第三章 时域分析法(3)稳定性及代数判据

1、控制工程基础控制工程基础第三章第三章 系统的系统的时间响应分析（时间响应分析（3）控制系统时域分析的控制系统时域分析的内容内容n3.1 时间响应及其组成n3.2 一阶系统的时间响应n3.3 二阶系统的时间响应n3.4 高阶系统的时间响应n3.5 系统稳定性的初步概念n3.6 Routh(劳斯)稳定判据n3.7 系统误差分析与计算 对控制系统的性能的基本要求是：稳定性、快速性、准确性。可见，稳定性是对系统性能的首要要求，因为不稳定的系统是不能正常工作的。分析系统的稳定性和使系统处于稳定的工作状态是自动控制的基本问题之一，那么什么样的系统是稳定的？如何判断一个系统是否稳定？这就是我们第五节和第六节

2、所要讨论的问题用时域分析法来研究系统稳定性问题。3.5 系统稳定性的初步概念一、稳定的定义一、稳定的定义二、稳定的充要条件二、稳定的充要条件一、稳定的定义一、稳定的定义举例：炮瞄雷达系统是一个位置随动系统，其输出即炮筒位置能跟随输入即飞机位置在广阔范围内任意变化。假设其控制部分采用液压控制，如图所示：可以看出，系统的稳定与否由过渡过程随着时间的推移是否逐渐衰减并趋于零来决定的，所以教材P164关于稳定的定义是这样叙述的：)()()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(mntxbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimimmimoononnon01110111)()(

3、)(asasasabsbsbsbsXsXSGnnnnmmmmio 二、稳定的充要条件二、稳定的充要条件仅指线性系统（包括小偏差下线性化系统）假设系统的微分方程为：则其传递函数为：00111 asasasannnn特征方程为：系统有n个特征根，其中n1个实根si， n2对共轭复根si+1,i+2;si+1,i+2=j为复根的实部nkkknkkdktktsnjjoteAeAtBtxkj2111)sin()()(dnnnjj 21根据前面所学知识，系统响应为：稳态项瞬态项由稳定性定义， 瞬态项 ，则 ，系统回到原平衡状态或新的平衡，该系统稳定。n下面通过讨论si和k的取值研究稳定条件1. 对于实指数

4、项有：t0)()(tBtxo)(0, 0testsii)(0, 0 tetkk 对于复指数项有：曲线衰减为复根的实部nkkknkkdktktsnjjoteAeAtBtxkj2111)sin()()(2. 反之，若 对照定义，此时系统不稳定。3. 当k中至少一个为0时，响应存在等幅振荡分量，此时临界稳定，这样的系统在实际工程中也是不稳定的。发散。发散，则ttskikiees, 0, 0n由以上讨论可知：1、仅当系统的全部特征根具有负实部时， 收敛，系统稳定；2、当系统至少存在一个正实根或实部为正的复根时， 发散，系统不稳定；3、若存在纯虚根（k 0）， 等幅振荡，系统不稳定。)(txo)(txo

5、)(txo通过以上讨论，我们可以得出这样的结论：系统稳定的充分必要条件为：系统的全部特征根具有负实部；或者闭环传递函数的极点全部在s平面左半平面。（P165）n闭环传函分母和外界输入无关；n传函分子与输入作用于系统的位置有关；n稳定性和传函分子即零点无关，仅与极点有关，说明稳定性系统本身固有的特性，由结构参数决定；n开环系统总是稳定的，仅对存在反馈的闭环系统才讨论稳定性。1、系统稳定性的初步鉴别（必要条件）n对于特征方程 式中所有系数均为实数，且an0，要使全部特征根都具有负实部，必要条件是特征方程的所有系数均大于0，即ai0(i=1,2,n)。00111asasasannnn根根根根或或实实

6、部部有有正正有有负负的的复复出出现现出出现现正正根根000 iiaaRouth稳定判据避开对特征方程根的直接求解，讨论特征根的分布。2、Routh判据A、方法：（1）列出系统闭环特征方程（2）列写Routh计算表00111asasasannnn1121432143217531642FEDDBBBBAAAAaaaaaaaannnnnnnnsns2Sn-3Sn-2Sn-1s1s0表中514123121111 nnnnnnnnnnaaaaaAaaaaaA31511221311111AAaaABAAaaABnnnn 这种过程进行到n+1行，第n+1行只有一个元素:a0B、判据充要条件若Routh表中左

7、端第一列各元素均为正，则系统特征方程式所有的根都具有负实部（位于复平面左侧），此时系统稳定。例1 设系统的特征方程为：试用Routh判据判断系统的稳定性。0611126234ssssC、根据Routh判据确定系统为不稳定，有以下几种情况：（1） Routh表第一列所有元素均不为0，但不全为正数，这时位于复平面右侧的特征根个数等于Routh表第一列元素符号改变的次数。05432234 ssss例2 设系统的特征方程为试用Routh判据判断系统的稳定性，若不稳定，指出不稳定的根的个数。（2）Routh表某一行第一列元素为0，其余不全为0。这样计算下一行时会出现 ，无法继续进行计算。 这时可用一个很

8、小的正数来代替0继续计算。 0上下符号相同说明存在成对的纯虚根，若第一列其它元素均为正，则系统临界稳定；0上下符号不同，系统不稳定，右根的个数由变号次数决定。例3 设系统的特征方程为试用Routh判据判断系统的稳定性，若不稳定，指出右根的个数。022)2(23sss0133) 1 (234ssss（3）Routh表中第k行的数据全为0，说明复平面内存在大小相等符号相反的根。可能是大小相等符号相反的实根、或成对的纯虚根、或对称于虚轴的两对共轭复根。a.利用k-1行的元素构成辅助方程；b.求辅助方程对s的导数，将其系数组成新行代替第k行数据；c.继续计算Routh表。01616201282) 1

9、(23456ssssss0502548242)2(2345sssss注：运用注：运用Routh判据时，为简化计算，可用一个判据时，为简化计算，可用一个整数乘或除一整行而不改变稳定性结论。整数乘或除一整行而不改变稳定性结论。例4 设系统的特征方程为试用Routh判据判断系统的稳定性，若不稳定，指出不稳定的根的个数。001) 11001aaasan、稳定条件：002)22100122aaaasasan、稳定条件：0003) 330123210012233aaaaaaaaasasasan、稳定条件为：D，当n4时，Routh判据可做如下简化例5，单位反馈系统的开环传递函数为试确定系统稳定的k值的范围

10、。) 125. 0)(11 . 0()(sssksGk一、系统的误差e(t)及偏差二、系统的稳态误差与稳态偏差三、与输入有关的稳态偏差四、系统结构对稳态偏差的影响五、与干扰有关的稳态偏差3.6系统稳态误差分析与计算)(t一、系统的误差及偏差n误差e(t) （输出端定义）)()()(txtxteoor)()()(1sXsXsEoor希望值实际输出n偏差 （输入端定义）)()()()()()()()()(sHsXsXsBsXsEtbtxtoiiiG(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)(tn误差与偏差的关系 )()()()(sXsXtxtxorooor不起调节作用）（此时应该有)(

11、0)(sEsE0)()()()()()()(sHsXsXsHsXsXsEorioi)()()()()()(sHsXsXsHsXsXiorori从而有，G(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)输出为希望值时，即输出偏离希望值时（一般情况）)()()()(sHsXsXsEoi)()()()(1sHsEsXsXori)()()()()(1sHsEsHsXsXii)()(1sHsE由于上述确定关系，一般用偏差代替误差进行分析。二、系统的稳态误差与稳态偏差)(limteetss系统稳态误差的定义为根据终值定理，系统的稳态误差稳态误差为：同理，系统的稳态偏差稳态偏差为：)(lim)(lim

12、10ssEteestss)(lim)(lim0ssEtstss三、与输入有关的稳态偏差)(lim0ssEs)()(11)()(sHsGsXsEiG(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-E(S)+B(S)(limttss)()()(11lim0sXsHsGsisn系统稳态偏差与两个因素有关1.系统结构（反映在 ， G(s)H(s)开环传函)2.输入信号Xi(s)n因此，对于稳定的控制系统，稳态性能一般根据阶跃、斜坡或抛物线输入所引起的稳态偏差来判别。本节研究的就是不能跟踪上述典型输入而引起的稳态偏差。)()(11sHsG 1、阶跃输入下的稳态偏差及位置无偏系数)()(11)()(11lim0sHs

13、GsHsGssSss：位置无偏系数，则令ppssSpKKsHsGK11)()(lim0：速度无偏系数，则令vvssSvKKsHssGK1)()(lim02、斜坡输入下的稳态偏差及速度无偏系数)()(1sHssG)()(11lim20sHsGssSss)()(11lim30sHsGssSss3、抛物线输入时的稳态偏差和加速度无偏系数：加速度无偏系数，则令aassSaKKsHsGsK1)()(lim20)()(12sHsGs若开环传函为：环节的个数：开环传函中串联积分：时间常数，系统开环增益iinmTKsTsTsTssssKsHsG:) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121四、

14、系统结构（开环传函）对稳态偏差的影响）系统系统型、型、型、型型、型、型、型分别称为分别称为，03210 1、0型系统0) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTsssKsHsGnmKsHsGKSp)()(lim00)()(lim0sHssGKSv0)()(lim20sHsGsKSan相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差X(t)无偏系数稳态偏差1(t)kp=K1/(1+k)tkv=01/ kv=(1/2)t2ka=01/ ka =0型系统没有积分环节存在，对阶跃输入的稳态偏差为一定值，与开环增益有关，K越大，稳态偏差越小，对阶跃信号系统是有差系统。2、型系统1) 1

15、() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGnm)()(lim0sHsGKSpKsHssGKSv)()(lim00)()(lim20sHsGsKSan相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差X(t)无偏系数稳态偏差1(t)Kp= 1/(1+ Kp)0tKv=K1/ Kv1/K(1/2)t2Ka=01/ Ka 型系统对阶跃输入是无差系统，斜坡输入的稳态偏差与开环增益成反比。3、型系统2) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21221sTsTsTssssKsHsGnm)()(lim0sHsGKSp)()(lim0sHssGKSvKsHsGsKSa)

16、()(lim20n相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差X(t)无偏系数稳态偏差1(t)Kp= 1/(1+ Kp)0tKv= 1/ Kv0(1/2)t2Ka= K1/ Ka 1/K型系统对阶跃信号和斜坡信号为无差系统，对抛物线输入是有差的，稳态偏差是有限值，与开环增益成反比。小结1）系统型别、输入形式和系统稳态偏差及静态无偏系数关系如下单位阶跃输入单位阶跃输入单位斜坡输入单位斜坡输入单位抛物线输单位抛物线输入入KpssKvssKass0k1/(1+k)000k1/k000k1/k2）由上表看出，当输入信号确定后，减小系统稳态偏差的措施是：（A）提高系统型别，增加开环传函中串联积分环节数；（B）增

17、大开环增益。由系统稳定性可知，采取上述措施，稳定性下降，因此调整参数和校正系统必须兼顾上述两方面性能指标。3）对于任意信号x(t)，可用泰勒级数展开为 2210221)0(! 21)0()0()(tataatxtxxtxavpsskakaka21014）对于单位负反馈系统，稳态误差等于稳态偏差。 对于非单位负反馈系统，有：)0()0()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim00010HHtsHssEsHssESsEteesstsssstss作用在被控对象上的扰动是使输出变化的主要扰动输入，称为主扰动。五、与干扰有关的稳态误差G1(s)Xo(s)Xi(s)H(s)-+G2

18、(s)N(S)+E(s)n令xi(t)=0E(s)N(s)H(s)+G2(s)G1(s)-1)(1)(212sNHGGHGsEN)()1(lim)(lim)(lim21200sNHGGHGsssEtsNstssNn结论：结论：1、系统对扰动作用的稳态偏差决定于扰动作用、系统对扰动作用的稳态偏差决定于扰动作用的形式、的形式、G1(s)中积分环节数和放大系数中积分环节数和放大系数K1，与与G2(s)、H(s)中积分环节数无关。中积分环节数无关。对于阶跃扰动，偏差为零的条件是扰动作用点对于阶跃扰动，偏差为零的条件是扰动作用点之前的前向回路至少含有一个积分环节；之前的前向回路至少含有一个积分环节；对于斜坡扰动，偏差为零的条件是扰动作用点对于斜坡扰动，偏差为零的条件是扰动作用点之前的前向回路至少含有两个积分环节；之前的前向回路至少含有两个积分环节；2、扰动引起的输出就是扰动引起的误差。扰动引起的输出就是扰动引起的误差。2112( )( )( )( )1NNEsGEsN sH sGG H 212( )( )1ONGXsN sGG H而例1，单位反馈系统的开环传递函数为输入信号为 ，其中A为常量， 弧/秒，试求系统的稳态误差。)