概率论与数理统计第七章习题课7

1、第七章第七章 参数估计参数估计习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点三、典型例题三、典型例题二、主要内容二、主要内容一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点最大似然估计最大似然估计.一个正态总体参数的区间估计一个正态总体参数的区间估计.2.难点难点显著性水平显著性水平 与置信区间与置信区间. 矩估计量矩估计量估计量的评选估计量的评选截尾样本的最截尾样本的最大似然估计大似然估计截尾寿命截尾寿命试验试验二、主要内容二、主要内容最大似然估最大似然估计量计量最大似然估计的性质最大似然估计的性质似然函数似然函数无偏性无偏性正态总正态总体均值体均值方差的方差的置信区置信区间与上间与上下限下限有效性有

2、效性置信区间和上下限置信区间和上下限求置信区间的求置信区间的步骤步骤相合性相合性矩估计量矩估计量 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩, ,用样本矩的连续用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数函数来估计总体矩的连续函数, ,这种估计法称这种估计法称为为矩估计法矩估计法.矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法:, 2, 1,klAll 令令,21的方程组的方程组个未知参数个未知参数这是一个包含这是一个包含kk .,21k 解出其中解出其中.,2121量量这个估计量称为矩估计这个估计量称为矩估计估计量估计量的的分别作为分别作为用方程组的解用方程组的解kk 最大似然估计量最大似然估计量)(,21

3、 Lxxxn选取使似然函数选取使似然函数时时得到样本值得到样本值,的估计值的估计值作为未知参数作为未知参数取得最大值的取得最大值的 ).;,(max);,(2121 nnxxxLxxxL 即即)(可能的取值范围可能的取值范围是是其中其中 ),(,2121nnxxxxxx 记为记为有关有关与样本值与样本值这样得到的这样得到的),(21nXXX , 的最大似然估计值的最大似然估计值参数参数 . 的最大似然估计量的最大似然估计量参数参数 最大似然估计的性质最大似然估计的性质.)()(,)();(, )(, )(的最大似然估计的最大似然估计是是则则计计的最大似然估的最大似然估中的参数中的参数形式已知形

4、式已知的概率密度函数的概率密度函数是是又设又设数数具有单值反函具有单值反函的函数的函数设设 uuufxfXUuuuu 似然函数似然函数属离散型属离散型设总体设总体 X. 1 ),;();,()(121niinxpxxxLL.)(称为样本似然函数称为样本似然函数 L属连续型属连续型设总体设总体 X. 2),;();,()(121 niinxfxxxLL.)(称为样本的似然函数称为样本的似然函数 L正态总体均值方差的置信区间与上下限正态总体均值方差的置信区间与上下限 . 1的置信区间的置信区间均值均值 单个正态总体单个正态总体 ,)1(2为已知为已知 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个

5、置信水平为 .2/ znX ,)2(2为未知为未知 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为 .)1(2/ ntnSX 12的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn . 22的置信区间的置信区间方差方差 , 未知未知 1的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为标准差标准差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn . 121的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,)1(2221均为已知均为已知和和 1 21的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .2221212/ n

6、nzYX 两个正态总体两个正态总体 ,)2(2221均为未知均为未知和和 1 21的近似置信区间的近似置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .2221212/ nSnSzYX ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其中其中 . 22221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 . , 21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 12221的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .)

7、1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间,),1( ntnSX 1的置信下限的置信下限的置信水平为的置信水平为 ).1( ntnSX 1的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 , )( , 2均为未知均为未知方差是方差是的均值是的均值是设正态总体设正态总体 X 12的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 ,)1()1(, 0212 nSn 12的单侧置信上限的单侧置信上限的置信水平为的置信水平为 .)1()1(2122 nSn 的置信区间是的置

8、信区间是的置信水平为的置信水平为则则为未知参数为未知参数其中其中的分布律为的分布律为布的总体布的总体分分它来自它来自的大样本的大样本设有一容量设有一容量 1 , 1, 0,)1();( ,)10(,501ppxpppxfXXnxx,24,2422 aacbbaacbb, 22/ zna 其中其中),2(22/ zXnb .2Xnc 分布的置信区间分布的置信区间)10( 无偏性无偏性的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若XXXXn,21 ,的分布中的待估参数的分布中的待估参数是包含在总体是包含在总体 X )(的取值范围的取值范围是是 . ,)( ,)(),(21的无偏估计量的无偏估计量是是则称

9、则称有有且对于任意且对于任意存在存在的数学期望的数学期望若估计量若估计量 EEXXXn有效性有效性 . , ,212121有效有效较较则认为则认为更密集更密集的附近较的附近较的观察值在真值的观察值在真值相同的情况下相同的情况下在样本容量在样本容量如果如果和和的两个无偏估计量的两个无偏估计量比较参数比较参数 n 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.),()( ,),(),(212121222111有效有效较较则称则称若有若有的无偏估计量的无偏估计量都是都是与与设设 DDXXXXXXnn

10、相合性相合性. ,),(,),(2121的相合估计量的相合估计量为为则称则称依概率收敛于依概率收敛于时时当当若对于任意若对于任意的估计量的估计量为参数为参数若若 nnXXXnXXX 置信区间和置信上限、置信下限置信区间和置信上限、置信下限,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX满足满足和和确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值数数含有一个未知参含有一个未知参的分布函数的分布函数设总体设总体.1 ,1 ,1),(为置信水平为置信水平上限上限区间的置信下限和置信区间的置信下限和置信的双

11、侧置信的双侧置信分别称为置信水平为分别称为置信水平为和和区间区间的置信的置信的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义,1, ),(, ,1)(0 2121 PXXXXXXnn满足满足对于任意对于任意确定的统计量确定的统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值.1 ,1) ,(信下限信下限的单侧置的单侧置的置信水平为的置信水平为称为称为侧置信区间侧置信区间的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 ,1 ),( 21 PXXXn满足满足意意对于任对于任又如果统计量又如果统计量.1 , 1 ), (信上限信上限的单侧置的单侧置的置

12、信水平为的置信水平为称为称为侧置信区间侧置信区间的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤. )( ,);,(:, )1(2121 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使定出两个常数定出两个常数对于给定的置信水平对于给定的置信水平.1),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为

13、就是就是那么那么都是统计量都是统计量其中其中的不等式的不等式得到等价得到等价若能从若能从 nnnXXXXXXbXXXZa截尾寿命试验截尾寿命试验1.定时截尾寿命试验定时截尾寿命试验. , , , , ,0 , , , 0 210210称为定时截尾样本称为定时截尾样本所得的样本所得的样本是一个随机变量是一个随机变量此时此时它们的失效时间分别为它们的失效时间分别为个产品失效个产品失效如试验截止时共有如试验截止时共有停止停止间间截尾时截尾时试验进行到事先规定的试验进行到事先规定的同时投入试验同时投入试验时时个产品在时间个产品在时间假设将随机抽取的假设将随机抽取的mmtttmttttmttn 2.定数

14、截尾寿命试验定数截尾寿命试验. , , , , ,0 , ) , ( , 0 2121为定数截尾样本为定数截尾样本称称所得的样本所得的样本个产品的失效时间个产品的失效时间是第是第这里这里时间分别为时间分别为个产品的失效个产品的失效产品失效时停止产品失效时停止定的定的是事先规是事先规个个试验进行到有试验进行到有同时投入试验同时投入试验时时个产品在时间个产品在时间假设将随机抽取的假设将随机抽取的mmmtttmttttmnmmmtn 截尾样本的最大似然估计截尾样本的最大似然估计1. 定数截尾样本的最大似然估计定数截尾样本的最大似然估计设有设有n个产品投入定数截尾试验个产品投入定数截尾试验, 截尾数为

15、截尾数为m,得定数截尾样本得定数截尾样本 ,0 21mttt 取似然函数为取似然函数为.e1)()(121mmtmntttmL 的最大似然估计值为的最大似然估计值为得到得到 .)(mtsm 2. 定时截尾样本的最大似然估计定时截尾样本的最大似然估计设定时截尾样本设定时截尾样本 ,0 021ttttm ) (0是截尾时间是截尾时间其中其中t得似然函数为得似然函数为.e1)()(1021tmntttmmL 的最大似然估计值为的最大似然估计值为 .)(0mts 三、典型例题三、典型例题解解. , )10(,21的无偏估计量的无偏估计量并验证它是达到方差界并验证它是达到方差界的最大似然估计量的最大似然

16、估计量求参数求参数分布的一个样本分布的一个样本的的是来自参数为是来自参数为设设pppXXXn ,1, 0,)1();(1 xpppxfxx);()(1pxfpLnii ,)1(11 niiniixnxpp )(lnpL),1ln(ln11pxnpxniinii 例例1 ppLd)(lnd,111pxnpxniinii , 0d)(lnd ppL由由,)1( 11 niiniixnpxp得得 的最大似然估计值为的最大似然估计值为故参数故参数 p,11 niixnp 的最大似然估计量为的最大似然估计量为参数参数 p,11XXnpnii )()(XEpE niiXnE11,)(11pXEnnii .

17、 的无偏估计量的无偏估计量是是所以所以pp, 1, 0,)1();( 1 xpppxfxx又因为又因为),1ln()1(ln);(lnpxpxpxf ppxf);(ln,11pxpx 2);(lnppxfE 1 ,012)1(11xxxpppxpxpppp 221)1()1(1,)1(1pp 都满足不等式都满足不等式的任何一个无偏估计量的任何一个无偏估计量的参数的参数因为因为 ),( );( 21nXXXpppxf,)1();(ln)(2nppppxfEnpD 的无偏估计量的无偏估计量对于参数对于参数 p,11 niiXnXp niiXnDpD11)( niiXDn12)(1)1(12ppnn ),1(1ppn . 偏估计量偏估计量的无的无的达到方差界的达到方差界是总体分布参数是总体分布参数故故pXp 解解?)05. 0( ,0025. 0 ,7 .12 ,16,0.01, , ),( 22 问