齐次线性方程组ppt课件

1、第二节第二节 齐次线性方程组齐次线性方程组v齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组有非零解的条件v齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组有非零解的条件一、齐次线性方程组有非零解的条件v讨论齐次线性方程组讨论齐次线性方程组11 1122121 122221 12200 (1)0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxv若记若记v那么那么 齐次线性方程组可表示为齐次线性方程组可表示为 v Ax=0 (2)v其中矩阵其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵。称为齐次线性方程组的系数矩阵。 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1

2、2nxxxxv假设其系数矩阵的秩假设其系数矩阵的秩RA）= r 0，为了方，为了方便起见，不妨设便起见，不妨设v由于上面假设由于上面假设D0，即系数矩阵，即系数矩阵A的前的前r列列向列列向量线性无关，因此经过有限次初等行变换可得量线性无关，因此经过有限次初等行变换可得矩阵矩阵A的行最简形为的行最简形为 1112121222120rrrrrraaaaaaDaaa1,11,1,10010000rnr rr nccccB 由于由于A和和B的行向量组等价，于是的行向量组等价，于是1与如下的与如下的方程组同解：方程组同解：其中其中xr+1，xn可取任意实数，称为自由未知可取任意实数，称为自由未知量。量。

3、 11,111,11 (3)rrnnrr rrrnnxcxc xxcxc x由上面的讨论，我们可容易得到如下定理：由上面的讨论，我们可容易得到如下定理： 定理定理1 齐次线性方程组齐次线性方程组1），当它的系数矩阵），当它的系数矩阵的秩的秩r=n时，只有零解；当它的系数矩阵的秩时，只有零解；当它的系数矩阵的秩rn时，有无穷多个解。时，有无穷多个解。 我们还不难得到以下结论：齐次线性方程组总我们还不难得到以下结论：齐次线性方程组总有解；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是有解；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R（A）n；当齐次线性方程组中；当齐次线性方程组中mn，齐次线性，齐次线性方方程

4、组有非零解。程组有非零解。并可得到下面的推论并可得到下面的推论推论推论 n个变量个变量n个方程的齐次线性方程组有非零解个方程的齐次线性方程组有非零解的的充分必要条件是其系数行列式等于零。充分必要条件是其系数行列式等于零。v到现在为止，对于齐次线性方程组，我们已解到现在为止，对于齐次线性方程组，我们已解决了在本章开始时提出的三个问题中的前两个决了在本章开始时提出的三个问题中的前两个问题。当齐次线性方程组有无穷多个解时，如问题。当齐次线性方程组有无穷多个解时，如何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况进行讨论，即讨论第三个问题。进行讨论，即讨论第三个问题。

5、二、齐次线性方程组解的结构二、齐次线性方程组解的结构 若若x1=11，x2=21，xn=n1为齐次为齐次线性方程组线性方程组1的解，则称的解，则称 x=(11，21，n1) 为齐次线性方为齐次线性方 程组程组2的解向量。的解向量。 定理定理2 设设1，2为齐次线性方程组为齐次线性方程组2的两个解向量，则其线性组合的两个解向量，则其线性组合k11+k22也是也是齐次线性方程组齐次线性方程组2的解向量的解向量k1， k2为任为任意实数）。意实数）。 证明证明 这是因为这是因为Ak11+k22）= k1A1+ k2A2=0+0，故得证。，故得证。v由此结论可知，所有齐次线性方程组由此结论可知，所有齐

6、次线性方程组2的解的解向量的集合形成了一向量空间，此空间称为齐次向量的集合形成了一向量空间，此空间称为齐次线性方程组线性方程组2的解空间。而由此我们又想到，的解空间。而由此我们又想到，如果我们找到了此解空间的基，便能将齐次线性如果我们找到了此解空间的基，便能将齐次线性方程组方程组2的解向量一并表示出来，我们将齐的解向量一并表示出来，我们将齐次线性方程组次线性方程组2的解空间的基称为基础解系。的解空间的基称为基础解系。假定假定1，2，k为齐次线性方程组为齐次线性方程组2的的k个解向量，假设个解向量，假设（a） 1，2，k线性无关；线性无关；（b） 齐次线性方程组齐次线性方程组2的任意解向量是的任

7、意解向量是1，2，k的线性组合，的线性组合，则称则称1，2，k为齐次线性方程组为齐次线性方程组2的的一个基础解系。一个基础解系。v一个向量空间的基应该不是唯一的，则齐次线一个向量空间的基应该不是唯一的，则齐次线性方程组的基础解系也不是唯一的，但其所包性方程组的基础解系也不是唯一的，但其所包含的解向量的个数应该是相同的。下面我们将含的解向量的个数应该是相同的。下面我们将讨论如何求解齐次线性方程组的基础解系，亦讨论如何求解齐次线性方程组的基础解系，亦即最终实现用有限个解向量来表示齐次线性方即最终实现用有限个解向量来表示齐次线性方程组的无穷多个解向量。程组的无穷多个解向量。 v令令x=（x1，x2，

8、xn）是齐次线性方程组是齐次线性方程组1的任意解，由的任意解，由3式得：式得： 11,111,221,11,2211rrrrnnrr rrr rrrnnrrnnxcxcxc xxcxcxc xxxxxx1,11,21,1,2121 122100010001rrnr rr rrnrrnrrrnn rccccccxxxxxx1,11,21,1,212,100010001rrnr rr rrnn rcccccc以上结论说明，齐次线性方程组以上结论说明，齐次线性方程组1的任意解的任意解均为均为1，2，n-r的线性组合。的线性组合。 如果我们能说明如果我们能说明1，2，n-r是齐次线是齐次线性方程组性方

9、程组1的解，并且它们线性无关，那么的解，并且它们线性无关，那么1，2，n-r就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组1的的基础解系。基础解系。 但由但由1，2，n-r的取法这两的取法这两个条件是显然满足的。个条件是显然满足的。 我们将以上所得到的结论总结成以下定理：我们将以上所得到的结论总结成以下定理： 定理定理3 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组1的系数矩的系数矩阵的秩阵的秩r=n，它有唯一零解，此时它没有基础，它有唯一零解，此时它没有基础解系；如果齐次线性方程组解系；如果齐次线性方程组1的系数矩阵的系数矩阵的秩的秩rn，它有无穷多个解，此时它有基础解，它有无穷多个解，此时它有基础解系，其基

10、础解系包含系，其基础解系包含n-r个解向量，齐次线性个解向量，齐次线性方程组方程组1的任意解为其基础解系的线性组的任意解为其基础解系的线性组合。合。定理定理3也表明，基础解系的任意线性组合表达了也表明，基础解系的任意线性组合表达了齐次线性方程组齐次线性方程组1的所有解，由此有通解这的所有解，由此有通解这一概念。一概念。 如果如果1，2，n-r为齐次线性方程组为齐次线性方程组（1的基础解系，则其任意线性组合的基础解系，则其任意线性组合 x=k11+k22+kn-rn-r （k1，k2，kn-r为任意实数）为任意实数）称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组1的通解。的通解。求齐次线性方程组的基础解系

11、有以下步骤：求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤： 用初等行变换将齐次线性方程组用初等行变换将齐次线性方程组1的系数矩阵化的系数矩阵化为行最简形，以此得到齐次线性方程组为行最简形，以此得到齐次线性方程组1同同解的方程组，即得到解的方程组，即得到(3)的形式；的形式； 根据根据(3)的特殊形式写出其基础解系和通解。的特殊形式写出其基础解系和通解。v例例1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组v解解 对系数矩阵施行初等行变换成为行最简形：对系数矩阵施行初等行变换成为行最简形：1234123412342202220430 xxxxxxxxxxxx51023122142122012311430000Av于是得到与原方程组同解的方程组于是得到与原方程组同解的方程组1342343344523423xxxxxxxxxx v令令x3