利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组

1、利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组一、问题描述在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。二、算法基本思想牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。下面我们具体讨论线性化过程：令：F(x)=f(x”f(x)2,XX1x2f(x)Xnn000二03-1)则非线性方程组(3-2)3-2)=0可写为向量形式3-3)F(x)=0F(x)=0成为向量函数。设C(k),x(k),X(k)是方程组(3-2)的一组近似解，把它的左端12

2、n在(x(k),x(k),x(k)处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部12n分，便得方程组(3-2)得近似方程组fC),x(k),x()+艺曾5呼)'，呼必x(k)=0dx1 12ndxjfC),x(k),x(k)+W辿竺士必x(k)=02 12ndxjj=1fC),x(k),x()+艺心)，x：)，x(k)n12ndxj=1这是关于Ax(k)=x-x(k)(i=1,2,n)的线性方程组,iii)()n_Ax(k)=0j3-4)如果它的系数矩阵1dx2df2dx2df1dxndf2dxn3-5)dfndx1dfndx2dfdxn非奇异，则可解得Axa)1Axa)2df1dx1df2

3、dx1df1dx2df2dx2df1dxndf2dxn3-6)dfndx1dfn.dx2矩阵(3-5)称为向量函数F(x)的dfndxnJacobi矩阵，记作F'(x)。又记AxG+i)=xa)-Ax(k)G=1,2,iii3-7)则式(3-6)可写为Ax(k)=F(x(k)-1F(x(k)3-8)xG+i)=xG)F'(x(k)牛顿迭代公式是：xn+13-9)称式(3-9)为求解非线性方程组(3-2)的牛顿迭代法，而线性方程组(3-4)称为牛顿方程组。三、算法描述(1)在真实根x附近选取一个近似根xi；(2)通过x1求出f(x1)。(3)过fg)作f(x)的切线，交x轴于x2

4、。假设X,x2很接近，可以用公式求出x2。由于f(x)=f(xi)故x=x-f(xi)21xx21f'(x)121(4)通过x2求出f(x2)；(5) 再过f(x2)作f(x)的切线交x轴于x3；(6) 再通过x3求出f(x3),.直求下去，直到接近真正的根。当两次求出的根之差Ixn+-xn|<£就认为xn+足够接近于真实根。f(x)=xnnf'(x)n程序流程图：运行NT程序-求非线性方程组的雅克比矩阵-代入牛顿迭代公式f输出解四、举例例：是用牛顿迭代法求解下列方程组(4-1)2X3一x2一1=012XX3一X一4=0122初始值为,x(o)二(1.6,1.5)2运行Newton程序得：X(2)二1.23661x=1.65932|x(3)二1.2343x二1.66152x(4)二1.23431x(4)二1.66152所以取迭代次数为3，且可取（1.2343，1.6615）为非线性方程组（4-1）的近似解。五、心得体会通过学习，我们认识到牛顿迭代法是求解非线性代数方程组的一种简单而有效的方法。我们通过将非线性代数方程组的系数矩阵求导来使方程组线性化，从而求得方程组的近似解。牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但每次都要求导，求逆，计算量大。在这段学习的过程中，感谢王老师给予我们耐心而