圆形磁场中的几个典型问题分析

1、圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错.常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明.一、最值问题的解题关键一一抓弦长1. 求最长时间的问题例1真空中半径为R=3X10-m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度vo=106m/s从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C/kg，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa的

2、夹角表示）最长运动时间多长？小结:本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动,但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大.2求最小面积的问题例2一带电质点的质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射人如图3所示第一象限的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力

3、忽略不计.小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1/4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径.上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长.二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如

4、甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点=的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。例3如图5所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在半径为R的圆形区域内加一与xoy平面垂直的匀强磁场.在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q(q>0)且初速为v0的带电粒子，不计重力.调节坐标原点O处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入x轴上方，现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向射出，则带电微粒的速度必须

5、满足什么条件？小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题.初速为叫的带电粒子。已知重力加速度大小为go3如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q(9二°)和图甲朋乙(1) 当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。求电场强度和

6、磁感应强度的大小和方向。(2) 调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率vO沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域?并求出符合条件的磁场区域的最小面积。答案3由題自中懦电也子从坐标原点。处i&r轴正方向逬入碍场后*最终沿圜形磁场区罐宵朋平直衽爲开隘场并继续沿k轴正方向运动J：可剜芾电锁粒所竟重力与电场力平配设电场强度大小为E由平僥采件確=漪二竺电场冇向沿卩轴王方向?蒂冃微也咗人礙场右，也匀連圖同运刃zL辰运动半止广匕设匀

7、禮瞪埼的飓長后强價大小苗陷由牛顿笫二定律潯磁场方冋垂亘于樂面问外（2）（6耸）设庄带电磁笈射英迸射入第那的芾电微宦的站速度頁同与x轴曉夹甬乩则删足由于帝电檢粒晕纬舟活占轴正方向這助，故豆应垂口于乂貯平is问外，带电撤粒在隘功內做半轻为y%連圆同拙翻*由于带电櫃眩的入騎方向不同，若辭充满纸面，日门所可应的运功的轨迹如图所示.询便战站骨电橫極巒场圻转后沿丁轴E方月洛勘0由圉可知.它柏必须从经门点忡匾运动的各回的最高点飞肓迦亂这祎磁境边畀上F点的坐标F&小応満足方程；斋=Rdui母1凯=爲dCOS0、r皿2丄播呵讪卑的力停ATt+严一血戸-R1-由莎中0<07#萌朵件可刘J?“r令的坤

8、度削入礙塚区诫的渤检的K-J!*Iva-J!1hi|为听來屉圾fra旳一侧脚边界一固此"符台翻自契爭的最“卜盟境的沁囲应是E1疋+3-丹沪=应丁网5.備十=疋翻交集那分（:田中阴是W耳分人由JL何去亲.QJ从耶！:傅閔肯宋忤的画塢的気T7茁只戈H三、边界交点问题的解题关键一抓轨迹方程例4如图7所示，在xoy平面内x>0区域中，有一半圆形匀强磁场区域，圆心为O,半径为R=0.10m，磁感应强度大小为B=0.5T,磁场方向垂直xoy平面向里.有一线状粒子源放在y轴左亠侧（图中未画出），并不断沿平行于x轴正方向释放出电荷量为.q=+1.6X10-i9C，初速度v0=1.6X106m/

9、s的粒子，粒子的质量为一m=1.0X10-26kg,不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：从y轴”任意位置（0,y）入射的粒子离开磁场时的坐标.点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点，是对初等数学的抽象运用，能较好的提高学生思维.四、周期性问题的解题关键一一寻找圆心角1.粒子周期性运动的问题例5如图9所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B.现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)从A点沿aA方向射出求：(1) 若方向向外的磁场范围足够大，离子

10、自A点射出后在两个磁场不断地飞进飞出，最后又返回A点，求返回A点的最短时间及对应的速度.(2) 若向外的磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆环之间的区域，上述粒子仍从A点沿QA方向射出且粒子仍能返回A点，求其返回A点的最短时间.2. 磁场发生周期性变化例6如图12所示，在地面上方的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置在两板之间有一匀强电场，场强按如图13所示规律变化(沿y轴方向为正方向)在两板正中间有一圆形匀强磁场区域，磁感应强度按图14所示规律变化,如果建立如图12所示的坐标系，在t=0时刻有一质量m=9.0X10-9kg、电荷量q=9.0X10-6C的带正电的小球，以

11、V0=1m/s的初速度沿y轴方向从O点射入，分析小球在磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的运动时间及离开时的位置坐标.£14小结：对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆，所以要充分利用圆的对称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性.五、磁场问题的规律前面分析的六个典型例题，其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四个共同点.(1) 物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动.(2) 物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解.(3) 数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量.(4) 解题关键相同：一是由

12、题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应圆心角关系；三是确定半径和周期，构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题.【同步练习】1.如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁:场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大“S05-量的带正电，电荷量为q,质量为m,速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）DA. 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C. 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁

13、场中通过的弧长越长，时间也越长D. 只要速度满足vqBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2.如图所示，长方形abed的长ad=0.6m,宽ab=0.3m，0、e分别是ad、be的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以0为圆心0d为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3x10-7kg、电荷量q=+2xl0-3C的带正电粒子以速度v=5x102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）CDA. 从0d边射入的粒子，出射点全部分布在0a边B. 从a0边射入的粒子，出射点全

14、部分布在ab边C. 从0d边射入的粒子，出射点分布在ab边D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3、一质量为喘、带电量为？的粒子以速度从0点沿卩轴正方向射入磁感强度为占的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过疋轴，速度方向与X轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。-试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从0点进入磁场区到达心点所经历的时间；"a*（3）点的坐标。"产匚'T#（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径泸r=7?cos30"=磁场区域最小半径2qBS=屛磁场区域最小面积T古1=一=

15、（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间，从a飞出磁场后做匀速直线运动tail30"sin30°=(3)t3mv0故b点的坐标为（疗,0）4、在xoy平面内有许多电子（质量为喘、电量为洛），从坐标0不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于“即平面向内、磁感强度为占的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于兀轴向兀正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。295. 如图所示，在坐标系xoy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a,0）,圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为

16、E,质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角化3Oo射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间toqvB=解：（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R,牛顿第二定律有R粒子自A点射出，由几何知识丘=虫（2）粒子从A点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为y】mv1所以在电场中

17、最高点的坐标为(a,遇)7=(3)粒子在磁场中做圆运动的周期屮粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从P点的出射方向与y轴平行，粒子由O到P所对应的圆心角为91=60°由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S=acos0q二粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间昭粒子由P点第2次进入磁场，由Q点射出，PO1QO3构成菱形，由几何知识可知Q点在x轴上，粒子由P到Q的偏向角为92=120°则q+包-貫T右二粒子先后在磁场中运动的总时间2粒子在场区之间做匀速运动的时间卩解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间（2+7T-羽）住*

18、2mv【答案】mv8=(1)卩(2)2浓/一VI<y<a+V地（亠+旦i；（3）；（4）轨迹如图。23【解析】（1）qBv=B=（2分）（1分）由题意可得粒子在磁场中的轨迹半径为r=a（1分）（2）所有粒子在电场中做类平抛运动（1分）从0点射出的沿x轴正向的粒子打在屏上最低点（1分）2maVi=a+v&=农+戸J（1分）从0点沿y轴正向射出的粒子打在屏上最高点2m（1分）（1分）所以粒子打在荧光屏上的范围为（1分）（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场时:jt=rrcosdO1=（2分）粒子进电场后做匀减速运动，在上升阶段有:（2分）（1分）（一应+所以在电场中最远坐标为

19、匚二三）（1分）因为粒子的轨迹半径与磁场的边界半径相等，粒子返回磁场后射入点和射出点与轨迹圆心及磁场的边界圆心的连线构成棱形。所以最后射出磁场的坐标为（2a,0）（2分）（4）可以加一个匀强磁场或者两个方向不同的匀强电场方向如图，大小与已知条件相同（2分）轨迹如图所示x=Fjy£r1/fr1Qx=2仁cA'J-/kJECf*6.如图所示的直角坐标系中，从直线x=-2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从A（-210,T0）点到C（-210,0）点区域内，连续分布着电量为+q、质

20、量为m的粒子。从某时刻起，A点到C点间的粒子依次连续以相同速度v0沿x轴正方向射入电场。从A点射入的粒子恰好从y轴上的A（0,-l0）点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。（2）求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半

21、径是多大？相应的磁感应强度B是多大？解析：（1）从A点射出的粒子，由A到A'的运动时间为T，根据运动轨迹和对称性可得:x轴方向绻二十（2分）y轴方向矶"x2（2分）（2分）解得:设到C点距离为处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x人一川®二丄（A;）3轴用时t，水平位移为Ax,则（1分）粒子从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向，则弘（2分）耳丄泸（好丄"解之得：（2分）1,即AC间y坐标为（n二1,2，3，.）（1分）7. 如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B=1T,方向

22、垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG(y=-10x2+x0.025，单位：m)和直线DH(y=x0.425，单位：m)构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量m=lxl0-6kg(重力不计)，电量大小为q=2x10-4C，速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间。(1) 求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；(2) 试证明这些粒子经过x轴时速度方向均与x轴垂直；(3) 通过计算说明这些粒子

23、会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。3分)设其从K点离开磁场，O1和并将丹二+x-0.025®y2二兀-0.4笳代入得&=瑟O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O1AO2K为菱形，离开磁场时速度垂直于O2K，即垂直于x轴，得证。(6分)(3) 设粒子在第四象限进入电场时的坐标为(x,y1)，离开电场时的坐标为(x,y2)，离开电场时速度为v2,在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2.有一得尺1=0.1m0分)(扮)因v2的方向与DH成450,且半径刚好为x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上，在此磁场中恰好经过四分之一圆周，并且刚好

24、到达H处，H点坐标为(0,0.425)。(3分8. 如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O在x轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B。虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E,方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为b2。b1，b2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m,电荷量为q(粒子重力不计)。求：(1) 粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。(2) 若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的

25、粒子从y轴出电场时的坐标。(3) 试证明：题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。（2分）（2分）由题意知粒子在磁场B中圆周运动半径与该磁场半径相同，（2分）（2分）（2）在电场中粒子做类平抛运动:¥（3分）（2分）（3）证明：设从O点入射的任一粒子进入B磁场时，速度方向与x轴成6角，粒子出B磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OOO2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO】平行。所以从Q点出磁场速度与O2Q垂直，即与x轴垂直，所以垂直进入MN边界。进（5分）入正交电磁场E、B2中都有5=-故做直线运动。9. 如图所示，

26、真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域1、1和两个直径为L的圆形磁场区域III、W。电场的场强大小均为E,区域I的场强方向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域II的边界相切；区域II的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好2mEL与区域W的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为，区域III的圆心坐标为（0,）、qL2磁场方向垂直于xOy平面向外；区域W的圆心坐标为（0,-）、磁场方向垂直于xOy平2<面向里。两个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子M、N,在外力约束下静止在坐标为（-3，-）、（-3，斗3）的两点。在x轴的正半轴（

27、坐标原点除外）放置一块足2224够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：（1）粒子离开电场I时的速度大小。（2）粒子M击中感光板的位置坐标。（3）粒子N在磁场中运动的时间。<或根据牛廉轴二览囲m弘L联宜求新、K唧回血泌洌毗型嗣由半烦第二定律珂日一肌孚壮知国对寻E点尸爺=寻（|同阳尼劝K5&半皆与魂城区城的李民阿撤阳在底圾U中遂闌m井之V临閘舷过岸点连人雎场IV.再运豹曲廿之一平订屮粮正方向离FW-君遞人电场II豉矣牡地迂功假设V曲期Ili垢官再17N$抽的出丘皈上醐何杞41苗巾W由时(1締谪力也甘-刼f2-

28、*X穿x色)'=+x*.<2并>斷Uilfi讹成L锤功柿谡如阳的也塢力向的沐|£!.-谅一娃取阳向柿IFIJIT产4设出电M肩沿仙方胡的也仍月中L_LQJL1聞一I.WlU斗=号M击中邹JL趟茁坐犀为jr-y+l-jrL-SL.fa坐铮为f2L<1>(J>Nft圆冏茁动愉執总半徑匀世堀IX拔的半耗棚抽.灯析诃诛£再从，点:雄人跌肪.由吒乩唔点"离菲臨情川蛊止昼描n魯肩从点斋开逼烷齐、it部姑轨谍加盟他场II佟肉工呵犬桌用z(1炉所如wiai吋繭的圃t训丰-iar：a刘Ll加；ci克扬中包妙的田期T恤0FUW亍起萱JMIII屮逗

29、型的时间=藹丁=黑巾4称t£押帖PflZffi毎111I隹勺时MlmTit號子在曲易中运话的时川"叮昔丿JlAa10. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度vo，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示，粒子的重力不计，试求：(1) 圆形匀强磁场区域的最小面积；(2) c点到b点的距离。一&11.如图甲所示，质量m=8.0xl0-25kg，电

30、荷量q=1.6xlO-i5C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为vQ=2.0x107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1T,若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(n=3.14)求:(1) 粒子从y轴穿过的范围。(2) 荧光屏上光斑的长度。（3）从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差。（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。0-爺R（2）X（1+爺）R（3）t=（正+0.5）x10-8S解析:设磁场中运