多目标优化设计方法ppt课件

1、7.1 7.1 概述概述一、多目的优化及数学模型一、多目的优化及数学模型单目的最优化方法单目的最优化方法多目的最优化方法多目的最优化方法多目的优化的实例：多目的优化的实例：物美价廉物美价廉设计车床齿轮变速箱时，要求：设计车床齿轮变速箱时，要求： 7.1 7.1 概述续概述续 各齿轮体积总和各齿轮体积总和)(1Xf尽能够小尽能够小降低本钱降低本钱 各传动轴间的中心距总和各传动轴间的中心距总和)(2Xf使变速箱构造紧凑。使变速箱构造紧凑。 合理选用资料合理选用资料使总本钱使总本钱)(3Xf尽能够小。尽能够小。)(4Xf尽能够小。尽能够小。尽能够小尽能够小 传动效率尽能够高传动效率尽能够高机械耗损率

2、机械耗损率 在优化设计中同时要求几项目的到达最优值的在优化设计中同时要求几项目的到达最优值的问题称为多目的优化设计问题。问题称为多目的优化设计问题。7.1 7.1 概述续概述续 例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将零件车削成形，为选择适宜的切削速度和每转给进量，零件车削成形，为选择适宜的切削速度和每转给进量，提出以下目的：提出以下目的： 机械加工本钱最低；机械加工本钱最低； 消费率最高；消费率最高； 刀具寿命最长。刀具寿命最长。还应满足的约束条件是：还应满足的约束条件是： 进给量小于毛坯所留最大加工余量进给量小于毛坯所留最大加工余量 刀具强度

3、等刀具强度等7.1 7.1 概述续概述续12min()(),(),.,(). .()0,(1,2,.,)()0,(1,2,., )TLijFfffstgimhjkXXXXXX 对于一个具有对于一个具有L个目的函数和假设干个约束条件的个目的函数和假设干个约束条件的多目的优化问题，其数学模型的表达式可写为：多目的优化问题，其数学模型的表达式可写为：求：求：12,.,)Tnx xxX向量方式的目的函数向量方式的目的函数设计变量应满足的一设计变量应满足的一切约束条件切约束条件n维欧氏空间的一个向量维欧氏空间的一个向量7.1 7.1 概述续概述续二、几个根本概念二、几个根本概念设设1、最优解、最优解*X

4、D(D为可行域，为可行域，假设对于恣假设对于恣意意XD，恒使，恒使(*)()(1,2,.,)iiffimXX成立，那么称成立，那么称X*为多目的优为多目的优化问题的绝对最优解，简称最优解。化问题的绝对最优解，简称最优解。假设干个最优解组成的集合称为绝对最优解集假设干个最优解组成的集合称为绝对最优解集,用用 表示表示。*abD只需当只需当F(X)的各个子目的的各个子目的fi(X)的最优点都存在，并且的最优点都存在，并且全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。7.1 7.1 概述续概述续设设2、有效解非劣解、有效解非劣解*XD(D为可行域，为可行域，假设不存

5、在假设不存在XD，使，使()(*)(1,2,.,)iiffimXX成立，那么称成立，那么称X*为多目的优为多目的优化问题的非劣解或有效解。化问题的非劣解或有效解。假设干个有效解组成的集合称为有效解集假设干个有效解组成的集合称为有效解集,用用 表示。表示。*paD7.1 7.1 概述续概述续设设3、弱有效解弱非劣解、弱有效解弱非劣解*XD假设不存在假设不存在XD,使使()(*)(1,2,.,)iiffimXX成立，那么称成立，那么称X*为多目的优为多目的优化问题的弱非劣解或弱有化问题的弱非劣解或弱有效解。效解。一切弱有效解组成的集合称为弱有效解集一切弱有效解组成的集合称为弱有效解集,用用 表示。

6、表示。*wpD*abpawpDDDD三者之间关系：三者之间关系：在多目的优化设计中，在多目的优化设计中，假设一个解使每个分目的函数假设一个解使每个分目的函数值都比另一个解为劣，那么这个解称为劣解。值都比另一个解为劣，那么这个解称为劣解。三、多目的优化问题的特点及解法三、多目的优化问题的特点及解法7.1 7.1 概述续概述续 多目的优化是向量函数的优化单目的函数是标多目的优化是向量函数的优化单目的函数是标量函数的优化；量函数的优化； 对于多目的优化问题，任何两个解不一定能比较其对于多目的优化问题，任何两个解不一定能比较其优劣；优劣； 多目的优化问题得到的能够只是非劣解有效解，多目的优化问题得到的

7、能够只是非劣解有效解，而非劣解往往不止一个，需求在多个非劣解中找出一个最而非劣解往往不止一个，需求在多个非劣解中找出一个最优解。优解。1、特点、特点7.1 7.1 概述续概述续2、解法：、解法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解直接求出非劣解，然后再选择较好的解间接法间接法将多目的优化问题转化为单目的优化问题将多目的优化问题转化为单目的优化问题三、多目的优化问题的特点及解法续三、多目的优化问题的特点及解法续)线性加权和法、主要目的函数法、理想点法、线性加权和法、主要目的函数法、理想点法、平方和加权法、子目的乘除法、效果系数法平方和加权法、子目的乘除法、效果系数法将多目的优化问题转化为一系列单目

8、的优化问题将多目的优化问题转化为一系列单目的优化问题分层序列法、宽容分层序列法分层序列法、宽容分层序列法直接法：直接法：7.2 一致目的函数法综合目的法一致目的函数法综合目的法一、根本思想一、根本思想 一 致 目 的 函 数 法 就 是 设 法 将 各 分 目 的 函 数一 致 目 的 函 数 法 就 是 设 法 将 各 分 目 的 函 数f1(X),f2(X),fl(X)一致到一个新构成的总的目的函数一致到一个新构成的总的目的函数f(X), 这样就把原来的多目的问题转化为一个具有统这样就把原来的多目的问题转化为一个具有统目的函数的单目的问题来求解目的函数的单目的问题来求解即：即：12()()

9、,(),.,()minminlXDXDfffF XFXXX D为可行域，为可行域，f1(X)，f2(X)，fl(X)为各个子为各个子目的函数。目的函数。7.2 一致目的函数法续一致目的函数法续二、一致目的函数的构造方法二、一致目的函数的构造方法1、线性加权和法线性加权组合法、线性加权和法线性加权组合法 根据各子目的的重要程度给予相应的权数，然后根据各子目的的重要程度给予相应的权数，然后用各子目的分别乘以他们各自的权数，再相加即构成用各子目的分别乘以他们各自的权数，再相加即构成一致目的函数。一致目的函数。即评价函数为：即评价函数为：1()()LiiiffXX12(),(),.,()LfffXXX

10、12,.,L i应满足归一性和非负性条件应满足归一性和非负性条件110(1,2,., )LiiiiL各子目的函数各子目的函数权数权数优化的数学模型为优化的数学模型为121( ,.,)min()(). .()0(1,2,.,)()0(1,2,., )TnLiiiijx xxffstgimhjkXXXXX留意：留意：1、建立这样的评价函数时，各子目的的单位曾经脱、建立这样的评价函数时，各子目的的单位曾经脱离了通常的概念。离了通常的概念。2、权数加权因子的大小代表相应目的函数在优、权数加权因子的大小代表相应目的函数在优化模型中的重要程度，目的越重要，权数越大。化模型中的重要程度，目的越重要，权数越大

11、。权因子确实定方法：权因子确实定方法： 在确定权因子前，应先将各子目的函数进展在确定权因子前，应先将各子目的函数进展无量纲化，处置的方法是：无量纲化，处置的方法是：()()min()iiiDfffXXXX()ifX是多目的问题中某个带量纲的子目的；是多目的问题中某个带量纲的子目的；()if X是作了无量纲处置后的第是作了无量纲处置后的第i个子目的函数个子目的函数(1) 专家评判法老手法专家评判法老手法凭阅历评价，并结合统计处置来确定权数的方法。凭阅历评价，并结合统计处置来确定权数的方法。特点：方法适用，但要求专家人数不能太少。特点：方法适用，但要求专家人数不能太少。2容限法容限法假设知子目的函

12、数假设知子目的函数fi(X)的变动范围为：的变动范围为：(),1,2,.,iiifiLX那么称那么称()(1,2,., )2iiifiLX为该目的函数的容限为该目的函数的容限这时权数可取为：这时权数可取为：21(),1,2,.,iifiLX目的：在评价函数中使各子目的在数量级上到达目的：在评价函数中使各子目的在数量级上到达一致平衡。一致平衡。3加权因子分解法加权因子分解法*12(1,2,., )iiiiL *1i本征权因子，反响第本征权因子，反响第i个目的的相对重个目的的相对重要程度。要程度。2i校正权因子，用于调整各目的在量级校正权因子，用于调整各目的在量级方面差别的影响。方面差别的影响。2

13、21(),(1,2,., )iifiLX目的：使目的变化快慢不一致的趋于一致。目的：使目的变化快慢不一致的趋于一致。7.2 一致目的函数法续一致目的函数法续2、理想点法、理想点法 根本思想：使各个目的尽能够接近各自的最优值，根本思想：使各个目的尽能够接近各自的最优值，从而求出多目的函数的较好的非劣解。从而求出多目的函数的较好的非劣解。二、一致目的函数的构造方法续二、一致目的函数的构造方法续 步骤：先用单目的优化方法求得各子目的的约束步骤：先用单目的优化方法求得各子目的的约束最优值和相应的最优点，然后构造评价函数。最优值和相应的最优点，然后构造评价函数。评价函数：评价函数：1212* 21( ,

14、.,)min()(). .()0(1,2,.,)()0(1,2,., )TnLiiiijx xxf Xffstg Ximh XjkXX7.2 一致目的函数法续一致目的函数法续3、平方和加权法、平方和加权法 根本思想：在理想点法的根底上引入权数根本思想：在理想点法的根底上引入权数二、一致目的函数的构造方法续二、一致目的函数的构造方法续评价函数：评价函数：12* 21( ,.,)min()(). .()0(1,2,.,)()0(1,2,., )TnLiiiiijx xxf Xffstg Ximh XjkXXi构造评价函数。构造评价函数。i满足归一性和非负性条件满足归一性和非负性条件110(1,2,

15、., )LiiiiL7.3 主要目的函数法主要目的函数法 根本思想：从一切根本思想：从一切L个子目的函数中选出一个设个子目的函数中选出一个设计者以为最重要的作为主要目的函数，而将其他计者以为最重要的作为主要目的函数，而将其他L-1个子目的限制在一定的范围内，并转化为新的约束条个子目的限制在一定的范围内，并转化为新的约束条件，将多目的优化问题转化为单目的优化问题。件，将多目的优化问题转化为单目的优化问题。设设f2(X)为主要目的函数，那么优化的数学模型为为主要目的函数，那么优化的数学模型为：1220( ,.,)min(). .()0(1,2,.,)()0(1,2,., )()(1,2,., )T

16、nijttx xxfstg Ximh Xjkf XftLXX0(1,2,., )tftL原问题第原问题第t个目的函数的上限值。个目的函数的上限值。7.4 效果系数法效果系数法根本思想：根本思想： 先按各子目的值的先按各子目的值的“优或优或“劣即劣即“效果效果分别求出与其对应的效果函数，然后再由各分别求出与其对应的效果函数，然后再由各个效果函数构造出问题的评价函数进展求解。个效果函数构造出问题的评价函数进展求解。 目的是将多目的优化问题转化为单目的目的是将多目的优化问题转化为单目的优化问题优化问题7.4 效果系数法效果系数法一、效果系数一、效果系数多目的优化设多目的优化设计中，各子目计中，各子目

17、的的要求不同的的要求不同极小值极小值极大值极大值一个适宜的数值一个适宜的数值每个子目的都用一个效果函数每个子目的都用一个效果函数di表示表示( ()(1,2,., )iiiddfiLX其值为效果系数其值为效果系数效果函数的范围效果函数的范围0,1fi(X)的值称心时，的值称心时，di=1fi(X)的值不称心时，的值不称心时，di=0二、评价函数二、评价函数7.4 效果系数法续效果系数法续用一切子目的的效果系数的几何平均值作为评价函数用一切子目的的效果系数的几何平均值作为评价函数12()LLfd ddXf(X)的值越大，设计方案越好；反之越差；的值越大，设计方案越好；反之越差；0()1fXf(X

18、)=1时，表示获得最称心的设计方案时，表示获得最称心的设计方案f(X)=0时，表示此设计方案不能接受时，表示此设计方案不能接受 该评价函数不会使某一个目的最不称心该评价函数不会使某一个目的最不称心效果效果系数法的特点系数法的特点三、效果函数确实定三、效果函数确实定(a)目的函数目的函数 越大越好越大越好(b)目的函数目的函数 越小越好越小越好(c)目的函数过目的函数过 大过小都不好大过小都不好 对于一个具有对于一个具有L个目的函数和假设干个约束条件的个目的函数和假设干个约束条件的多目的优化问题，假设有多目的优化问题，假设有S个子目的函数为求极小，个子目的函数为求极小，而其他而其他L-S个子目的

19、函数为求极大时，各子目的对应个子目的函数为求极大时，各子目的对应的效果函数的求法：的效果函数的求法：7.4 效果系数法续效果系数法续三、效果函数确实定续三、效果函数确实定续1、在可行域、在可行域D中求出各子目的函数的最小值和最大值中求出各子目的函数的最小值和最大值(1)(2)()(1,2,., )()minmaxiiXDiiXDffiLffXX7.4 效果系数法续效果系数法续三、效果函数确实定续三、效果函数确实定续2、对于前、对于前S个要求极小化的子目的函数个要求极小化的子目的函数fi(X)，假设规，假设规定对应的效果函数满足定对应的效果函数满足(1)(2)1()()(1,2,., )0()i

20、iiiiiffdfiSffXXX那么可得线性效果函数为那么可得线性效果函数为(2)(2)(1)()()(1,2,., )iiiiiiffdf XiSffX7.4 效果系数法续效果系数法续三、效果函数确实定续三、效果函数确实定续3、对于后面、对于后面L-S个要求极大化的子目的函数个要求极大化的子目的函数fi(X)，假，假设规定对应的效果函数满足设规定对应的效果函数满足(2)(1)1()()(1,., )0()iiiiiiffdfiSLffXXX那么可得效果函数为那么可得效果函数为(1)(2)(1)()()(1,., )iiiiiiffdf XiSLffX7.4 效果系数法续效果系数法续三、效果函

21、数确实定续三、效果函数确实定续4、对于、对于L个子目的函数对应的效果函数为个子目的函数对应的效果函数为(2)(2)(1)(1)(2)(1)()(1,2,., )()()(1,., )iiiiiiiiiiffiSffdfffiSLffXXX121122( ,.)max()()().(). .()0,(1,2,.,)()0,(1,2,. )TnLLLijx xxfdfdfdfstgimhjkXXXXXXX5、优化问题的数学模型为：、优化问题的数学模型为：12()LLfd ddX评价函数：评价函数：五、效果系数法的特点五、效果系数法的特点1、直接按要求的性能目的来评价函数，直观，、直接按要求的性能目

22、的来评价函数，直观，且初步试算后，调整方便；且初步试算后，调整方便；2、无论各子目的的量级和量纲如何，最终都转化为在、无论各子目的的量级和量纲如何，最终都转化为在0,1区间取值，而且一旦有一个子目的达不到要求，区间取值，而且一旦有一个子目的达不到要求，那么其相应的效果系数为那么其相应的效果系数为0，从而使评价函数也为，从而使评价函数也为0，阐明不能接受所得设计方案；阐明不能接受所得设计方案；3、可以处置既非越大越好，也非越小越好的目的函数；、可以处置既非越大越好，也非越小越好的目的函数；4、对难以事先确定目的函数取值范围的情况不适用。、对难以事先确定目的函数取值范围的情况不适用。7.5 分层序

23、列法及宽容分层序列法分层序列法及宽容分层序列法将多目的优化问题转将多目的优化问题转化为一系列单目的优化为一系列单目的优化问题的求解方法：化问题的求解方法：分层序列法分层序列法宽容分层序列法宽容分层序列法7.5 分层序列法及宽容分层序列法续分层序列法及宽容分层序列法续一、分层序列法一、分层序列法1、根本思想、根本思想 将多目的优化问题中的将多目的优化问题中的l个目的函数分清主次，按个目的函数分清主次，按照其重要程度逐一排除，然后依次对各个目的函数求照其重要程度逐一排除，然后依次对各个目的函数求最优解，只是后一目的应在前一目的最优解的集合域最优解，只是后一目的应在前一目的最优解的集合域内寻优。内寻

24、优。2、根本步骤、根本步骤)(1Xf设设最重要，最重要， )(2Xf其次，其次， )(3Xf再其次，再其次，.。 首先对第一个目的函数首先对第一个目的函数 )(1Xf求解，得最优值求解，得最优值DffXX*11)(min在第一个目的函数的最优解集合域内，求第二个在第一个目的函数的最优解集合域内，求第二个目的函数目的函数)(2Xf的最优值，也就是将第一个目的函数转的最优值，也就是将第一个目的函数转化为辅助约束。即求化为辅助约束。即求*1112)()(minffDfXXXX的最优值，记作的最优值，记作 *2f 然后再在第一、第二个目的函数的最优解集合域内，然后再在第一、第二个目的函数的最优解集合域

25、内，求第三个目的函数的最优值，此时，第一、第二个目的求第三个目的函数的最优值，此时，第一、第二个目的函数转化为辅助约束，即求：函数转化为辅助约束，即求：)2 , 1()()(min*23iffDfiiXXXX最优值，记作最优值，记作*3f一、分层序列法一、分层序列法(续续最优值是最优值是*lf一、分层序列法一、分层序列法(续续以此类推，最后求第以此类推，最后求第l目的函数目的函数 )(Xlf的最优值，即的最优值，即) 1, 2 , 1()()(min*1liffDfiillXXXX,对应的最优点是对应的最优点是 *X 3、分层序列法的优缺陷：、分层序列法的优缺陷： 在求解过程中能够会出现中断景

26、象，使求解过程无法在求解过程中能够会出现中断景象，使求解过程无法继续进展下去。继续进展下去。 当求解到第当求解到第k个目的函数的最优解是独一时，那么再往个目的函数的最优解是独一时，那么再往后求第后求第k+1，(k+2)，.，l个目的函数的解就完全没个目的函数的解就完全没有意义了。尤其是当求得的第一个目的函数的最优解是有意义了。尤其是当求得的第一个目的函数的最优解是独一时，那么失去了多目的优化的意义了。独一时，那么失去了多目的优化的意义了。二、宽容分层序列法二、宽容分层序列法1、根本思想、根本思想 这种方法是对各目的函数的最优值放宽要求，这种方法是对各目的函数的最优值放宽要求，可以对各目的函数的

27、最优值取给定的宽容值，即可以对各目的函数的最优值取给定的宽容值，即10， 20,。这样，在求后一个目的函数的。这样，在求后一个目的函数的最优值时，对前一目的函数不严厉限制在最优解最优值时，对前一目的函数不严厉限制在最优解内，而是在前一目的函数最优值附近的某一范围内，而是在前一目的函数最优值附近的某一范围内进展优化，因此防止了计算过程的中断。内进展优化，因此防止了计算过程的中断。1min ( )f xfxD*11） 221111min ( )2( )f xfxDx f xf*） 332iiimin ( )3( )( =1,2)f xfxDx f xfi*） -1iiimin ( )( )( =1

28、,2,., -1)*lllf xflxDx f xfil*） i0二、宽容分层序列法续二、宽容分层序列法续其中，其中，最后求得最优解最后求得最优解x* 两目的优化问题用宽容分层序列法求最优解的两目的优化问题用宽容分层序列法求最优解的情况如图。情况如图。二、宽容分层序列法续二、宽容分层序列法续二、宽容分层序列法续二、宽容分层序列法续例题：用宽容分层序列法求解例题：用宽容分层序列法求解( )maxx DVF x121221( )( )( ) ;( )(6)cos2( )1 (2.9) ;1.52.5TF xf xfxf xxxfxxDxx 式中式中解：按重要程度将目的函数排队为：解：按重要程度将目

29、的函数排队为：f1(x)，f2(x)首先求解首先求解11max( )(6)cos2x Df xxx，得最优点，得最优点x(1)=2对应的最优值为对应的最优值为(1)11()(62)cos222f x设给定的宽容值设给定的宽容值1=0.052，那么可得：，那么可得：(1)111( )()0.052,1.52.5Dx f xf xx然后求解最优解然后求解最优解12max( )x Dfx122max( )1 (2.9)x Dfxx 即求：即求：11( )1.948,1.52.5Dx f xx求得最优解为：求得最优解为：x(2)=1.9这就是该两目的函数的这就是该两目的函数的最优点最优点x*,对应的最

30、优值对应的最优值为为(2)1(2)2()1.948()2f xfx优优化化方方法法主主 要要目标法目标法 统一目标方法统一目标方法分层序列法及分层序列法及宽容分层序列宽容分层序列法法线性加线性加权和法权和法理想点法理想点法与平方和与平方和加权法加权法功效系数法功效系数法- -几何平均法几何平均法方方法法特特点点1 1、找出主要顾、找出主要顾及其余；及其余；2 2、分析出正确、分析出正确的主要目标函的主要目标函数至关重要；数至关重要；3 3、对决策者专、对决策者专业知识要求较业知识要求较高。高。1 1、可综合考虑、可综合考虑各分目标函数各分目标函数的影响的影响2 2、按各分目标、按各分目标函数的重要程函数的重要程度综合考虑了度综合考虑了各分目标函数各分目标函数的影响。的影响。 希望能希望能达到各分达到各分目标都为目标都为最优化，最优化，尽量向该尽量向该理点去靠理点去靠近。近。可对各分目可对各分目标函数求极标函数求极大，求极小，大，求极小，及求逼近某及求逼近某一合适值的一合适值的各分目标函各分目标函数求优。数求优。可对多目标优可对多目标优化中优化优先化中优化优先次序等级有区次序等级有区别的多目标优别的多目标优化问题进行优化问题进行优化。化。基基本本思思路路选出对问题影选出对问题影响最重要的函响最重要的函数作为主要目数作为主要目标函数，其余标函数，其余目标函数作为目标函数作为约束条件