数字信号的最佳接收(8.1)

1、1 12 23 3 一、引言一、引言 一个通信系统的质量优劣在很大程度上取决于一个通信系统的质量优劣在很大程度上取决于接收系统的性接收系统的性能能。影响信息可靠传输的不利因素将直接作用到接收端，对信号。影响信息可靠传输的不利因素将直接作用到接收端，对信号接收产生影响。因此就涉及到接收产生影响。因此就涉及到最佳接收最佳接收或或信号接收最佳化信号接收最佳化的问题。的问题。 最佳接收理论，是在某个准则意义下的一个相对概念，是相最佳接收理论，是在某个准则意义下的一个相对概念，是相对的，而不是绝对的。对的，而不是绝对的。 最佳接收理论又称为信号检测理论，它涉及到的主要问题包最佳接收理论又称为信号检测理论

2、，它涉及到的主要问题包括两个方面括两个方面：（：（1 1）从噪声中判决有用信号是否出现；（）从噪声中判决有用信号是否出现；（2 2）从噪）从噪声中测量有用信号的参数。声中测量有用信号的参数。 数字通信中的统计判决问题是针对第一个问题，即数字通信中的统计判决问题是针对第一个问题，即假设检验假设检验问题问题，因此又称数字信号最佳接收。而后一问题是，因此又称数字信号最佳接收。而后一问题是参量估值问题参量估值问题。4 4 二、二、 统计描述与最佳接收准则统计描述与最佳接收准则 数字信号的接收是一个统计判决的问题。数字信号的接收是一个统计判决的问题。原因：一方面，哪个信号被发送，对接收方来说是一无所知的

3、。原因：一方面，哪个信号被发送，对接收方来说是一无所知的。 另一方面，即使预知某一信号被发送了，但由于信号在传另一方面，即使预知某一信号被发送了，但由于信号在传输过程中可能发生各种畸变和混入各种噪声，也会使接收方对收输过程中可能发生各种畸变和混入各种噪声，也会使接收方对收到的信号产生怀疑。到的信号产生怀疑。 但是从概率论的观点看，任何随机因素总是遵循某种统计但是从概率论的观点看，任何随机因素总是遵循某种统计规律性的。因此我们可以从已掌握接收波形的统计资料，利用统规律性的。因此我们可以从已掌握接收波形的统计资料，利用统计的方法，即统计判决法来获得满意的接收效果。计的方法，即统计判决法来获得满意的

4、接收效果。5 5 0 0T TS S期间，期间，k k个高斯噪声采样值的联合概率密度函数个高斯噪声采样值的联合概率密度函数 ( (* *) )ISnXR判决规则+消消息息空空间间信信号号空空间间噪噪声声空空间间观观测测空空间间判判决决空空间间x xy yr rkiinknkknnfnfnfnnnfnf122212121exp21)().()(),.,()(6 6 高斯均值为零，噪声统计平均功率高斯均值为零，噪声统计平均功率 对带限信号对带限信号S(t)S(t)，若截止频率为若截止频率为f fH H，则则f fS S = 2f = 2fH H，噪声平均功率噪声平均功率 令令 代入（代入（* *）

5、式得：）式得：2nkiiSHkiinTfnkN12120211Hft21dttnTtnTNSTSkiiS02120)(11SSTknTnHkndttnndttnfnf020022)(1exp21)(22exp21)(7 7 当发送信号为当发送信号为S Si i(t)(t)，i i1 1，2 2，,m,m，时，接收信号时，接收信号 y(t) = S i(t)+ n(t) 可得可得y(t)y(t)的条件概率密度函数为：的条件概率密度函数为： 其中其中 i i1 1，2 2，,m,m。 n n0 0= =n n2 2/ /f fH H为单位频率上的噪声功率，即噪声功率谱密度。为单位频率上的噪声功率，

6、即噪声功率谱密度。 可以证明，只要知道了发送信号可以证明，只要知道了发送信号s si i的先验概率分布的先验概率分布P(s)P(s)和和出现信号出现信号s si i的条件下的的条件下的y y的概率密度，则数字信号在一定判决准的概率密度，则数字信号在一定判决准则下可以得到最佳接收。则下可以得到最佳接收。STiknSidttstynyf020)()(1exp)2(1)(8 8 ：在数字通信中，最直观、最合理的准则是：在数字通信中，最直观、最合理的准则是“最小错误概率最小错误概率”。 对二进制信号，设在一个码元周期内：对二进制信号，设在一个码元周期内：S S1 1(t)=a(t)=a1 1，S S2

7、 2(t)=a(t)=a2 2，则则 , , i= 1,2i= 1,2SiTiknSdtatxnxf020)(1exp21)(f fS S1 1( (x x) )f fS S2 2( (x x) )V VT Ta a1 1a a2 2x xy(t) - ai9 9 设发送设发送s s1 1和和s s2 2的先验概率分别为的先验概率分别为P(sP(s1 1) )、P(sP(s2 2) )若判决门限设为若判决门限设为V VT T 发发S S1 1判为判为S S2 2的概率的概率 发发S S2 2判为判为S S1 1的概率的概率 则总的错判的概率为：则总的错判的概率为： 求使求使P Pe e达到最小

8、的达到最小的V VT T，令令 理论上，求解上式，可获得理论上，求解上式，可获得 最佳的判决门限最佳的判决门限。 TVSSdxxfSP)()(112TVSSdxxfSP)()(221)()()()(122121SPSPSPSPPSSe0)()()()(, 02121TSTSTeVfSPVfSPVP得：1010 利用似然判决法，可不必求解利用似然判决法，可不必求解V VT T而获得最佳判决结果。而获得最佳判决结果。 称称 为为： 为为。 当当y yi i V VT T时，必有：时，必有： 由此可得另一判决准则：由此可得另一判决准则： 若若 ，判为，判为S S1 1 ，反之，判为反之，判为S S2

9、 2 每一观测值都可用上述准则来判决，该准则称为每一观测值都可用上述准则来判决，该准则称为。若若P(sP(s1 1)=P(s)=P(s2 2),),则上式变为：则上式变为： 即判决规则成为比较即判决规则成为比较f fs1s1(y)(y)及及f fs2s2(y)(y)哪个大就判为哪个，常称为哪个大就判为哪个，常称为，它是似然比准则的特例。，它是似然比准则的特例。)()(21xfxfSS，)()(21xfxfSS)()()()(1221spspyfyfSS)()()()(1221spspVfVfTSTS。；反之，判为则判为s2 s1, 1)()(21yfyfss11 11 2 2 还可根据联合概率

10、密度用下述准则来判决：还可根据联合概率密度用下述准则来判决： 由联合概率定理：由联合概率定理：P(P(s si i) )f fsisi(y)=P(y)(y)=P(y)f fy y( (s si i) ) 即：即： f fy y(s(s1 1)=P)=P(s(s1 1)f)fs1s1(y)/P(y) , (y)/P(y) , f fy y(s(s2 2)=P)=P(s(s2 2)f)fs2s2(y)/P(y)(y)/P(y) 得：得： f fy y(s(s1 1) ) f fy y(s(s2 2),),判为判为r1r1； f fy y(s(s1 1) bKT bKTS S 判为判为s s1 1

11、，否否则判为则判为s s2 2，比较完后立刻将积分器的积分值清除，故积分器实为比较完后立刻将积分器的积分值清除，故积分器实为积分清除器。比较器是在时刻积分清除器。比较器是在时刻t=Tt=T进行比较的，可以理解为抽样进行比较的，可以理解为抽样判决电路。判决电路。 （3 3）位同步信号位同步信号cp (t) cp (t) 由位同步器提取，位同步由位同步器提取，位同步器输入信号来自器输入信号来自y(t)y(t)或乘法器。或乘法器。 1616 设二进制设二进制FSKFSK信号最佳接收机的结构如图信号最佳接收机的结构如图, , 设信号先验等概设信号先验等概 其中其中: : s s1 1(t) = (t)

12、 = AsinAsin 1 1t, 0 t, 0 t t T ; T ; s s2 2(t) = (t) = AsinAsin 2 2t, 0 t, 0 t t T ; T ; 且且 2 2 = 4 = 4 / /T T， 1 1 =2 =2 2 2 画出图中画出图中a a，b b，c c和和d d中各点的波形。中各点的波形。 XX积分积分比较y(t)s1(t)s2(t)outputabcd1717 T2T3T0y(t)abcs1(t)s2(t)s2(t)d1818 最佳接收机可以按照最佳接收机可以按照“似然比准则似然比准则”或或“最大似然准则最大似然准则”构成。经构成。经证明可知，这样的接收

13、机都能达到证明可知，这样的接收机都能达到“最小差错概率最小差错概率”的极限。这个极的极限。这个极限有多少？限有多少？ 这个问题就是来确定最佳接收机的性能的问题。我们可以通过求系这个问题就是来确定最佳接收机的性能的问题。我们可以通过求系统总的误码率来确定。统总的误码率来确定。 即：即：P Pe e=P(s=P(s1 1)Q)Q1 1+P(s+P(s2 2)Q)Q2 2 其中，其中，Q Q1 1、Q Q2 2分别为发送分别为发送s s1 1、s s2 2的错误概率。的错误概率。1919 从二进制最佳接收性能的分析可知，误码率从二进制最佳接收性能的分析可知，误码率PePe与先验概率有关外，与先验概率

14、有关外，还与信号的能量及相关系数有关。还与信号的能量及相关系数有关。 令：令： 是一个高斯随机变量。是一个高斯随机变量。 求得其方差为：求得其方差为： 从而可以得到：从而可以得到： Tdttststn021)()()(TdttstsnD02210)()(2dttstssPsPdxeaPsPTaxs2201120221)()(21)()(ln2na 21)()(22其中2020 同样可得：同样可得： dttstssPsPdxeaPsPTaxs2201120212)()(21)()(ln2na 21) ()(22其中dttstssPsPdxesPdxesPPTaxaxe22011202221)()

15、(21)()(ln2na 2)(2)(2222其中于是有：2121 或者：或者： TsPsPTTsPsPTbzbzdttstsndttstsnbdttstsndttstsnxzdzesPdzesPPe02210)()(0221002210)()(022102221)()(212ln)()(21a- )()(212ln)()(21a-b 21)(21)(122122其中：2222 PePe与先验概率的关系：与先验概率的关系： 1 1）当）当 ，即即P(sP(s1 1)=0)=0而而P(sP(s2 2)=1)=1，或或P(sP(s2 2)=0)=0而而P(sP(s1 1)=1)=1时，时，PePe

16、=0=0，意味着接收端预先知道发送的是什么，故不会有错误发生。意味着接收端预先知道发送的是什么，故不会有错误发生。 2 2）当）当 即先验等概时，即先验等概时，PePe仅与两信号之差的能量及仅与两信号之差的能量及n n0 0有关。有关。 3 3）当）当 此时的此时的PePe将比先验等概时略小。将比先验等概时略小。 或0)()(21sPsP, 1)()(21sPsP, 1 . 010)()(21或sPsP2323 从二进制最佳接收性能的分析可知，误码率从二进制最佳接收性能的分析可知，误码率PePe与先验概率有关外，与先验概率有关外，还与信号的能量及相关系数有关。还与信号的能量及相关系数有关。 p

17、 pe e = Q(A) = Q(A) 令：令： 为为S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)的相关系数。的相关系数。 当信号当信号s s1 1(t)(t)与与s s2 2(t)(t)在在00，T Ts s 内等能量（内等能量（E E1 1=E=E2 2= =E Eb b) ) 则：则：STdttstsnA02210)()(210)1 (nEAbSTdttstsEE02121)()(102/2)1 (21 212nEerfcdzePeAz2424 1 1、分析、分析（1 1）当）当= -1= -1时，时，S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)信号波形相反，有利于判决。

18、信号波形相反，有利于判决。 = -1 = -1时最佳接受形式可简化为时最佳接受形式可简化为 判决准则为判决准则为r(KTr(KTS S) 0 ) 0 判为判为s s1 1，否则判为否则判为s s2 2（2 2）当）当越接近于越接近于1 1时，性能越差，此时时，性能越差，此时PePe1/21/2； 当当= 1= 1时，时， S S1 1(t)(t)和和S S2 2(t)(t)信号波形完全相同，接收端很难信号波形完全相同，接收端很难判决，完全没有根据来判决信号；判决，完全没有根据来判决信号；（3 3）当）当= 0= 0时，两信号正交，误码率比时，两信号正交，误码率比= -1= -1差，但比差，但比

19、= = 1 1好。好。（见课本（见课本P262P262及图及图8 87 7）y(t) s1（t） cp(t) 抽样判决抽样判决 积积 分分r(t)2525 2 2、2 2PSKPSK信号的最佳接收机信号的最佳接收机 因为可以从接收信号时提取相干载波，故每个码元内接收信因为可以从接收信号时提取相干载波，故每个码元内接收信号的相位是确知的，可认为号的相位是确知的，可认为2 2PSKPSK为确知信号。同理也可以认为为确知信号。同理也可以认为2 2ASKASK、2FSK2FSK为确知信号。为确知信号。对于对于2 2PSKPSK信号，信号，s s1 1(t) =(t) = cos cosC C(t)(t)，s s2 2(t) = -(t) = -coscosC C(t) (t) = = -1 -1 最佳接收机为最佳接收机为与与2 2PSKPSK相干接收机相干接收机 比较：比较： y(t) x(t) r(t) cos0(t) cp(t) 抽样判决 积 分载