CHAPTER02-平面问题有限元02-本科生2015春季

1、有限元方法 第2章12.2.4 基于最小势能原理的有限元平基于最小势能原理的有限元平衡方程衡方程 将已经得到的用节点位移表示的应力、应变以及位移，代入最小势能原理：1111111 21 2 1 2eeeTTTpAASNNTTTeeeeeAANTeeANNNTfTTTeeeeeeeeeeDtdxdyFu tdxdyTu tdsuBD B u tdxdyFN u tdxdyTN u tdsukupupu 有限元方法 第2章2 单元的刚度矩阵：单元的刚度矩阵： 体积力等效节点载荷列阵：体积力等效节点载荷列阵： 表面分布力等效节点载荷列阵：表面分布力等效节点载荷列阵： eTeAkBD B tdxdy

2、efTeApNF tdxdy eTTepNT tds有限元方法 第2章3 注意，此时势能为节点位移的函数注意，此时势能为节点位移的函数 进一步有进一步有 得到有限元平衡方程为得到有限元平衡方程为 ()eu 0eu111NNNfTeeeeeeekupp K UP有限元方法 第2章4(1)等效节点力概念的解释等效节点力概念的解释 外力做功外力做功= 理解为假想的作用在节点上的力，理解为假想的作用在节点上的力， 其效果其效果是做功的大小不变，是做功的大小不变， 所以称为等效节点载所以称为等效节点载荷。荷。 外载荷都简化为作用在节点上的集中力。外载荷都简化为作用在节点上的集中力。 等效为等效为 1 N

3、TfTeeeAFu tdxdypu有限元方法 第2章5(2) 单元刚度矩阵的力学含义单元刚度矩阵的力学含义 一个单元的平衡方程为：111112131415161121222324252622313233343536224142434445463351525354555633616263646566xyxyxypkkkkkkupkkkkkkvpkkkkkkupkkkkkkvpkkkkkkupkkkkkkv有限元方法 第2章6 如果该单元产生的位移为：如果该单元产生的位移为：1121;.0uvu1111213141516111212223242526213132333435363141414243

4、4445465151525354555661616263646566100000 xyxpkkkkkkkpkkkkkkkpkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 2233yxyppp有限元方法 第2章7 这给出了刚矩阵各元素的力学意义。这给出了刚矩阵各元素的力学意义。 由于产生这样位移的载荷应该平衡，由于产生这样位移的载荷应该平衡， 于是于是进一步有：进一步有： 这是刚度矩阵各列元素的性质这是刚度矩阵各列元素的性质。11315121416100kkkkkk有限元方法 第2章8(3) 关于刚度矩阵的对称性关于刚度矩阵的对称性 由于弹性矩阵D对称， 因此刚度矩阵必然是对称的。 e

5、TeAkBD B tdxdy有限元方法 第2章9(4) 刚度矩阵的奇异性刚度矩阵的奇异性 外力下平衡的单元可以有任意的刚体位移，外力下平衡的单元可以有任意的刚体位移， 从而解不唯一。因此要想真正给出解答，从而解不唯一。因此要想真正给出解答，必须将位移边界约束条件反映到平衡方程必须将位移边界约束条件反映到平衡方程里。里。 在数学上表现刚度阵行列式值为零。在数学上表现刚度阵行列式值为零。0ek 有限元方法 第2章102.2.5 等效节点载荷等效节点载荷 equivalent node load vector（1） 体积力体积力 body force 在如果只有重力tdxdyfNpTAfee0 fg

6、0000000eTijkfejikANNNptdxdyNNNg 0101301feA gp 有限元方法 第2章11（2）分布力）分布力 distribution pressure 0pT 000000000000000000022sTijkTejiktaijkjikTNNNpptdsNNNNNNptdyNNNpatpat 有限元方法 第2章12有限元方法 第2章12第第2章章 作业作业77 三角形单元分布外力沿边长为线性分布，三角形单元分布外力沿边长为线性分布，请给出等效节点力。单元的节点坐标请自请给出等效节点力。单元的节点坐标请自行给定，行给定，s为由为由j到单元到单元i-j边上任意一点边上

7、任意一点m的的长度。长度。( )00p yqsTm有限元方法 第2章132.2.6 整体刚度矩阵的合成整体刚度矩阵的合成 The global stiffness matrix 有限元方法 第2章14关于矩阵分块：关于矩阵分块：the block matrix1112131421222324111231323334212241424344kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk1112112122kkkkk1314122324kkkkk 有限元方法 第2章15单元刚度矩阵和单元节点位移列单元刚度矩阵和单元节点位移列阵的由单元维数扩充为总体维数阵的由单元维数扩充为总体维数 (1)(1)(1)1

8、11213(1)(1)(1)(1)(1)(1)212223111213(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)313233212223(1)(1)(1)313233000000000 000000000000000000kkkkkkkkkkkkkkkkkkk (2)(2)(2)222325(2)(2)(2)222325(2)(2)(2)323335(2)(2)(2)(2)323335(2)(2)(2)525355(2)(2)(2)525355000 000000000 000 000000000 000kkkkkkkkkkkkkkkkkkk有限元方法 第2章16(3)(3)(3)222425

9、(3)(3)(3)222425(3)(3)(3)(3)424445(3)(3)(3)(3)(3)(3)424445525455(3)(3)(3)525455000 000000000 000 000000000 000kkkkkkkkkkkkkkkkkkk(4)(4)(4)333536(4)(4)(4)333536(4)(4)(4)(4)535556(4)(4)(4)636566(4)(4)5355(4)(4)(4)636566000 000000 000000 000 0000000000kkkkkkkkkkkkkkkkkk有限元方法 第2章17 上述矩阵中的各元素均为上述矩阵中的各元素均为

10、 ，0实际表示实际表示的是的是 将上述将上述4个单元的刚度矩阵相加，个单元的刚度矩阵相加， 即得到总即得到总体刚度矩阵。体刚度矩阵。 一个比较简洁的处理办法：一个比较简洁的处理办法：先给出一个整先给出一个整体刚度矩阵体刚度矩阵,里面没有元素，按照各个单元里面没有元素，按照各个单元节点总体编号节点总体编号,将其放在对应的位置中。所将其放在对应的位置中。所谓的谓的“对号入座对号入座”。这样便于进行编程处。这样便于进行编程处理。理。2 20000有限元方法 第2章18总体刚度矩阵的带状特性总体刚度矩阵的带状特性 有限元方法 第2章19 把半个斜带形区域中各行所具有的非零元把半个斜带形区域中各行所具有

11、的非零元素的最大个数叫做刚度矩阵的半带宽（包素的最大个数叫做刚度矩阵的半带宽（包括主对角元），用括主对角元），用B表示表示 B = 2 (D+1)。 D=最大号码差最大号码差有限元方法 第2章20带状问题的举例说明带状问题的举例说明 矩阵的最小带宽问题矩阵的最小带宽问题：注意两种不同排列方式的差异注意两种不同排列方式的差异软件中经常有带宽的最小化命软件中经常有带宽的最小化命令令单元编号不影响带宽特性，单元编号不影响带宽特性， 起起作用的是节点编号作用的是节点编号。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

12、 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 有限元方法 第2章21 在进行节点编号时，应该注意要尽量使同一单元在进行节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小，以便最大限度的相邻节点的号码差尽可能地小，以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效率。率。 比较这个两个节点方案的差异比较这个两个节点方案的差异 1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13 8 9 10 11 12 13 14 2 4 6 8 10 12 14 有限元方法 第2章22总体刚度矩阵的特点总

13、体刚度矩阵的特点 （1）对称性；）对称性； （2）稀疏性；）稀疏性； （3）带状；）带状； （4）奇异性。）奇异性。 关于奇异性的性质和上述单元刚度矩阵的关于奇异性的性质和上述单元刚度矩阵的含义是一致的含义是一致的, 因为现在得到的有限元总体因为现在得到的有限元总体平衡方程平衡方程, 并没有对结构的位移约束予以考并没有对结构的位移约束予以考虑。虑。有限元方法 第2章23有限元刚度矩阵的一维存储有限元刚度矩阵的一维存储有限元方法 第2章242.2.7 整体载荷列阵的合成整体载荷列阵的合成 将每个单元的列阵维数扩充，然后相加将每个单元的列阵维数扩充，然后相加 也是也是”对号入座对号入座”(1)1(

14、1)(1)21(1)(1)(1)32(1)3000ppppppp (1)2(2)2(1)3(2)(2)3(2)5(2)5000ppppppp(3)2(3)2(3)(3)4(3)(3)45(3)5000ppppppp(4)3(4)3(4)(4)5(4)6(4)5(4)6000ppppppp 有限元方法 第2章25(1)1(1)(2)(3)222(1)(2)(4)4333( )(3)14(2)(3)(4)555(4)6 iipppppppPpppppp 注意：所有的外载荷，全部等效只作用在节点上的节点载荷。注意：所有的外载荷，全部等效只作用在节点上的节点载荷。有限元方法 第2章262.1.5 边界

15、约束的处理边界约束的处理 对角元素乘以大数法对角元素乘以大数法 要施加的边界条件：要施加的边界条件：1111213141121222324223132333432414243444KKKKRuKKKKRvKKKKRuKKKKRv 1212,uu有限元方法 第2章27151151112131411112122232421521531323334333241424344410101010KKKKuKKKKKvRKKKKuKKKKKvR15112215111213141111010KuK vK uK vK1511511111111010KuKu有限元方法 第2章28 这一节给出了有限元方法的主要思想

16、，要求掌握：这一节给出了有限元方法的主要思想，要求掌握： 位移插值函数的意义位移插值函数的意义 单元刚度矩阵、单元等效载荷列阵单元刚度矩阵、单元等效载荷列阵 总体刚度矩阵、总体载荷列阵总体刚度矩阵、总体载荷列阵 边界条件施加边界条件施加 理解总体刚度矩阵带状含义理解总体刚度矩阵带状含义 理解理解RITZ方法和有限元的差异方法和有限元的差异 位移形式的区域，载荷的处理，位移形式的区域，载荷的处理， 边界的处理边界的处理有限元方法 第2章29第第2章章 作业作业8 (1) 单元节点位移和单元内任意一点位移之间单元节点位移和单元内任意一点位移之间的关系是什么？的关系是什么？(2) 说明形状函数矩阵说

17、明形状函数矩阵N的性质。的性质。(3)请说明单元刚度矩阵的近似性原因请说明单元刚度矩阵的近似性原因.(4)证明常应变单元发生刚体位移时证明常应变单元发生刚体位移时(平动平动),单单元内不产生应力元内不产生应力.有限元方法 第2章30第第2章章 作业作业9 9 对上图的平面结构由对上图的平面结构由4个三角形单元组成个三角形单元组成,请对各节点自行进行编号请对各节点自行进行编号,写出总体刚度矩写出总体刚度矩阵叠加后的形式（只用符号表示某位置是阵叠加后的形式（只用符号表示某位置是否有元素，不做具体计算）。否有元素，不做具体计算）。有限元方法 第2章31第第2章章 作业作业1010 正方形平面结构，沿

18、正方形平面结构，沿AB受受拉力拉力P。取取1/4结构进行分析，写结构进行分析，写出对应的边界条件。出对应的边界条件。如果如果AB间增加一个原间增加一个原始长度为始长度为AB的弹簧，的弹簧，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为a,则如则如何修改结构的总体刚度何修改结构的总体刚度矩阵？矩阵？有限元方法 第2章322.3 一个平面应力有限元计算举例一个平面应力有限元计算举例 有限元方法 第2章33法向位移法向位移 FEM 材料力学 3223322PlxxwEIll材料力学认为同一截面法向位移材料力学认为同一截面法向位移是一样，是一样， 和有限元结果基本一致和有限元结果基本一致有限元方法 第2章34 应力分布

19、 力作用点局部应力 沿高度的分布-并不是线性的 03-28有限元方法 第2章35有限元和材料力学计算结果对比(1) 位移位移 材料力学只有横向位移，且沿高度是一样的材料力学只有横向位移，且沿高度是一样的 (2) 应力应力材料力学沿高度没有正应力材料力学沿高度没有正应力水平方向的正应力线性分布。水平方向的正应力线性分布。(3)进一步的讨论：进一步的讨论：1）上述有限元和材料力学的结果，那个是更准确的？）上述有限元和材料力学的结果，那个是更准确的？2）是哪些因素导致了有限元和材料力学计算结果的差异？）是哪些因素导致了有限元和材料力学计算结果的差异？ 材料力学的假定：材料力学的假定： 没有法向应力、

20、平面假定、没有局部变形没有法向应力、平面假定、没有局部变形3) 当网格尺寸减小时当网格尺寸减小时, 插值的准确性提高了插值的准确性提高了, 结果应该更准结果应该更准确确.这是这是有限元的收敛性有限元的收敛性问题问题.有限元方法 第2章36网格尺寸对计算结果的影响网格尺寸对计算结果的影响333max33100 10200023.810 40033 210 1012PlwmmEI序号序号节点数目节点数目网格尺寸网格尺寸力作用点位移力作用点位移133200mm15.4mm2105100mm21.3mm337950mm23.7mm4212120mm24.7mm5824110mm25.0mm632481

21、5mm25.1mm材料力学的结果材料力学的结果有限元方法 第2章372.4 高精度三角形单元高精度三角形单元 二次二次6节点单元节点单元 为提高精度，单元内的位移采用完全为提高精度，单元内的位移采用完全2次多次多项式：项式： 6个待定参数个待定参数, 需要需要6个节点个节点 2212345622789101112uxyxyxyvxyxyxy有限元方法 第2章38( , ) (,)(1,2,3,4,5,6)iiix yx yuui221111111122222222222233333333422444444452255555556226666666111111xy x yxyuxy x yxyuxy x yxyuuxy x yxyuxy x yxyuxy x yxy 有限元方法 第2章39同样得到:123456123456123456123456uN uN uN uN uN uN uvN vN vN vN vN vN v euN u eeL uL N uB u eTeAkBD B tdxdy有限元方法 第2章40几点说明：几点说明：（1）在相邻单元的边界上，）在相邻单元的边界上， 位移依然是连位移依然是连续的。续的。（2）位移是）位移是2次函数，应变和应力是线性的。次函数，应变和应力是线性