高考数学抽象函数的周期与对称轴

1、抽象函数的周期与对称轴一. 教学内容抽象函数的周期与对称轴二. 教学重、难点重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。三. 具体内容1. 若则的周期为T。2. 若则的周期为证：令 3. 则的周期证：令 令 由得： 4. 若则图象的对称轴为证：要证原结论成立，只需证令代入则5. 若则的图象，以为对称中心。证：方法一：要证原结论成立只需证令代入则方法二：设它的图象为C 则P关于点的对称点 【典型例题】例1 对于，有下列命题。（1）在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。（2）若且均成立，则为偶函数。（3）若恒成立，则为周期函数。（4）若为单调增函数，则（且）也

2、为单调增函数，其中正确的为？解：（2）（3）例2 若函数有求。解：，知的图象关于对称而的对称中心 则例3 设是定义在R上的函数，均有当时，求当时，的解析式。解：由有得设则 时例4 已知是定义在R上的函数且满足，当时有则（1）是周期函数且周期为2（2）当时，（3）其中正确的是？解：（1）（2）（3）例5 已知满足，当时，且，若，求、的大小关系？解：由已知得，对称轴 也为一条对称轴 由 ， 例6 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，求的值。解：例7 设定义在R上，有且当时，（1）求证：且当时，（2）求证：在R上递减。解：（1）在中，令，得 设，则令，代入条件式有而 （

3、2）设则 令，则代入条件式得即 在R上递减【模拟试题】一. 选择1. 已知满足，且是奇函数，若则（ ）A. B. C. D. 2. 已知是定义在R上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，当时，（ ）A. B. C. D. 3. 若函数，都有则等于（ ）A. 0 B. 3 C. D. 3或4. 函数是（ ）A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的奇函数5. 的图象关于y轴对称的充要条件是（ ）A. B. C. D. 6. 如果且则可以是（ ）A. B. C. D. 7. 为偶函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 8. 设是R上的奇函数，当时，则（ ）A.

4、0.5 B. C. 1.5 D. 9. 设，有那么（ ）A. B. C. D. 10. 定义在R上，则与的图象关于（ ）A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称二. 填空1. 是R上的奇函数，且，则 。2. 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。3. 为奇函数，且当时，则当时 。4. 偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则（1）（2）（3）（4）中正确的是 。三. 解答题1. 设是定义在R上的偶函数，图象关于对称，、都有且（1）求、（2）证明：是周期函数2. 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足3. 已知对任意实数t都有，比较与的大小。4. 定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有101个不同实根，求所有实根之和。【试题答案】一.1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B9. A 10. D二.1. 0 2. 3. 4.（2）三.1. 解：（1） 都有 ， （2）由已知关于对称 即， 又由是偶函数知， ，将上式中以代换得 是R上的周期函数，且2是它的一个周期2. 证： 关于和对称 ， 令，则 即