123456) QQ： 4595193902. 参考书参考书1. 宏观经济数量分析方法与模型, 刘起运 主编,高教 2. 经济数学模型, 洪毅 等 编著 华南理工大学3. 经济学中的分析方法, 高山晟(美) 著, 刘振亚 译,中国人大4. 经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特 著, 朱保华 钱晓明 译 上海财大5. 经济学的结构-数量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著, 高峰 等译, 清华第一部分经济数学模型的概念及建模方法1.11.

2、1数学模型和模型的建立数学模型和模型的建立一、模型和数学模型一、模型和数学模型1. 模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和认识。2. 数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人们更加深入地认识所研究的对象。(1) 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标进行量化；(2) 给出描述问题的数学提法；(3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得出结论；(4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.3. 3. 需要解决几个问题：需要解决几个问题：

3、4.4.数学模型建模的步骤数学模型建模的步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用模型改进二、建立数学模型的一个实例二、建立数学模型的一个实例1、问题的提出：、问题的提出： 设市场上有n 种资产Si( i=1,2,n) 可供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买资产 Si 的平均收益率为 ri, 且预测出购买资产Si 的风险损失为qi。 考虑到投资越分散，总的风险越小。公司决定在运用这批资金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来度量。 购买资产Si 的需要支付交

4、易费，其费率为pi, 并且当购买额不超过u i时, 交易费按购买额 ui 计算。设同期银行存款利率是r0=5%, 且存取款时既无交易费也无风险。2. 对问题的定位：最优化问题对问题的定位：最优化问题 需要确定购买资产Si 的具体投资额 xi ,即建立投资组合，实现两个目标：(1) 净收益最大化；(2) 整体风险最小化；3. 建模准备建模准备：(1)决策变量决策变量： 资产Si ( i =0,1,n)的投入量xi , i =0,1, n, 其中S0 表示将资产存入银行。(2)投资收益投资收益： 购买资产Si (i=0,1,2, n)的收益率为 ri, 因此投资 xi 的收益率为 rixi , 除

5、去交易费用ci(xi)，则投资 xi 的净收益为 Ri=rixi - ci(xi)。从而，总投资的总收益为 R(x)=Ri(xi)。 用数学符号和公式表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件(3)投资风险投资风险： 购买资产Si ( i=0,1,2, n ) 的风险损失为qi , 因此投资xi 的收益率为qi xi, 其总体风险用Si的风险，即 Qi(xi)= qi xi最大的一个来度量。从而总投资的风险损失为 Q (x)= maxQi(xi)。(4) (4) 约束条件：约束条件：. 0)(, 1.,;0,; 0, 0)(00 xcniuxxpuxupxxciiiiiiiiiiiMxcxani

6、iii0)(.b. 记 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 1=(1, 1, 1, ,1)T, c=(c0, c1, c2, , cn)T, r=(r0, r1, r2, ,rn )T,1cxxx1crxxTniiiiniTTniiixfFxQQxRR000)()()(max)()()(总净收益R(x), 整体风险Q(x)和总资金F(x)各为0( )min( ),0( )i nQFMR xxxx4. 两目标优化模型5. 5. 单目标优化模型单目标优化模型求解模型max( ). .( )( ),0Rs tQkFMxxxx,Mqk 令模型模型1求最大化收益。,q给定风险水平,q给定风险水

7、平求解模型模型模型2求最小化风险。,r给定盈利水平min( ). .( )( ),0Qs tRhFMxxxx,Mrh 令模型模型3 给定投资者对风险风险-收益收益的相对偏好参数0，求解模型0,)(.)()1 ()()(minxxxxxMFtsRQS6. 简化交易费用下的模型简化交易费用下的模型.,;0,; 0, 0)(iiiiiiiiiiiuxxpuxupxxcuipiuixici0(1) 交易费用函数为(2) 由于固定费用pi ui 的存在在，使得前面的模型是非线性模型，很难求解模型。表示投资于Si 的资金比例。nixpyiii, 1 , 0,)1 (在实际计算中，常假设M=1，则 Mxpn

8、iii0)1 ( 当M 很大而 ui 相对较小时，可略去 pi ui 的作用，即ci(xi)=pixi, 则资金约束条件变为：(3) 简化交易费用下的模型：LP1：11max. .11,0.niiiiiiniiiirpxs tq xkpxxLP2：11min max. .11,0.iiniiiiniiiiq xs trpxhpxxLP3：1011min(1). .11,0.nniiiiiinniiiixrpxs tq xxpxx1.2 优化模型的求解方法优化模型的求解方法(1) 多元函数的无(有)条件极值；(2)* 线性(或非线性)规划方法；1.2.1 多元函数的极值多元函数的极值 (一一)

9、多元函数的极值多元函数的极值 设 n 元函数 f (x1, x2, xn) 具有3 阶连续偏导数，记12,(,)TnXx xx,1,2,iiffinx2, ,1,2,ijijffi jnx x 将函数 f (x1, x2, xn)在点 =(a1, a2, an)T处展开，有12(,)nf x xx12(,)nf a aa1()niiiX aifxa11()()2nnijiijjX aijfxaxaR其中R 是余项, 包含 (xi -ai) 的 3 次以上的项。 当xi 在 ai 附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a1, a2, an)T 是极大值点时，有nixffaXiaXi, 2 , 1,

10、0因此，有RaxaxfaaafxxxfninjjjiiaXijnn12121)(21),(),( 由于 f (a1, a2, an) 是极大值,当X 在 a 附近变化时，省略高阶无穷小R ，则有)6 . 1 (0)(1ninjjjiiaXijaxaxf记2, ,1,2,ijijijX afhfi jnx x ,1,2,iiiyxain12(,) ,TnYy yy()ijn nHh则(1.6)变为)7 . 1 (0HYYT 由于yi = xi ai 在 0 附近变化时(1.7)式均成立，所以YTHY 0 对所有Y 均成立，即H是负定矩阵，或者说 H 是正定矩阵。注：矩阵H 的正定性的判断方法(1

11、)矩阵对应的二次型大于0；(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；(3) 矩阵H 的特征值全大于0。(二二) 多元函数极值的判断多元函数极值的判断定理定理1.1 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1, a2, an)T处邻域内有定义，|H|0，则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极大值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且nnijhH)(是负定矩阵(海森矩阵)。定理定理1.2 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数，且在点X = (a1, a2, an)T处邻域内有定义，|

12、H|0，则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且nnijhH)(是正定矩阵(海森矩阵)。1.2.3 1.2.3 二次多项式函数的极值二次多项式函数的极值 函数 f (x1, x2, xn)是二次多项式时，设矩阵 AT=A，记12(,)TnXx xx()Tf XX AXBXC注： 当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代数中的二次型。推论推论1.1 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个二次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2, an)T 处达到极

13、大值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且矩阵A是负定矩阵。推论推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且矩阵A是正定矩阵。1.2.2 多元函数条件极值多元函数条件极值 Lagrange multiplier在一定的约束条件下求解问题的最优化解。 设n 元函数 u = f (x1, x2, , xn ) 具有3 阶连续偏导数，且有m 个约束条件：mnmnnbxxxgbxxxgbxxxg),(),(),(212212

14、1211(一一)约束条件问题约束条件问题(1) 函数 u = f (x1, x2, xn) 的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数 u = f (x1, x2, xn) 的极大值或极小值函数 u 的条件极值。说明：说明：(二二) Lagrange multiplier 函数函数 引入 m 个拉格朗日乘数 1, 2, ,m , 构造新的函数 拉格朗日乘子函数拉格朗日乘子函数：1212(,)nmF x xx 12(,)nfxxx121(,)miiniigxxxb, 2 , 1, 0),(2121nixxxxFimn., 2 , 1, 0),(2

15、121mjxxxFjmn( (三三) ) 条件极值存在的必要条件条件极值存在的必要条件( (四四) )应用实例应用实例( (一一) ) 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1 和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播, 试确定光线的路径。OQh2h1PAB12x空气水解解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距离为BQ= h2, x 轴沿水面过点O、Q, OQ = l。 根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到B 点应该经过折射点P, 其路径为折线 APB，所需时

16、间为：22221212()( ),hxhlxT xvv0,xl 下面确定在 x何值时，T(x)在0, l上取得最小值。当 x0, l 时，由于2222121211( ),()xlxT xvvhxhlx2212332222121211( )0,()hhTxvvhxhlx(0)0,T( )0,T l又T (x)在0, l上连续，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一的零点 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )内唯一的极小值点。设 x0满足 T (x)=0, 即 00222212102011,()xlxvvhxhlx与 1 联系与 2 联系因此，1212sinsin.vv 即当点 P 满足上

17、述条件时，APB即是光线的传播途径。记012210sin,xhx022210sin,()lxhlx( (四四) )应用实例应用实例( (二二) ) 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价格为 p, 销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态 ，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量 x与销售价格 p 之间有如下关系： ) 1 ()0, 0(aMMexap其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本 c 有如下测算：其中c0 是只生产一台电视机的成本，k 是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格 p

18、, 才能使该厂获得最大利润？)2() 1, 0(ln0 xkxkcc 分析分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格最优价格，才能获得最大利润。解解：设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x, 则利润函数为 u = (p - c) x (3)问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。 构造拉格朗日函数0( , , , , )()()(ln )(4)apL x p cpc xxMecckx ()0(5)xLpckx令0(6)appLxaM0(7)cLx 0(8)apLxMe0ln0(9

19、)Lcckx由(8)(9)，可得)10()(ln0apMkcc由(8)(6)，可得)11(1a由(7)，可得)12(x由(10)(11)(12)及(5)，可得01)(ln0kaapMkcp最优销售价格为akkaMkcp11ln0*说明：在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价格，必须预先给出这些参数。复习：微积分的相关内容1. 多元函数的偏导数的求法；2. 多元函数的无条件极值的求法；3. 多元函数的条件极值的求法；1.2 优化模型的求解方法优化模型的求解方法(1) 一元函数的无(有)条件极值；(2) 多元函数的无(有)条件极值；(3)* 线性(

20、或非线性)规划方法；定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(1) 一元函数的极值与最大(小)值定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(l

21、im0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )

22、(2xf, )(,mxf, )(af)(bf特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)例例1. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为问D 点应如何选取? 使货物从B 运到工厂C 的运费最省,20AB100CxDkm ,条公路, ( k 为某一常数 )解解:

23、 设,(km)xAD 则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 为唯一的极小点 ,15x故故 AD =15 km 时运费最省时运费最省 .总运费从而为最小点 , 例例2. 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1 和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播, 试确定光线的路径。OQh2h1PAB12x空气水解解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距离为BQ= h2, x 轴

24、沿水面过点O、Q, OQ = l。 根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到B 点应该经过折射点P, 其路径为折线 APB，所需时间为：2211( )hxT xv2222(),hlxv0,xl 下面确定在 x何值时，T(x)在0, l上取得最小值。当 x0, l 时，由于2222121211( ),()xlxT xvvhxhlx2212332222121211( )0,()hhTxvvhxhlx(0)0,T( )0,T l又T (x)在0, l上连续，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一的零点 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )内唯一的极小值点。

25、设 x0满足 T (x)=0, 即 00222212102011,()xlxvvhxhlx与 1 联系与 2 联系因此，1212sinsin.vv 即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。记012210sin,xhx022210sin,()lxhlx (二二) 多元函数的极值多元函数的极值 设 n 元函数 f (x1, x2, xn) 具有3 阶连续偏导数，记12,(,)TnXx xx,1,2,iiffinx2, ,1,2,ijijffi jnx x 将函数 f (x1, x2, xn)在点 =(a1, a2, an)T处展开，有12(,)nf x xx12(,)nf a aa1

26、()niiiX aifxa11()()2nnijiijjX aijfxaxaR其中R 是余项, 包含 (xi -ai) 的 3 次以上的项。 当xi 在 ai 附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a1, a2, an)T 是极大值点时，有nixffaXiaXi, 2 , 1, 0因此，有RaxaxfaaafxxxfninjjjiiaXijnn12121)(21),(),( 由于 f (a1, a2, an) 是极大值,当X 在 a 附近变化时，省略高阶无穷小R ，则有)6 . 1 (0)(1ninjjjiiaXijaxaxf记2, ,1,2,ijijijX afhfi jnx x ,1,2,ii

27、iyxain12(,) ,TnYy yy()ijn nHh则(1.6)变为)7 . 1 (0HYYT 由于yi = xi ai 在 0 附近变化时(1.7)式均成立，所以YTHY 0 对所有Y 均成立，即H是负定矩阵，或者说 H 是正定矩阵。矩阵H 的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；(3) 矩阵H 的特征值全大于0。多元函数极值的判断多元函数极值的判断定理定理1.1 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1, a2, an)T处邻域内有定义，|H|0,则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1,

28、 a2, an)T处达到极大值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且nnijhH)(是负定矩阵(海森矩阵)。111212122212nnnnnnffffffHfff矩阵矩阵H 的正定性的判断方法的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；(3) 矩阵H 的特征值全大于0。定理定理1.2 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数, 且在点X = (a1, a2, an)T处邻域内有定义, |H|0,则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是, 2 , 1, 0

29、nixffaXii且nnijhH)(是正定矩阵(海森矩阵)。1.2.3 1.2.3 二次多项式函数的极值二次多项式函数的极值 函数 f (x1, x2, xn)是二次多项式时，设矩阵 AT=A，记12(,)TnXx xx()Tf XX AXBXC注： 当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代数中的二次型。推论推论1.1 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个二次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2, an)T 处达到极大值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且矩阵A是负定矩阵。推论推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX

30、+C是一个二次多项式, 且AT=A。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且矩阵A是正定矩阵。多元函数条件极值多元函数条件极值 Lagrange multiplier 在一定的约束条件下求解问题的最优化解。 设n 元函数 u = f (x1, x2, , xn ) 具有3 阶连续偏导数，且有m 个约束条件：mnmnnbxxxgbxxxgbxxxg),(),(),(2122121211(一一)约束条件问题约束条件问题(1) 函数 u = f (x1, x2, xn) 的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数 u = f (x1, x2, xn) 的极大值或极小