圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

1、圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型x2y2例题、已知椭圆C：才+丁=1若直线1：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点

2、(A,B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线1过定点，并求出该定点的坐标。fy=kx+m解：设A(x,y),B(x,y)，由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，11223x2+4y2=12A=64m2k216(3+4k2)(m23)0，3+4k2m208mk4(m23)x+x=-,x-x=123+4k2123+4k2y-y=(kx+m)-(kx+m)=k2xx+mk(x+x)+m21 21212123+4k2以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且k-k=-1，ADBDyy12=1，yy+xx2(x+x)+4=0，x-2x-2121212123(

3、m24k2)4(m23)16mk+4=0，3+4k23+4k23+4k2整理得：7m2+16mk+4k2=0,解得：m=-2k,m122k=一-，且满足3+4k2m20当m=-2k时，l:y=k(x2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22当m=时，1:y=k(x7)，直线过定点(7,0)2综上可知，直线1过定点，定点坐标为(歹，。).方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点p做相互垂直的直x(a2b2)y(a2b2)线交圆锥曲线于AB,则AB必过定点(t，么)。(参考百度文库文章：圆锥曲线的弦a2+b2a2+b2对定点张直角的一组性质”)模型拓展：本题还可

4、以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件(如kk二定APBP值，k+k=定值)，直线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)。APBP此模型解题步骤：Stepl：设AB直线y二kx+m，联立曲线方程得根与系数关系，A求出参数范围；Step2：由AP与BP关系(如kk=-1)，得一次函数k二f(m)或者m二f(k)；APBPStep3：将k二f(m)或者m二f(k)代入y=kx+m，得y二k(x一x)+y。定定类型题训练练习1：过抛物线M:y2二2px上一点P(1,2)作倾斜角互补的直线PA与PB,交M于A、B两点,求证：直线AB过定点。(注：本题结论也适用于抛

5、物线与双曲线)练习2：过抛物线M:y2二4x的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。练习3：过2x2-y2二1上的点作动弦AB、AC且kABkAc-3证明BC恒过定点。练习:4：设A、B是轨迹C:y2=2px(P0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角兀分别为和卩，当匕卩变化且a+卩二丁时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。4练习5：已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(I) 求动圆圆心的轨迹C的方程；(II) 已知点B(-1,O),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是ZPBQ的角平分线，证明直线l过定点

6、.练习6：已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点，且满足IPCI-1BC1=PB-CB(1) 求点P的轨迹C对应的方程；(2) 已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD丄AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.【解】(1)设P(x,y)代入丨PCI-1BCI=PB-CB得0(*)h11221212.ADAE=(x1)(x1)+(y2)(y2)=xx(x+x)+1+yy2(y+y)+412121212121y2y2y2y2=才p(斗+如+y-y2(y+y)+544441212(y-y)2(y+y)22y-v2()_5=121212+y-y2(y

7、+y)+5164122T=(4m)2一2(4t)+(4t)2(4m)+5=0化简得126t+5=4m2+8m1212十芳)+y1-打一2(儿+打5164即12一6t+9=4m2+8m+4即(t-3)=4(m+1)2.t-3=2(m+1)t=2m+5或t=-2m+1,代入(*)式检验均满足A0直线DE的方程为x=m(y+2)+5或x=m(y-2)+1直线DE过定点(5,-2).(定点(1，)不满足题意)过点A的动直线l练习7：已知点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线.C:y2=4x,O为坐标原点,交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.(I) 证明：OM-OP为定值；5(II

8、) 若APOM的面积为-，求向量OM与OP的夹角；乙(III) 证明直线PQ恒过一个定点.第22题y2y2解:(I)设点M(牛,y),P(牛,y),P、M、A三点共线,4142k，即亠=丄亠，DMy21y2y2才+1kAM即亠-y2+4，二儿儿=4y+y1212y2y2OM-OP=-芬+yy=5.4412(II) 设ZPOM=a,贝OMI-1OPI-cosa=5.S=OM|-1OP|-sina=5.由此可得tana=1.AROM2又ae(0,兀),.a=45。,故向量OM与OP勺夹角为15。.y2(III) 设点Q(，y),M、B、q三点共线，k=k,43BQQM即亠=y1y3,即A=丄，y2

9、+1y2y2y24y+yt+才芋31311分.(y+1)(y+y)=y24,即yy+y+y+4=0.31334yy=4,即y=-121y2即4(y+y)+yy+4=0.(*)31344-y+y+4=0,y3y3222 32341儿-yQk=亠=pQ2!y2+y3t423.直线PQ的方程是y-y二24y2(x-字)y2+y3423即(y-y)(y+y)=4X-y2,即y(y+y)-yy=4x.22322323由(*)式，yy=4(y+y)+4,代入上式，得(y+4)(y+y)=4(x1).232323由此可知直线PQ过定点E(1，-4).模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆x2+y2=r

10、2上一点P(x,y)处的切线方程为xy+yy=r2”，类比也有0000结论：“椭圆+二=1(ab0)上一点P(x,y)处的切线方程为圧+字=1”，过椭圆C:a2b200a2b2罕+y2二1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.4（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求ABM的面积。4”3xx【解】（1）设M（,t）（tGR）,A（Xy）,B（x,y）,则MA的方程为于+yy二13 1,12241点M在MA上=-X+ty=1同理可得二-X+ty=1311322由知AB的方程为X+ty=1,即x=3（1ty）易知右焦点F（3,0）满足式，故AB恒过椭圆C的

11、右焦点F（寿,0）X2把AB的方程xf3(1-y)代入W+y2=1，化简得7y-6y-1=0j班36+2816厶亠732J3丨AB1=0）到直线.设P为直线l上的点，过点P作抛物线c的两条切线PA,PB，其中A,B为切点.（I）求抛物线C的方程；仃I）当点P（x,y）为直线l上的定点时,求直线AB的方程;00（III）当点P在直线l上移动时,求|AF|-1BF|的最小值.【答案】（I）依题意，设抛物线C的方程为x2二4cy,由2结合c0，解得c=1.所以抛物线C的方程为x2二4y.（n）抛物线C的方程为x2二4儿即y=4x2，求导得儿2x设A匕”B（x2,y2）（其中人守,打号），则切线PA,

12、PB的斜率分别为2X，2x2，所以切线PA:y-y=X(X-x)，即y二Xx+y，即XX-2y-2y二012122111同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2二0因为切线PA,PB均过点P(x,y)，所以xx-2y-2y二0，xx-2y-2y二00010012002所以(x,y),(x,y)为方程xx2y2y二0的两组解.112200所以直线AB的方程为xx2y2y二0.00(III)由抛物线定义可知|AF|二y+1，|BF二y2+1，所以|af|.|BF=(y+1)(y+1)=yy+(y+y)+1121212fxx-2y-2y=0()联立方程S00，消去x整理得y2+2y-x2丿y+y

13、2=0x2=4y000由一元二次方程根与系数的关系可得y+y二x2-2y，yy二y21200120所以|af|-|BF=yy+(y+y)+1=y2+x2-2y+1121200八又点P(x,y)在直线l上，所以x二y+2，000029所以y2+x2-2y+1=2y2+2y+5=2y00000I1.+2所以当y0=-2时，|AF卜IBF取得最小值，且最小值为9.练习2：（2013年辽宁数学（理）如图,抛物线c1：x2=4y,C2：x2=-2py（p0），点M（x0,y0）在抛物线C上，过M作C的切线，切点为A,B（M为原点O时，A,B重合于O）匕=迈,切线MA.的210斜率为-2.求P的值；（11

14、）当M在C上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.（A,B重合于O时,中点为O）.2!冈対牠物线G：宀4yr.ir：；5-点（的幼側华为八土JL幼纯讪妳怦为4,所标为（一1冷）.竝切浅问恫方卅为y=-y（X卡I）十+1*1为隘M（I-）伽线M及撤澈Q匕FJ&山比b0)的右焦点F,且交椭圆C于a2b2A、B两点，点A、B在直线G:x二a2上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。70厂D(/、.XxE/法一：解：F(1,0),k二(a2,0)先探索，当m=0时，直线L丄ox轴，则ABED为矩形

15、，由对称性知,、.a2AE与BD相交于FK中点N，且N(,0)猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(,0)22o证明：设A(x,y),B(x,y),E(a2,y),D(a2,y)当m变化时首先AE过定点N222x=my+10(ta1)又K=,K=2_ana21en1a2-my2(y+y)-myy212L2=021而K-K=ANEN1-a2a2-1、(-my)221(这是！(y+y)-myy212122mb2a2-12mb2b2(1-a2)=-(-)-m_2a2+m2b2a2+m2b2(a2-1)(mb2-mb2)=0)a2+m2b2K=KA、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线ANEN

16、a2+1AE与BD相交于定点N(二,0)法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0,得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。x2例题、已知椭圆C：y+y2=1，若直线1:x=t(t2)与x轴交于点T，点P为直线1上异于点T的试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。方法1：点A2的坐标都知道，可以设直线PAPA2的方程，直线PA和椭圆交点是A(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线1:x=t(t2)上，相当于知道了

17、点P的横坐标了，由直线PA1PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系,通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2，就可以了，否则就不存在。解：设M(x,y)，N(x,y)，直线AM的斜率为k,则直线AM的方程为y=k(x+2)，由112211“fy=k(x+2)彳1消y整理得(1+4k2)x2+16kx+16k2-4=0Ix2+4y2=41212-8k2贝Ux=411+4k211-1+4k2i-2和x1是方程的两个根，-2x1=需1一2-8k24k、即点M的坐标为(4,1)，1+4k21+4k211妙2-2-4k同理，设直线A2N的斜率为k

18、2,则得点N的坐标为(尸,汀221+4k21+4k22y=k(t+2),y=k(t-2)p1p2kk2yyyy，-直线MN的方程为：1=21，tx-xx-x121xy-xy4x=-t2_又:t2，.02。tt33方法2：先猜想过定点，设弦N的方程，得出AM、AN方程，进而得出与交点Q、S,两坐标相减0.12如下：_设l:x=my+：3,联立椭圆方程，整理：MN_设M(x,y),N(x,y),得直线方程：1122l:y=y1(x2),l:y=y2(x2);A1Mx一2A2Nx一212若分别于l相较于Q、S：易得TQ(t,V(t-2),S(t,(t-2)x一2x一212yy=丄(t2)丄(t2)Q

19、sx2x212_整理-一4myy2+2(t寸3)(y+y2)+(寸3t4)(y一y2)(4+m2)y2+2、；3my一1=0;A求出范围;12(x2)(x+2)12韦达定理代入=1虬(3-4)+G；3t4)(yy)(x2)(x+2)4+m212_12显然，当t=冬3时，猜想成立。3方法总结:法2计算量相对较小细心的同学会发现这其实是上文切点弦恒过定点的一个特例而已因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法未知数更少，思路更明确。练习1：(10江苏)在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x9+y5=1的左右顶点为A,B，右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交

20、于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中miOy/OKvO.设动点P满足PF2PB2=4,求点P的轨迹设x1=2,x2=1，求点T的坐标故所求点P的轨述为苴线由所以点T的坐标为(7得3)g3J所以氐线；W;VxD点：*1七兰出I宜线M/V的方三点.过点V(jt2,兀)穂足练习2：已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、B(2,0)、C1*本小题主宴琴查求简单曲线的方程，考査直线与椭圆的方程等基咄知识，考査运算求解能力厂解：由(1)设点P仙/由Pt1-PB9)由题设知.査线4T的方程为y点眄.Q满足仔“告缶+3)我匀=1善A(p-申.从而貢线BN的方程为椭圆的右焦点F

21、任做一与坐标轴不平行的直线1与椭圆E交于M、N两点，AM与BN所在的直线交于点Q.孕则点魁伺确6鱒r講分冷年締帕戚诚).fi3,OkF(2.0.,则FF1=(x-2)1+/,PB1(x-3)2+/.=4t得(x-2)=+/-(x-3)J-y3=4,化简得-20m20m歸心因此”直线尿八必过文轴上的点(I必3),宵线月尸的方程为y=歹*百二】及Yi誹樺湖而貢嵋4.V的卉程掏ryi+l;及y：得=-?则点3i-()0-2Qm_加A帶EF芦班冷，则由嘿主整輕单及m0t碍附=2/1礦vst)+m21J+mP*a桂为M-1.过点。1人kZ代*(1) 求椭圆E的方程：(2) 是否存在这样直线m，使得点Q恒

22、在直线m上移动？若存在，求出直线m方程，若不存在，请说明理由.由根系数的关系，得x+x=,xx123+4k212直线AM的方程为：y=(x+2),即yx+21由直线AM的方程为：y=(x-2)，x-22由直线AM与直线BN的方程消去y，得2(xx-3x+x)22xx-3(x+x)+4xV*1C1CPCTCC121212122x+3x4(x+x)+2x41218(k2-3)-24k2+4x3+4k23+4k22解析：(1)设椭圆方程为mx2+my2二1(m0,n0),3将A(-2,0)、B(2,0)、C(1，2)代入椭圆E的方程，得4m=1,.11厂x2y219解得m=,n=7.椭圆E的方程+牙

23、=1m+n=143434(也可设标准方程，知a=2类似计分)(2)可知：将直线l:y=k(x-1)x2y2代入椭圆E的方程+2=1并整理.得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=043设直线l与椭圆E的交点M(x,y),N(x,y),1122一.1=4(k2-3)3+4k2k(x-1)=1(x+2)x+21k(x-1)(即y=2(x-2)x-2222(4k2+6)一+xI3+4k22丿=48k24k2+6一4+2x一+x23+4k223+4k2直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.故这样的直线存在模型四：动圆过定点问题动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角

24、”的新应用。J2例题1已知椭圆c:x2+竺=i(ab0)的离心率为牙，并且直线y=x+b是抛物线y2=4x的一a2b22条切线。(I)求椭圆的方程；(II)过点S(0，-3)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。解：(I)由消去y得：x2+(2b-4)x+b2=0、y2=4x因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切=(2b-4)2-4b2=0二b=1ca2-b21x2Te=，a2=b2+C2，.=，a=:2，故所求椭圆方程为二-+y2=1(II)当与Xa2a22214J2=(3)2解得F=

25、0y=1轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+3)2=(3)2x2+y2=1当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1，由产+(y+?即两圆相切于点(0，1)因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)事实上，点T(0,1)就是所求的点，证明如下。当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0,1)若直线L不垂直于x轴，可设直线L：y=kx-3y=kx-3消去y得:(18k2+9)x2-12kx-16=0x2+y2=1I212k记点A(x1,y1)、B(x,y),则v22x+x1218k2+9-16又因为TA=(x,y-1),TB=(x,y-1),2211xx=1218k

26、2+9所以TATB=xx+(y-1)(y-1)=xx+(kx-4)(kx-4)1 212121323(1z)b0)的离心率是.,A,A分别是椭圆C的左、右两个a2b2212顶点，点F是椭圆C的右焦点。点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足心+2AD11D2FD=2。(1) 求椭圆C的方程以及点D的坐标；(2) 过点D作x轴的垂线n，再作直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q。求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。解:(1)A(-a,0),A(a,0),F(c,0)，设D(x,0),12111ADi+2有+2，|ADx+ax-a又|FD1，.xc1

27、,.xc+1，于是+2c+1+ac+1anc+1(c+1+a)(c+1-a)，又.=na=J2c，a2c+1(c+1+;2c)(c+12c)2nc2-c=0，又c0,c=1,.a=七2b=1，椭圆C:+y2=1，且D(2,0)。乙厂y=kx+m(2)方法1：Q(2,2k+m)，设P(x,y)，由b0)的右焦点F与抛物线C:y24x的焦点重1 a2b222合，椭圆C与抛物线C在第一象限的交点为P，IPF1=5.圆C的圆心T是抛物线C上的动点，圆C1223323与y轴交于M,N两点，且IMN1=4.(1) 求椭圆C的方程；1(2) 证明:无论点T运动到何处，圆C恒经过椭圆C上一定点.31(1)解法1：抛物线C:y24x的焦点坐标为(1,0)，点F的坐标为(1,0).22椭圆C的左焦点F的坐标为F(-1,0)，抛物线C的准线方程为x=1.设点P