概率论课件(河海大学)

1、概率论与数理统计概率论与数理统计讲课系统讲课系统数学系列基础课程数学系列基础课程CAICAI课题组课题组二二000000年七月年七月南京南京 讲授讲授讲授: : : 夏乐天夏乐天夏乐天 河海大学数学系列基础课程河海大学数学系列基础课程CAICAI本课程与其他数学基础课的关系本课程与其他数学基础课的关系l微积分微积分 （高等数学高等数学）l线性代数线性代数序序序序序序 言言言言言言三三. .理论联系实际最活跃的学科理论联系实际最活跃的学科 1. 1.应用性应用性: : 概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科技等领域技等领域 2.2.渗透性

2、渗透性: : 与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。 例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、 数量经济等四四. .概率论的内容构成概率论的内容构成基础部分基础部分-概率论概率论: : 古典概率古典概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 分布函数分布函数 数字特征等数字特征等应用部分应用部分-数理统计数理统计: : 统计量构造统计量构造 参数估计参数估计 假设检验假设检验 回归分析等回归分析等深入部分深入部分-随机过程随机过程: : 马尔可夫过程马尔可夫过程 平稳过程平稳过程 随机

3、分析等随机分析等 概概 率率 论论l第一章 随机事件与概率l第二章 离散型随机变量及其分布l第三章 连续型随机变量及其分布l第四章 随机变量的数字特征l第五章 大数定律和中心极限定理第一章 随机事件和概率l随机试验随机试验l样本空间、随机事件样本空间、随机事件l频率和概率频率和概率l古典概型古典概型l几何概几何概型型l概率的公理化结构概率的公理化结构l条件概率条件概率l事件的独立性事件的独立性l贝努里概型贝努里概型1.1 随机试验随机试验一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试验”)的例子的例子 随机试验可表为随机试验可表为E E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;

4、E2: 抛两枚硬币，考虑可能出现的结果； E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i; E4: 掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；二、随机试验的特征二、随机试验的特征E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；E6: 对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果;E7: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命。 1.可在相同条件下重复进行; 2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件一、样本空间一、样本空间 1、样本空间：所有试验结果组成的集合称为样本空间，记为=； 2、样本点: 样本空间的元素称为样本

5、点，样本点即试验结果，记为. 例如例如 对应E1的样本空间为=H，T； 对应E2的样本空间为 =(H,H), (H, T), (T, H), (T, T)； 对应E5的样本空间为=0, 1, 2, ；二、随机事件二、随机事件 1.定义定义 试验中可能出现或可能不出现的事情叫“随机事件”, 简称“事件”. 2.基本事件基本事件: 不可能再分解的事件, 即试验的结果，常记为“”. 3.两个特殊事件两个特殊事件: 必然事件、不可能事件. 任何事件均是某些样本点组成的集合任何事件均是某些样本点组成的集合. 例例 对于试验E2与E5 ，以下A 、 B即为两个随机事件: A“至少出一个正面” (H,H),

6、 (H, T), (T, H)； B“至少m次少于n次”m, m+1, , n1。三、事件之间的关系三、事件之间的关系 1.包含关系包含关系:“ A发生必导致发生必导致B发生发生”记为记为A B AB A B且且B A.2.和事件和事件: A B3.积事件积事件: A BAB4.差事件、对立事件差事件、对立事件(余事件余事件)：AB称为称为A与与B的差事件的差事件 5.互互不相容性：不相容性：AB A、B互为互为对立事件对立事件 A B , 且且AB ;BABA;BBB 易知的对立事件称为四、事件与集合对应关系类比四、事件与集合对应关系类比 概率论概率论 集合论集合论 样本空间样本空间 事件事

7、件 子集子集 事件事件A A发生发生 A 事件事件A A不发生不发生 A 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件 事件事件A A发生导致事件发生导致事件B B发生发生 A B概率论概率论 集合论集合论事件A与B至少有一个发生 AB事件A与B同时发生 AB(或AB)事件A发生而B不发生 AB事件A与B互不相容 AB五、事件的运算五、事件的运算1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、对偶、对偶(De Morgan)律律： .,kkkkkkkkAAAABAA

8、BBABA可推广1.3 频率与概率频率与概率一、频率一、频率 1.定义定义 事件事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA次，则比值次，则比值nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中出现的频率，记为次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即即 fn(A) nA/n.2.频率的性质频率的性质(1) 非负性： fn(A) 0；(2) 规范性： fn()1；(3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，增大时， fn(A) 逐渐逐渐 趋向一个定值趋向一个定值。二二. 概率概率 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬

9、币时，出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.50050.501.定义定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件 A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性非负性：对任一事件A，有P(A) 0；(2) 规范性规范性： P()1；(3) 可列可加性可列可加性：设A1，A2, , 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2,

10、 , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+ . (1.1)则称P(A)为事件A的概率概率。 2.概率的性质概率的性质(1) 不可能事件概率零不可能事件概率零：P()0； (1.2)(2) 有限有限可加性可加性：设A1，A2, ,An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (1.3)(3) 单调不减性单调不减性：若事件BA，则P(B)P(A) , 且 P(BA)P(B)P(A)； (1.4)(6) 可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB

11、 ) . (1.7)(4) 互补性互补性：P(A)1 P(A)，且P(A) 1 ; (1.5)(5) 加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) (1.6)公式(1.6)可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；一般的，有如下定义定义定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：., 2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiAijinii1.4 古典概型古典概型一、古典概型的特征一、古典概型的特征1.有限性：样本空间1, 2 , , n ;2.等可能性：P(i)1/n, (i1, 2, , n). 古典

12、概型也称为古典概型也称为等可能等可能概型。概型。二、古典概型的计算公式二、古典概型的计算公式 P(A)n)A(knkA中样本点总数中所含样本点数 设事件设事件A中包含中包含k个样本点个样本点(基本事件基本事件)例例1、掷一颗骰子，求出6点的概率。例例2、做试验E：“将一枚硬币连抛2次” ,观测出正、反面的情形。 (1) 写出E的样本样本空间； (2) 设A1“恰有一次出正面” ，求P(A1)； (3) 设A2“至少出一次正面” ，求P(A2).例例3、袋中有6只乒乓球，其中4白2红，现从中取二次，每次取一只(分别考虑有放回有放回和无放回无放回取球的情形)。求(1) 全是白球的概率；(2) 两球

13、色相同的概率；(3) 至少一只白球的概率。三、古典概型的几类基本问题三、古典概型的几类基本问题1、抽球问题、抽球问题 设袋中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，问这n个球中恰有k个白球的概率是多少?2、取数问题、取数问题 设有17七位数字，从中任取三个不同的数字组成一个三位数，求这三位数是偶数的概率。3、分配问题、分配问题 把n个球随机地分配到m个盒子中去，问每盒中至多有一球的概率是多少？4、配对问题、配对问题 从五双不同的鞋子中任意地取出四只，问其中至少有两只成双的概率是多少?例例4、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(nN)，求下列事件的概率：(1)指定

14、的n个房间每个房间各有一人;(2)恰好有n个房间，每个房间各有一人。例例5、某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？ (例1.11 p10)例例6、(De Mere问题)一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？P1=1(5/6)4 = 0.5177; P2=1(35/36)24 = 0.4914.1.5 几何概型几何概型一、几何概型的特征一、几何概型的特征1.基本事件数无限基本事件数无限：， 充满区域，且可测 ；2.等可能性等可能性：随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其

15、位置及形状无关。二、几何概型的计算公式二、几何概型的计算公式的测度的测度 g)A(Pg其中Ag表示“在区域中随机地取一点落在区域g中”这一事件。 例例2、(蒲丰(Buffon)投针问题)1777年法国科学家蒲丰提出了下列著名问题： 平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a，向此平面上任投一长度为l(I0，(i1，n)，则对任何事件BF，有 ) 5 . 7 . 1 ()|()()(1niiiABPAPBP式(1.7.5)就称为全概率公式全概率公式。例例3、某厂有三个车间生产同一种产品，已知三个车间的产量分别占总产量的1/4、1/4、1/2，且次品率分别为 2、1、3，试求该厂这种产品的次品率

16、。定理定理2、设A1，, An是的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BF，有 )6 . 7 . 1 (), 1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj式(1.7.6)就称为贝叶斯公式贝叶斯公式或逆逆概率公式概率公式。例例4、 在无线电通讯中，由于随机因素的影响，当发出短号“” 时, 收到“” 、“不清” 和长号“” 的概率分别是0.7、0.2和0.1，当发出长号“” 时，收到“” 、“不清” 和 “” “的概率分别是0.9、0.1和0.若在整个发报过程中信号“” 及“” 出现的概率分别是0.6和0.4，当收到信号“不清” 时，试推测原发

17、信号。 1.8 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立定义定义1、设A、B是两事件，若 P(B)P(B|A) (1.8.1)则称事件A与B相互独立。式(1.8.1)等价于： P(AB)P(A)P(B) (1.8.2)二、多个事件的独立二、多个事件的独立定理、定理、以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。定义定义2、若三个事件A、B、C满足： (1)P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还

18、满足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.8.3)则称事件A、B、C相互独立相互独立。三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用 一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik )P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.8.4)称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 P(A1A2 An)5 . 8 . 1 ()A(P)A(P)A(P1n212、在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用1.9贝

19、努里概型贝努里概型一、贝努里一、贝努里(Bernoulli)概型概型 1.只有两个可能结果的试验称为只有两个可能结果的试验称为贝努里试验贝努里试验，常记为，常记为E。E也叫做也叫做“成功成功失败失败”试验试验,“成功成功” 的概率常用的概率常用pP(A)表示，其中表示，其中A“成功成功”。 2.把把E重复独立地进行重复独立地进行n次，所得的次，所得的试验称为试验称为n重重贝努里贝努里试验试验，记为，记为En。 3.把把E重复独立地进行可列多次，重复独立地进行可列多次，所得的所得的试验称为试验称为可列重可列重贝努里试验贝努里试验，记为，记为E 。二、贝努里概型中几个重要事件的概率二、贝努里概型中

20、几个重要事件的概率以上三种贝努里试验统称为贝努里概型贝努里概型。1.En中成功中成功k次的概率是次的概率是)nk0( ,)p1 (pknkknC ,.)2, 1k( ,p)p1(1k )kr1 ( ,p)p1 (rrk1r1kC 3.E中第中第r次成功发生在第次成功发生在第k次试验的概率是次试验的概率是2.E中首次成功发生在第中首次成功发生在第k次试验的概率是次试验的概率是第二章第二章 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布l随机变量的概念随机变量的概念l一维离散型随机变量的分布律一维离散型随机变量的分布律l二维离散型随机变量二维离散型随机变量l离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函

21、数的分布律2.1 随机变量的概念随机变量的概念实例实例 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间H,T 可规定随机变量 XX() T0H1，RX ：随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。定义定义 设随机试验E的样本空间是，XX(), 是定义 在上的一个单值实函数。若对任意实数x，样本点的 集合| X()xXx是一随机事件，则X()称为随机 变量，简记为X. 随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z 等表示 ，也可用希腊字母、等表示。随机变量的分类：随机变量的分类： 随机变量 奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量2.2 一维离散型随机变量的分布律一维离散型随机变量的分布律一、分布律一、分布律

22、1. 定义定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或 X X x1 x2 xn P p1 p2 pn 2. 分布律的性质分布律的性质(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1kk.1p .CCCkXP35k33k2 例例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解解 k可取值0，1，2二、几个常用的离散型分布1. 退化分布退化分

23、布(单点分布单点分布) XPXa1，其中，其中a为常数。为常数。2. (01)分布分布(两点分布两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，13. 几何分布几何分布 XPXk (1p)k1 p, (0p1) k1, 2, 4. 二项分布二项分布B(n, p) XPXkknC pk(1p)nk, (0p1) k0, 1, 2, , n pr(1p)kr, kr, r+1, , ( r 1, 0p0, 则称 pi|j 为Y yj的条件下，X的条件分布律条件分布律;同理，同理，若对固定的i, pi. 0, 则称 pj|i , 2, 1,|.jppxXyYPiijij为X xi的条件下，

24、Y的条件分布律条件分布律; 条件分布律也满足分布律的性质条件分布律也满足分布律的性质例例1 一射手进行射击，命中目标的概率为p (0p1)，射击进行到命中目标两次为止，现用X表示首次命中目标所进行的射击次数，用Y表示总共进行的射击次数。试求X和Y的联合分布律及边缘分布律。解解 由题意知（X，Y）的分布律为 PX=m, Y=np2(1p)n2， m=1, 2, , n1；n=2, 3, X服从参数为p的几何分布，其分布律为 PX=mp(1p)m1， m=1, 2, Y服从参数为 2、p的负二项分布，其分布律为 PY=n(n1)p2(1p)n2， n=2, 3, (X和Y的边缘边缘分布律分布律一般

25、可由联合一般可由联合分布律分布律求得)。另外，当n=2, 3, 时 Pm|nPX=m|Y=n 1, 2, 1,11)1 () 1()1 (2222nmnppnppnn, 2, 1,)1 ()1 ()1 (1122mmnppppppmnmn当m=1, 2, 时 Pn|mPY=n|X=m 四、离散型随机变量的相互独立性 设随机变量X与Y的联合分布联合分布律律为 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )，若对任意的任意的i、j，有pij pi. p. j，即 PXxi, Y yj PXxiPY yj则称随机变量X与Y相互独立相互独立。 ,x,.,x,xn21iii对任意

26、的i1, i2, ,in成立，则称随机变量X1，X2， , Xn相互独立相互独立。xxx,xn1n1ii1ii1nnXPXPXXP 上述概念不难推广到n维离散型随机变量的情形。例如，设X1，X2， , Xn分别可取值2.4 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律一、一维离散型随机变量函数的分布律一、一维离散型随机变量函数的分布律定理定理1 设X一个随机变量，若若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。 若 XPXxkpk, k1, 2, 则 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, 其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。 显然，Y的分布律也满足分布律的性

27、质。二、多维离散型随机变量函数的分布律二、多维离散型随机变量函数的分布律定理定理2 设X1，X2， , Xn是一个n维随机变量，若若yg(x1, x2, , xn)是一个n元实值函数，则Yg(X1，X2，, Xn)也是一个随机变量。 以二维为例，若 (X, Y)P(Xxi, Yyk)pik ，i, k1, 2, 则 Zg(X, Y)PYzl,2,1,),(,lpplzyxgkiiklki 例例1 设XP(1), YP(2)，且X与Y相互独立，求ZXY的分布律。解 PZk PX+Y=k kiikYiXP0,!)()!(!)(210212121ekeikeikkiikikiikYPiXP0 k0,

28、 1, 2, 以上划线部分称为整值随机变量的卷积公式卷积公式。 例例2 设随机变量(X，Y)的分布律为 (1) 求PX=2|Y=2, PY=3|X=0; (2) 求WXY的分布律; (3) 求Vmax(X, Y)的分布律； (4) 求Umin(X, Y)的分布律。解解 (1) 因为 PY=20.25, PX=00.03, 故 PX=2|Y=25/251/5; PY=3|X=01/3.Y X 0 1 2 3 4 5 0 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05

29、0.06 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05(2) 因为WXY可取值0, 1, 2, ., 8,故其分布律为 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0.00 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 (3) 因为Vmax(X, Y)可取值0, 1, 2, 3, 4, 5,故其分布律为 V 0 1 2 3 4 5 P 0.00 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(4) 因为Umin(X, Y)可取值0, 1, 2, 3, 故其分布律为 U 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17第三章第三章

30、连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布l分布函数分布函数l一维连续型随机变量及其分布一维连续型随机变量及其分布l二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布l连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数3.1 分布函数分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念 定义定义 设X为随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率P Xx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).例例1 设随机变量X具分布律为 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3试求出X的分布函数。解解2,

31、121, 7 . 010, 1 . 00, 0)(xxxxxF其图形如下： F(X)1O 1 2 X 二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、非负规范性：对任意实数x，0F(x)1，且; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx).()(lim) 0(000 xFxFxFxx 3、右连续性：对任意实数x0，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。 分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(

32、x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。 一般的，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为xxkkkpxXPxF:)(例例2 设陀螺陀螺顶面圆周为单位圆，现在其上从01均匀刻度，若让X表示陀螺静止时其顶面圆周与地面的接触点，则X是随机变量，求X的分布函数。解解, 0, 10, 1, 0, 1)()(xxxxxXPxF)(xFx101xxxfduufxF其它其中, 0, 10, 1)(,)()(易知，有其图形为：3.2 一维连续性

33、随机变量及其分布一、密度函数一、密度函数 1. 定义定义 对于随机变量X，若存在非负可积函数f(x)，(x+)，使对任意实数x，都有 xdu)u(f)xX(P)x(FbaduufbXaP)()(则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为 X f(x) , (x+)密度函数的几何意义为2. 密度函数的性质密度函数的性质 (1) f(x)0，(x)； (2).1)(dxxf.)(limlimbababadxxfbXaPbXPbadxxfbXaPbXaPbXaP)(.dx)x(dF性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； (3) 若x是f(x)的连续点，则

34、f(x) 3. 对任意实数b，若X f(x)，(x)，则PX=b0事实上，从而，二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1. 均匀分布均匀分布 若Xf(x) ，其它0bxa,ab1。ab1 0ababcddxabdxxfdXcPdcdc11),()()(xfx则称X在(a, b)内服从均匀分布。 对任意实数c, d (acdb)，都有 这说明X落在(a, b)中任一区间的概率只与该区间的长度成正比，而与该区间的位置无关，这就是均匀分布的概率意义。2. 指数分布指数分布 若 X0, 00,)(xxexfx. 1)(; 0)(0dxedxxfxfx)x( fx00, 00,)(2/xxke

35、xfx求(1) k的值; (2) P|X|0的指数分布。 易知，例例 已知 X解解 (1) 由得, k1/2;(2)3. 伽马分布伽马分布 若 X0,00,)()(1xxexxfx. 1)()(; 0)(01dxexdxxfxfx则称X服从参数为0， 0的伽马伽马分布，记为 (, )。 易知， ()称为伽马函数，伽马函数，它具有以下几个性质： (1) (+1)= (); (2) (n+1)=n! ;.21) 3(4. 正态分布正态分布 若随机变量12121)(22)(222dtedxedxxftx,xt 其中 0 ，为实数，则称X服从参数为2，的正态分布,记为N(, 2)，可表为XN(, 2)

36、. 易知 f(x)0; 令可得 正态分布有三个特性： x,e21)x( fX222)x( (1) 单峰对称单峰对称 其图形关于直线x=对称；f()max f(x) . 21(2)有两个拐点有两个拐点 ( ，f () )；( ，f () )， (3) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，概率分布越分散，曲线又矮又胖；越小，曲线越陡峻，概率分布越集中，曲线又高又瘦。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布。5.标准正态分布标准正态分布 参数0，21的正态分布称为标准正态分布，可表为N(0, 1)。为了区别于一般的正态分布，其密度函数表示为.x,e21)x(2x2 xdt

37、exXPxxt,)(2212分布函数表示为 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。注解注解：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则F(x)PX x).x( x)x( f0 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。 3.3二维连续型随机变量及其分布一、联合分布及边缘分布一、联合分布及边缘分布1、联合分布函数联合分布函数 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x, y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 几何意义：对于(x1, y1), (x2, y

38、2)R2, (x1 x2， y1y2 ),有 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1). 分布函数F(x, y)具有如下性质： (1)非负规范非负规范 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, 且F(+, +)1; F(, ) , 0),(limyxFyxF(x, ) 0),(limyxFyF(x, y)F(, y). xlim (2)单调不减单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2). (3)右连续右连续

39、 对任意yR, );y,x(F)y, x(Flim)y, 0 x(F0 xx00 ).y, x(F)y, x(Flim)0y, x(F0yy00 反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以 作为某个二维随机变量 (X, Y)的分布函数。(4)矩形不等式矩形不等式对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0. y y2y1 0 x1 x2 x 对任意xR,x1X x2 ,y1 0且y0时，有 xydudvvufyxF,),(),()2( x0y0y3x2)v3u2

40、(, )e1)(e1(dudve6)y, x(F 其它, 00y, 0 x),e1)(e1()y, x(Fy3x2 DxyxdyedxdxdyyxfDYXP303260)32(6),(),(综上得 (3)由f (x, y)的性质知（见下图）y 2 1 D 0 1 2 3 x 3066x2983. 0e71dx)ee (2 3. 两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为其它，的面积, 0),(1),(2RGyxGyxf则称(X, Y)在区域G上(内) 服从均匀分布。 该分布的密度函数显然满足密度函数的两个 充要性质,

41、即非负性和完备性。其中，1、2为实数，10、20、| |1，则称(X, Y)服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为 ,121),()()(2)()1 (212212222212121212yyxxeyxf . 1),(dxdyyxf(2)二维正态分布二维正态分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为可以验证：f (x, y)满足密度函数的两个充要性质，事实上，(1) f (x, y)0；(2),(N)Y,X(222121 三、边缘密度函数三、边缘密度函数 设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则称dyyxfxfX),()(dx

42、yxfyfY),()(为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 易知N(1, 2, 1, 2, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 1)的密度函数，而fY(y)是N(2, 2)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。四、条件密度函数四、条件密度函数FX|Y(x|y)PXx|Y=y yyYy|xXPlim0y ,lim)|(0|yyYyPyyYyxXPyxFyYX称为已知Yy条件下，X的条件分布函数。 若已知(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则由于dyydFyyxFyFyyFyxFyyxFYYYy)(),()()(),(),

43、(lim0可见， xYYxduyfyufyfduyuf.)(),()(),(故称的密度函数的作用，起到了)|()(),(|yxFyfyxfYXY0)(,)(),()|(|xfxRyxfyxfxyfXxXY固定且满足0)y(fy,Rx,)y(f)y,x(f)y|x(fYYY|X 固定且满足为已知Yy条件下，X的条件密度函数条件密度函数; 同理，称为已知Xx条件下，Y的条件密度函数条件密度函数。五、随机变量的独立性五、随机变量的独立性1、随机变量相互独立的一般定义、随机变量相互独立的一般定义 设X1，X2，Xn为n 个随机变量，若对任意(x1, x2, , xn)Rn，有 PX1x1, , Xnx

44、nPX1x1 PXnxn即 F(x1, x2, , xn)FX1(x1)FX2(x2) FXn(xn),则称X1，X2，Xn相互独立。 2、随机变量相互独立的等价定义、随机变量相互独立的等价定义 对于离散型随机变量的情形，在第二章对于离散型随机变量的情形，在第二章2.3节中节中 已经予以介绍。已经予以介绍。xxx,.,x(n)i(1)i1(n)i1)(i1n1n1nnXPXPXXP若对任意整数i1, i2, , in及实数 有(n)i(2)i(1)in21x,.,x,x则称离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。 定理定理1 设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, fX(

45、x), fY(y)分别为X与Y的边缘密度，则X与Y相互独立等价于 f (x, y) fX(x)fY(y)，对任意(x, y)R2几乎处处成立。 易知，对任意(x, y)R2 f (x, y) fX(x)fY(y) fX|Y(x|y) fX(x)或 fY|X(y|x)fY(y).定理1可以推广到n维连续型随机变量的情形: 设X1，X2 , Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, , xn)Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2) fXn(xn)几乎处处成立，则称X1，X2, Xn相互独立。 定理定理2 设(X1,X2, , Xn )与(Y1, Y2,

46、Yn )相互独立，则Xi (i=1, 2, , m)与Yj (j=1, 2, , n)相互独立；又若h, g是连续函数，则h(X1,X2, , Xn )与g(Y1, Y2, Yn )相互独立.3.4 连续型随机变量函数连续型随机变量函数的密度函数的密度函数l一维变量的情形一维变量的情形 一般方法一般方法分布函数法分布函数法 公式法公式法l多个随机变量函数的密度函数多个随机变量函数的密度函数 一般方法一般方法分布函数法分布函数法 几个常用函数的密度函数几个常用函数的密度函数3.4 连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数一、一维变量的情形一、一维变量的情形 1、一般方法 若Xf(

47、x), xz 1 PX1z, , Xnz 1PX1z PXnz 1 特别，当X1, X2, , Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n; FN(z)11F(z)n. 进一步地，若X1, X2, , Xn独立且具相同的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f (z)； fN(z)n1F(z)n1f (z). 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征l数学期望l方差l协方差和相关系数l矩l几个重要随机变量的期望和方差4.1数学期望数学期望l加权平均数加权平均数l离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望l连续型随机变

48、量的数学期望连续型随机变量的数学期望l数学期望的性质数学期望的性质4.1数学期望数学期望一一 加权平均数加权平均数 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2)( 5 .762715961)100)(2 ()90)(7 ()80)(15()70)(9 ()60)(6 ()40)(1 (分则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即例例 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 后一种计算方法可认为是40,60,70,80,90和100这六个数的加权平均数。一般地说，加权平均数加权平均数可为)( 5 .76)100(402)90(407)80(4015)70

49、(409)60(406)40(401分或其中,1niiixwniiiww1. 1, 0wi称为数xi的权重, 可见平均值即加权平均数。 X 40 60 70 80 90 100 P 1/40 6/40 9/40 15/40 7/40 2/40 于是平均成绩平均成绩为40PX=40+60PX=60+70PX=70+80PX=80+90PX=90+100PX=100 即取值乘取值的概率相加即得平均值。这就是r.v.的数学期 望的概念现引进r.v.X表示学生得分，则X有分布律二二.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 1.定义定义 若XPX=xk=pk, k=1,2, 1kkkpx. )

50、(1kkkxXPxXE 绝对收敛，则称该和式为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。记为E(X)或EX ，即 2.定理与推论定理与推论 定理定理1 若 XPX=xk=pk, k=1,2, 则Y=g(X)的期望.)()()(1kkkpxgXgEYE推论推论 若 (X, Y) PX=xi ,Y=yj,= pij, i, j=1, 2, , 则Z= g(X，Y)的期望.),(),()(11ijijijpyxgYXgEZE三三.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望1.离散化分析离散化分析 设Xf(x), x, 现在a, b上考虑r.v. X的期望： E*(X)。把a, b等分成n个小区间，

51、插入分点：a=x0 x1 xn=b,其中xi= xi xi-1=(ba)/n, i=1, 2, , n，则.)()(11ixxiiixxfdxxfxXxPii于是X落在(xi1, xi上的概率可认为是X集中在点xi处的概率。故baniiiinniiiidxxxfxxfxXExxfxXE.)()(lim)(,)()(1*1*从而babadxxxfdxxxfXE.)()(lim)(2.定义定义 若Xf(x), x, dxxxf)(.)()(dxxxfXE 绝对收敛，则称其为连续型r.v. X的数学期望。即四四 数学期望的性质数学期望的性质3 定理与定理与推论推论 定理定理2 若Xf(x), x,

52、则Y=g(X)的期望.)()()()(dxxfxgXgEYE推论推论 若(X, Y) f (x, y), x, y0,DY0，则DYDX)Y,Xcov(XY 称为X与Y的相关系数相关系数. (5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2cov(X, Y). 若XY=0，则称X与与Y不相关不相关，否则称X与Y相关。DX)X(EXX* 称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.Cov(X*, Y*) 称为X与Y的标准化协方差，易知).Y,Xcov()YX(EDYDX)Y,Xcov(*XY 引理引理 对于r.v.X, Y, 有E(XY)2E(X2)E(Y2). 0)X(E)Y(E4)XY(E 4,

53、0)X(E)XY(tE2)Y(Et)tYX(E) t (Q2222222 证 即E(XY)2E(X2)E(Y2). 该不等式称为柯西柯西(Cauchy)不等式不等式. 2.相关系数的性质相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使PX= aY+b=1； (3) X与Y不相关 cov(X, Y)=0; (4) X与Y独立，则X与Y不相关，反之不然。证证 (1)由引理知. 1)Y(D)X(D)Y(E)X(E| )YX(E|*2*2*XY (2) “” 若|XY|=1，则由引理知：判别式);()()()(,)()(. 1, 1000*0*YEYDXDtXEbYDXD

54、tabaYXPYtXP其中即这说明. 0)()()(, 0)()(4)( 4*0*2*0*002*2*2*YtXDYtXEtQRtYEXEYXE使故存在.100)(*0*0即得由 YtXPtQ（3）、（4）显然例例 设(X, Y)在D=(X, Y)：x2+y21上服从均匀分布，则X与Y不相关，但不是相互独立的。, 0)(, 0)(, 0, 1,1),(),(22111122YEdxxdyXEyxyxfYXyy同理其他解.,. 0),cov(, 0)(111122不相关这说明又YXYXdyyxdxXYExx其它其它,0, 11,12)(,0, 11,12)(22yyyfxxxfYX.),0()0

55、(41)0,0()0,0(),(2不相互独立与的连续点对于YXfffyxfYX三三.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有.)X(D1| )X(EX|P2 这就是著名的切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式。不等式。 它有以下几种等价的形式：.k11k|X|Pk1k|X|P22 或记2=D(X), =E(X), 则对k0, 有;)X(D| )X(EX|P2 4.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵l矩矩l协方差矩阵协方差矩阵4.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一一. 矩矩1. K阶原点矩阶原点矩 k=E(Xk), k=1, 2, 而E(|X|k)称为X的K

56、阶绝对原点矩；2. K阶中心矩阶中心矩 k=EXE(X)k, k=1, 2, 而E|XE(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；易知 E(X)= 1,D(X)= 2.3. K+l阶阶混合混合原点矩原点矩 E(Xk Yl), k, l=0, 1, 2, ；4. K+l阶阶混合混合中心矩中心矩 EXE(X)kYE(Y)l, k, l=0, 1, 2, ；易知 cov(X, Y)=EXE(X)YE(Y)是1+1阶混合中心矩阶混合中心矩。 可见矩对于随机变量而言是一般的数字特征，而数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。二. 协方差矩阵协方差矩阵1.定义定义 设X1， , Xn为n个r.v., 记cij=

57、cov(Xi, Xj),I, j=1, 2, , n. 则称由cij组成的矩阵为r.v. X1， , Xn的协方差矩阵C。即2.协方差矩阵的性质协方差矩阵的性质 nn2n1nn22221n11211nnijc.cc.c.ccc.cc)c(C,),(1nXXXCEXXEXXEDXEXEXEXn)(,),(1(1) C=C, 其中C为C的转置;(2) C是非负定矩阵非负定矩阵，即对任意n维实向量 =(1, , n).有 C0.证：(1)显然； (2) C = E(X)(X) =E (X )(X ) =E( (X )( (X ) 0，其中X=(X1, ,Xn), =(1, ,n), i=Xi 。则设

58、例),(N)X,X(122212121 ),1(|C|,C2222122212121 ).,(),(, ),(, ),(),()(21exp|21),(21212112/ 121CNXXXxxxxCxCxxf可记为其中.,),(),(,),(),()(21exp|)2(1)(),(),(,11112/12/1维正态分布服从称均值向量的为其中则若一般地nXXXXxxxxCxCxfCNXXXnnnnnX =(X1，X2)的概率密度为.),(N)Y,X(2XY222121 则设例 dxdyyxfyxEYYEXXEytxs),()()(,212211则令先做变量代换证212v22t211/)ts(vtst2s)1(21221dve)t1v(dtte2dsdtste12222222 令故 XY=. 可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立独立的充分必要条件是X与Y不相关不相关。 另外，由协方差矩阵可以证明：相互独立正态随机变相互独立正态随机变量的线性组合还是正态随机变量量的线性组合还是正态随机变量。即若X1，Xn相互独立，且).,(NX2in1i2in1iii